Fisico

Equazione del direttore vettoriale della linea, esercizi risolti

Equazione del direttore vettoriale della linea, esercizi risolti

È compreso da Regista vettore quello che definisce la direzione di una linea, nel piano o nello spazio. Pertanto, un vettore parallelo alla linea può essere considerato come direttore dello stesso.

Ciò è possibile grazie a un assioma della geometria euclidea che dice che due punti definiscono una linea. Quindi il segmento orientato che formano questi due punti definisce anche un direttore vettoriale di quella linea.

Figura 1. Direttore vettoriale di una linea. (Elaborazione proprie)

Dato un punto P appartenente alla linea (L) e dato un vettore regista O Di quella linea, la linea è completamente determinata.

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Equazione della linea e direttore direttore

figura 2. Equazione della linea e direttore direttore. (Elaborazione proprie)

Dato un punto P di coordinate D: (xo, me) e un vettore O Direttore di una linea (L), Tutto il punto Q di coordinate D: (x, y) deve soddisfare che il vettore PQ Sii parallelo a te. Quest'ultima condizione è garantita se PQ È proporzionale a O:

PQ = T⋅O

Nell'espressione precedente T È un parametro che appartiene a numeri reali.

Se i componenti cartesiani di PQ e di O L'equazione precedente è scritta come segue:

(X-xo, y-yo) = t⋅ (a, b)

Se i componenti dell'uguaglianza vettoriale sono uguali alla seguente coppia di equazioni:

X - xo = a⋅t      E   E - me = b⋅t 

Equazione parametrica della linea

Le coordinate X E E di un punto appartenente alla linea (L) Questo passa attraverso un punto di coordinata (Xo, io) Ed è parallelo a Regista vettore O= (a, b) Sono determinati assegnando valori reali al parametro variabile t:

X = xo + a⋅t; Y = me + b⋅t

Esempio 1

Per illustrare il significato dell'equazione parametrica della linea, prendiamo come direttore vettore

Può servirti: ottica ondulata

O = (a, b) = (2, -1) 

e come punto noto della linea il punto 

P = (xo, me) = (1, 5). 

L'equazione parametrica della linea è:

X = 1 + 2⋅t; Y = 5 - 1⋅t; -∞

Per illustrare il significato di questa equazione mostra la Figura 3, dove il parametro T sta cambiando il valore e il punto Q  di coordinate (X, y) Prendi posizioni diverse sulla linea.

Figura 3. Pq = t u. (Elaborazione proprie)

La linea in forma vettoriale

Dato un punto P della linea e del suo direttore o l'equazione della linea possono essere scritti in una forma vettoriale:

Oq = Operazione + λ⋅O 

Nell'equazione precedente che è un punto ma appartenente alla linea e λ Un numero reale.

L'equazione vettoriale della linea è applicabile a qualsiasi numero di dimensioni, anche un hyper-eret può essere definito.

Nel caso tridimensionale per un vettore direttore O= (a, b, c) e un punto P = (xo, me, zo), Le coordinate di un punto generico Q = (x, y, z) Appartenere alla linea è:

(X e z) = (Xo, i, zo) + λ⋅ (a, b, c)

Esempio 2

Considera di nuovo la linea che ha come regista  

O = (a, b) = (2, -1) 

e come punto noto della linea il punto 

P = (xo, me) = (1, 5). 

L'equazione vettoriale di questa linea è:

(X, y) = (1, 5) + λ⋅ (2, -1) 

Forma continua della linea e del vettore del regista

A partire dalla forma parametrica, cancellando e corrispondente al parametro λ: hai:

(X-xo)/a = (y-yo)/b = (z-zo)/c

Questa è la forma simmetrica dell'equazione della linea. Sento che A, B E C Sono i componenti del vettore del regista.

Esempio 3

Considera la linea che ha come regista  

O = (a, b) = (2, -1) 

e come punto noto della linea il punto 

Può servirti: qual è l'elettricità? (Con esperimento)

P = (xo, me) = (1, 5). Trova la sua forma simmetrica.

