Calcolo normale e vettore di esempio
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- Lino Lombardi
Lui Vettore normale È uno che definisce la direzione perpendicolare a un'entità geometrica in esame, che può essere per una curva, un piano o una superficie, ad esempio.
È un concetto molto utile nel posizionamento di una particella mobile o di un po 'di superficie nello spazio. Nel grafico seguente è possibile vedere come è il vettore normale per una curva arbitraria C:
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Considera un punto p sulla curva c. Il punto può rappresentare una particella mobile che si muove seguendo una strada a forma di C. La linea tangente alla curva nel punto p appare disegnata in rosso.
Si noti che il vettore T È tangente a c in ogni punto, mentre il vettore N è perpendicolare a T e punta al centro di una circonferenza immaginaria il cui arco è un segmento di C. I vettori sono indicati in grassetto nella lettera stampata, per distinguerli da altre magnitudini non vettori.
Il vettore T Indica sempre dove si muove la particella, quindi indica la velocità dello stesso. Invece il vettore N Punta sempre nella direzione in cui la particella sta girando, in questo modo indica la concavità della curva C.
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Come portare il vettore normale su un piano?
Il vettore normale non è necessariamente un vettore unitario, cioè un vettore il cui modulo è 1, ma in tal caso, si chiama vettore unitario normale.
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In numerose applicazioni è necessario conoscere il vettore normale su un piano anziché una curva. Questo vettore rende noto l'orientamento di detto piano nello spazio. Ad esempio, considera l'aereo P (giallo) della figura:
Può servirti: gemina: origini, caratteristiche e come osservarleCi sono due vettori normali su quel piano: N1 E N2. L'uso dell'uno o dell'altro dipenderà dal contesto in cui viene trovato detto piano. Ottenere il vettore normale su un piano è molto semplice se l'equazione è nota:
ax + by + cz + d = 0, con A, B, C E D numeri reali.
Bene, un vettore piano normale è dato da:
N = a Yo + B J + C K
Qui il vettore N è espresso in termini di vettori unitari e perpendicolari l'uno all'altro Yo, J E K, diretto attraverso le tre direzioni che determinano lo spazio X e z, Vedi Figura 2 a destra.
Il vettore normale dal prodotto vettoriale
Una procedura molto semplice per trovare il normale vettore utilizza le proprietà del prodotto vettoriale tra due vettori.
Come è noto, tre punti diversi e non colineali tra loro, determina un piano P. Ora è possibile ottenere due vettori O E v che appartengono a detto aereo con questi tre punti.
Una volta che i vettori sono, il Prodotto vettoriale O X v È un'operazione il cui risultato è un vettore, che ha la proprietà di essere perpendicolare al piano determinato da O E v.
Noto questo vettore, è indicato come N, E da esso sarà possibile determinare l'equazione del piano grazie all'equazione indicata nella sezione precedente:
N = O X v
La figura seguente illustra la procedura descritta:
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Esempio
Trova l'equazione del piano determinato dai punti A (2,1,3); B (0,1,1); C (4,2,1).
Può servirti: equazione di continuitàSoluzione
Questo esercizio illustra la procedura sopra descritta. Avendo 3 punti, uno di questi è scelto come origine comune di due vettori che appartengono al piano definito da questi punti. Ad esempio, il punto A è impostato come origine e vengono costruiti vettori Ab E AC.
Il vettore Ab È il vettore la cui origine è il punto A e la cui fine è il punto B. Coordinate di Vector Ab Le coordinate di B delle coordinate di A:
Ab = (0-2) Yo + (1-1) J + (1-3) K = -2Yo + 0J -2 K
Procedere allo stesso modo per trovare il vettore AC:
AC = (4-2) Yo + (2-1) J + (1-3) K = 2Yo + J -2 K
Calcolo del prodotto vettoriale AB X AC
Esistono diverse procedure per trovare il prodotto vettoriale tra due vettori. In questo esempio, viene utilizzata una procedura mnemonica che utilizza la seguente figura per trovare prodotti vettoriali tra i vettori unitari Yo, J E K:
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Per iniziare è bene ricordare che i prodotti vettoriali tra vettori paralleli sono nulli, quindi:
Yo X Yo = 0; J X J = 0; K X K = 0
E poiché il prodotto vettoriale è un altro vettore perpendicolare ai vettori partecipanti, muovendosi nella direzione della freccia rossa che hai:
Yo X J = K ; J X K = Yo; K X Yo = J
Se devi muoverti contrariamente alla freccia, viene aggiunto un segno (-):
J X Yo = - K; K X J = -Yo; Yo X K = -J
In totale è possibile realizzare 9 prodotti vettoriali con i vettori dell'unità Yo, J E K, di cui 3 saranno nulli.
Ab X AC = (-2Yo + 0J -2 K) X (2Yo + J -2 K) = -4 (Yo X Yo) -2 (Yo X J) +4 (Yo X K) +0 (J X Yo) + 0 (J X J) - 0 (J X K) - 4 (K X Yo) -2 (K X J) + 4 (K X K) = -2K-4J-4J+2Yo = 2Yo -8J-2K
Equazione del piano
Il vettore n è stato determinato dal prodotto vettoriale precedentemente calcolato:
Può servirti: movimento pendolareN = 2Yo -8J-2K
Pertanto a = 2, b = -8, c = -2, il piano richiesto è:
ax + by + cz + d = 0 → 2x-8y-2z + d = 0
Il valore di D. Questo è facile se i valori di uno qualsiasi dei punti A, B o C di cui sono disponibili vengono sostituiti nell'equazione del piano. Scegliere C per esempio:
x = 4; y = 2; Z = 1
È rimasto:
2.4 - 8.2 - 2.1 + d = 0
-10 + d = 0
D = 10
In breve, il piano desiderato è:
2x-8y-2Z +10 = 0
Il lettore curioso potrebbe chiedere se lo stesso risultato sarebbe stato ottenuto se invece di farlo Ab X AC Sarebbe stato scelto AC X Ab. La risposta è sì, il piano determinato da questi tre punti è unico e ha due vettori normali, come mostrato nella Figura 2.
Per quanto riguarda il punto selezionato come origine dei vettori, non vi è nemmeno inconveniente nella scelta degli altri due.
Riferimenti
- Figueroa, d. (2005). Serie: Physics for Science and Engineering. Volume 1. Cinematica. A cura di Douglas Figueroa (USB). 31-62.
- Trovare il normale su un piano. Estratto da: web.Ma.Utexas.Edu.
- Larson, r. (1986). Calcolo e geometria analitica. Mc Graw Hill. 616 - 647.
- Linee e piani in r 3. Recuperato da: matematica.Harvard.Edu.
- Vettore normale. Recuperato da Mathworld.Wolfram.com.
- « Equazione del direttore vettoriale della linea, esercizi risolti
- Caratteristiche isomaltosio, struttura, funzioni »