Calcolo normale e vettore di esempio

Lui Vettore normale È uno che definisce la direzione perpendicolare a un'entità geometrica in esame, che può essere per una curva, un piano o una superficie, ad esempio.

È un concetto molto utile nel posizionamento di una particella mobile o di un po 'di superficie nello spazio. Nel grafico seguente è possibile vedere come è il vettore normale per una curva arbitraria C:

Figura 1. Una curva C con il vettore normale alla curva al punto P. Fonte: Svjo [CC BY-SA 3.0 (https: // creativeCommons.Org/licenze/by-sa/3.0)]

Considera un punto p sulla curva c. Il punto può rappresentare una particella mobile che si muove seguendo una strada a forma di C. La linea tangente alla curva nel punto p appare disegnata in rosso.

Si noti che il vettore T È tangente a c in ogni punto, mentre il vettore N è perpendicolare a T e punta al centro di una circonferenza immaginaria il cui arco è un segmento di C. I vettori sono indicati in grassetto nella lettera stampata, per distinguerli da altre magnitudini non vettori.

Il vettore T Indica sempre dove si muove la particella, quindi indica la velocità dello stesso. Invece il vettore N Punta sempre nella direzione in cui la particella sta girando, in questo modo indica la concavità della curva C.

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Come portare il vettore normale su un piano?

Il vettore normale non è necessariamente un vettore unitario, cioè un vettore il cui modulo è 1, ma in tal caso, si chiama vettore unitario normale.

figura 2. A sinistra un piano p e i due vettori normali su detto piano. A destra i vettori dell'unità nelle tre direzioni che determinano lo spazio. Fonte: Wikimedia Commons. Vedi pagina per l'autore [dominio pubblico]

In numerose applicazioni è necessario conoscere il vettore normale su un piano anziché una curva. Questo vettore rende noto l'orientamento di detto piano nello spazio. Ad esempio, considera l'aereo P (giallo) della figura:

Può servirti: gemina: origini, caratteristiche e come osservarle

Ci sono due vettori normali su quel piano: N₁ E N₂. L'uso dell'uno o dell'altro dipenderà dal contesto in cui viene trovato detto piano. Ottenere il vettore normale su un piano è molto semplice se l'equazione è nota:

ax + by + cz + d = 0, con A, B, C E D numeri reali.

Bene, un vettore piano normale è dato da:

N = a Yo + B J + C K

Qui il vettore N è espresso in termini di vettori unitari e perpendicolari l'uno all'altro Yo, J E K, diretto attraverso le tre direzioni che determinano lo spazio X e z, Vedi Figura 2 a destra.

Il vettore normale dal prodotto vettoriale

Una procedura molto semplice per trovare il normale vettore utilizza le proprietà del prodotto vettoriale tra due vettori.

Come è noto, tre punti diversi e non colineali tra loro, determina un piano P. Ora è possibile ottenere due vettori O E v che appartengono a detto aereo con questi tre punti.

Una volta che i vettori sono, il Prodotto vettoriale O X v È un'operazione il cui risultato è un vettore, che ha la proprietà di essere perpendicolare al piano determinato da O E v.

Noto questo vettore, è indicato come N, E da esso sarà possibile determinare l'equazione del piano grazie all'equazione indicata nella sezione precedente:

N = O X v

La figura seguente illustra la procedura descritta:

Figura 3. Con due vettori e il loro vettore o prodotto trasversale, viene determinata l'equazione del piano contenente i due vettori. Fonte: Wikimedia Commons. Nessun autore leggibile dalla macchina fornita. M.Romero Schmidtke ha assunto (in base alle richieste di copyright). [Dominio pubblico]

Esempio

Trova l'equazione del piano determinato dai punti A (2,1,3); B (0,1,1); C (4,2,1).

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Soluzione

Questo esercizio illustra la procedura sopra descritta. Avendo 3 punti, uno di questi è scelto come origine comune di due vettori che appartengono al piano definito da questi punti. Ad esempio, il punto A è impostato come origine e vengono costruiti vettori Ab E AC.

Il vettore Ab È il vettore la cui origine è il punto A e la cui fine è il punto B. Coordinate di Vector Ab Le coordinate di B delle coordinate di A:

Ab = (0-2) Yo + (1-1) J + (1-3) K = -2Yo + 0J -2 K

Procedere allo stesso modo per trovare il vettore AC:

AC = (4-2) Yo + (2-1) J + (1-3) K = 2Yo + J -2 K

Calcolo del prodotto vettoriale AB X AC

Esistono diverse procedure per trovare il prodotto vettoriale tra due vettori. In questo esempio, viene utilizzata una procedura mnemonica che utilizza la seguente figura per trovare prodotti vettoriali tra i vettori unitari Yo, J E K:

Figura 4. Grafico per determinare il prodotto vettoriale tra i vettori dell'unità. Fonte: sé realizzato.

Per iniziare è bene ricordare che i prodotti vettoriali tra vettori paralleli sono nulli, quindi:

Yo X Yo = 0; J X J = 0; K X K = 0

E poiché il prodotto vettoriale è un altro vettore perpendicolare ai vettori partecipanti, muovendosi nella direzione della freccia rossa che hai:

Yo X J = K ; J X K = Yo; K X Yo = J

Se devi muoverti contrariamente alla freccia, viene aggiunto un segno (-):

J X Yo = - K; K X J = -Yo; Yo X K = -J

In totale è possibile realizzare 9 prodotti vettoriali con i vettori dell'unità Yo, J E K, di cui 3 saranno nulli.

Ab X AC = (-2Yo + 0J -2 K) X (2Yo + J -2 K) = -4 (Yo X Yo) -2 (Yo X J) +4 (Yo X K) +0 (J X Yo) + 0 (J X J) - 0 (J X K) - 4 (K X Yo) -2 (K X J) + 4 (K X K) = -2K-4J-4J+2Yo = 2Yo -8J-2K

Equazione del piano

Il vettore n è stato determinato dal prodotto vettoriale precedentemente calcolato:

Può servirti: movimento pendolare

N = 2Yo -8J-2K

Pertanto a = 2, b = -8, c = -2, il piano richiesto è:

ax + by + cz + d = 0 → 2x-8y-2z + d = 0

Il valore di D. Questo è facile se i valori di uno qualsiasi dei punti A, B o C di cui sono disponibili vengono sostituiti nell'equazione del piano. Scegliere C per esempio:

x = 4; y = 2; Z = 1

È rimasto:

2.4 - 8.2 - 2.1 + d = 0

-10 + d = 0

D = 10

In breve, il piano desiderato è:

2x-8y-2Z +10 = 0

Il lettore curioso potrebbe chiedere se lo stesso risultato sarebbe stato ottenuto se invece di farlo Ab X AC Sarebbe stato scelto AC X Ab. La risposta è sì, il piano determinato da questi tre punti è unico e ha due vettori normali, come mostrato nella Figura 2.

Per quanto riguarda il punto selezionato come origine dei vettori, non vi è nemmeno inconveniente nella scelta degli altri due.

Riferimenti

1. Figueroa, d. (2005). Serie: Physics for Science and Engineering. Volume 1. Cinematica. A cura di Douglas Figueroa (USB). 31-62.
2. Trovare il normale su un piano. Estratto da: web.Ma.Utexas.Edu.
3. Larson, r. (1986). Calcolo e geometria analitica. Mc Graw Hill. 616 - 647.
4. Linee e piani in r 3. Recuperato da: matematica.Harvard.Edu.
5. Vettore normale. Recuperato da Mathworld.Wolfram.com.