La forma simmetrica o continua è della linea è:

(X - 1)/2 = (y - 5)/( - 1)

Forma generale dell'equazione della linea

È noto come la forma generale della linea nel piano XY all'equazione che la seguente struttura ha:

A⋅x + b⋅y = c

L'espressione della forma simmetrica può essere riscritta in modo che abbia la forma generale:

B⋅x - a⋅y = b⋅xo - a⋅o

Rispetto alla forma generale della linea rimane: 

A = b, b = -a e c = B⋅xo - a⋅o 

Esempio 3

Trova la forma generale della linea il cui regista è u = (2, -1)

 E cosa passa attraverso il punto p = (1, 5).

Per trovare la forma generale possiamo usare le formule fornite, tuttavia verrà scelto un percorso alternativo.

Cominciamo a trovare il doppio vettore del vettore U, definito come il vettore ottenuto scambiando i componenti di u e moltiplicando per -1 il secondo:

W= (-1, -2)

Il doppio vettore W corrisponde a una rotazione a 90 ° nel programma del direttore v.

Moltiplichiamo l'arrampicata W con (X, y) e con (Xo, io) E abbiniamo:

(-1, -2) • (x, y) = (-1, -2) • (1, 5)

-X -2y = -1 -2⋅5 = -11

Finalmente rimasto:

X + 2y = 11

Forma standard dell'equazione della linea

È noto come forma standard della linea nel piano XY, quella che ha la seguente struttura:

Y = m⋅x + d

dove m rappresenta l'intercettazione di pendenza e d con l'asse e.

Dato il regista u = (a, b) vettore, la pendenza m è b/a.

E d è ottenuto sostituendo xey dal punto noto xo, me:

I = (b/a) xo + d.

In breve, m = b/a y d = me -(b/a) xo

Si noti che la pendenza M è il quoziente tra il componente E del regista e del componente X dello stesso.

Può servirti: equilibrio rotazionale: formule ed equazioni, esempi, esercizi

Esempio 4

Trova la forma standard della linea il cui regista è u = (2, -1) 

E cosa passa attraverso il punto p = (1, 5).

M = --½ e D = 5 -( -½) 1 = 11/2

Y = (-1/2) x + 11/2

Esercizi risolti

-Esercizio 1

Trova un direttore vettoriale della linea (L) che è l'intersezione del piano (π): x - y + z = 3 e il piano (ω): 2x + y = 1.

Quindi scrivi la forma continua della linea della linea (L).

Soluzione

Dall'equazione del piano (ω) clearance y: y = 1 -2x

Quindi sostituiamo l'equazione del piano (π):

X - (1 - 2x) + z = 3 ⇒ 3x + z = 4 ⇒ z = 4 - 3x

Quindi parametrizziamo x, scegliamo la parametrizzazione x = λ

Ciò significa che la linea ha un'equazione vettoriale data da:

(X, y, z) = (λ, 1 - 2λ, 4 - 3λ)

che può essere riscritto come:

(X, y, z) = (0, 1, 4) + λ (1, -2, -3)

Con ciò che è chiaro che il vettore O = (1, -2, -3) è un vettore di gestione diretto (L).

La forma continua della linea (L) è:

(X - 0)/1 = (y - 1)/( - 2) = (z - 4)/( - 3)

-Esercizio 2

Dato il piano 5x + A Y + 4z = 5 

e la linea la cui equazione è x/1 = (y-2)/3 = (z -2)/(-2)

Determinare il valore di A in modo che il piano e la linea siano paralleli.

Soluzione 2

Il vettore N = (5, a, 4) è un vettore normale sul piano.

Il vettore O = (1, 3, -2) è un manager diretto.

Se la linea è parallela al piano, allora n • v = 0.

(5, A, 4)•(1, 3, -2) = 5 +3A -8 = 0 ⇒ A= 1.

Riferimenti

  1. Fleming, w., & Varberg, D. E. (1989). Matematica prealculus. Prentice Hall PTR.
  2. Kolman, n. (2006). Algebra lineare. Pearson Education.
  3. Leale, j. M., & Viloria, n. G. (2005). Geometria analitica piatta. Mérida - Venezuela: editoriale venezuelano C. A.
  4. Navarro, Rocio. I vettori. Recuperato da: libri.Google.co.andare.
  5. Pérez, c. D. (2006). Prequalculus. Pearson Education.
  6. Prenowitz, w. 2012. Concetti di base della geometria. Rowman e Littlefield.
  7. Sullivan, m. (1997). Prequalculus. Pearson Education.