Teorema di thévenin cosa consiste, applicazioni ed esempi

Lui Teorema del thévenin Dichiara che un circuito con terminali A e B può essere sostituito da uno equivalente che consiste in una fonte e una resistenza in serie, i cui valori danno la stessa potenziale differenza tra A e B e la stessa impedenza del circuito originale.

Questo teorema fu rilasciato nel 1883 dall'ingegnere francese Léon Charles Thévenin, ma si dice che fosse stato dichiarato trent'anni prima dal fisico tedesco Hermann von Helmholtz.

Figura 1. Teorema del thévenin. Fonte: sé realizzato

La sua utilità risiede nel fatto che, anche se il circuito originale è complesso o sconosciuto, ai fini di un carico o impedenza che è posizionato tra i terminali A e B, il semplice circuito equivalente di Thévenin si comporta allo stesso modo in cui l'originale.

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Come viene calcolata la tensione equivalente passo dopo passo?

La tensione o la differenza potenziale del circuito equivalente possono essere ottenute nei seguenti modi:

- Sperimentalmente

Ottenere la tensione equivalente di Thévenin

Se si tratta di un dispositivo o di un'attrezzatura che si trova in una "scatola nera", viene misurata la differenza potenziale tra i terminali A e B con un voltmetro o un oscilloscopio. È molto importante che non venga posizionato il carico o l'impedenza tra i terminali A e B. 

Un voltmetro o un oscilloscopio non rappresentano alcun carico per i terminali, poiché entrambe le squadre hanno un'impedenza molto grande (idealmente infinita) e sarebbe come se i terminali A e B fossero senza carico. La tensione o la tensione ottenuta in questo modo è la tensione equivalente di Thévenin.

Ottenere l'impedenza equivalente di Thévenin

Per ottenere l'impedenza equivalente da una misurazione sperimentale, viene posizionata una resistenza nota tra i terminali A e B e viene misurata la caduta di tensione o il segnale di tensione con un oscilloscopio. 

Dalla caduta di tensione nella resistenza conosciuta tra i terminali, la corrente che circola attraverso di essa può essere ottenuta. 

Il prodotto della corrente ottenuta con la resistenza equivalente più la caduta di tensione misurata nella resistenza nota è uguale alla tensione equivalente di thévenin precedentemente ottenuto. Da questa uguaglianza l'impedenza equivalente di Thévenin viene eliminata.

- Risolvere il circuito

Il calcolo della tensione equivalente di Thévenin

Innanzitutto, qualsiasi carico o impedenza dei terminali A e B è disconnesso.

Come è noto il circuito, le mesh o le leggi di Kirchhoff vengono applicate per trovare la tensione nei terminali. Questa tensione sarà l'equivalente di Thévenin.

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Il calcolo dell'impedenza equivalente di Thévenin

Per ottenere l'impedenza equivalente, procediamo a:

- Sostituire le fonti di tensione del circuito originale con "impedenza zero" a corto -circuit e le fonti del circuito originale per "impedenza infinita" aperta.

- Quindi l'impedenza equivalente viene calcolata seguendo le regole di impedenza e impedenze in parallelo.

THÉVENIN THEOREM APPLICAZIONI (Parte I)

Applicheremo il teorema di Thévenin per risolvere alcuni circuiti. In questa prima parte consideriamo un circuito che ha solo fonti di tensione e resistenze.

Esempio 1 (calcolo della tensione equivalente passo per passo)

La Figura 2 mostra il circuito che si trova in una scatola celeste che ha due batterie di forza elettromotoria V1 e V2 rispettivamente e resistenze R1 e R2, il circuito ha i terminali A e B a cui un carico può essere collegato.

figura 2. Esempio 1 del teorema. Fonte: sé realizzato

L'obiettivo è trovare il circuito equivalente di Thévenin, cioè determinare i valori VT e RT del circuito equivalente.  Applicare i seguenti valori: V1 = 4V, V2 = 1V, R1 = 3Ω, R2 = 6Ω e R = 1Ω.

Passo dopo passo

Passo 1 

Determineremo la tensione nei terminali A e B quando non sono posizionati.

Passo 2

Il circuito da risolvere è costituito da una singola mesh attraverso la quale circola una corrente che ci siamo presi positivamente in senso orario.

Passaggio 3

Viaggiamo la mesh a partire dall'angolo in basso a sinistra. Il percorso porta alla seguente equazione:

V1 - i*r1 - i*r2 - v2 = 0

Passaggio 4

Canconiamo la corrente di mesh i e otteniamo:

I = (V1 -V2) / (R1 +R2) = (4V - 1V) / (3Ω +6Ω) = ⅓ A

Passaggio 5

Con la corrente di mesh possiamo determinare la differenza di tensione o tensione tra A e B, che è:

Vab = v1 - i * r1 = 4v - ⅓ a * 3Ω = 3V

Vale a dire che la tensione equivalente di Thevenin è: VT = 3V.

Passaggio 6 (resistenza equivalente a Thévenin)

Procediamo ora al calcolo della resistenza equivalente di Thévenin, per la quale e come detto in precedenza, le fonti di tensione sono sostituite da un cavo.

In tal caso, abbiamo solo due resistenza in parallelo, quindi la resistenza equivalente di Thévenin è:

RT = (R1 * R2) / (R1 + R2) = (3Ω * 6Ω) / (3Ω + 6Ω) = 2Ω

Esempio 1B (corrente di corrente che utilizza l'equivalente Thévenin)

Collega come carico ai terminali a e b a resistenza r = 1Ω al circuito equivalente e trova la corrente che circola attraverso detto carico. 

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Soluzione

Quando la resistenza R è collegata al circuito equivalente del Thevenin c'è un semplice circuito che consiste in una fonte VT una resistenza in serie in serie con resistenza R. 

Chiameremo la corrente che circola attraverso il carico R, in modo che l'equazione della mesh sia così:

VT - IC* RT - IC* R = 0

Da cui segue che IC è dato da:

Ic = vt / (rt + r) = 3v / (2Ω + 1ω) = 1 a

Verifica del teorema di Thévenin

Per verificare che il teorema di Thévenin sia adempiuto, connettiti al circuito originale e trova la corrente che circola mediante R applicando la legge delle maglie sul circuito risultante.

Il circuito risultante rimane e le sue equazioni di mesh sono come mostrato nella figura seguente:

Figura 3. Currenti a maglie. (Elaborazione proprie)

Aggiungendo le equazioni della mesh, è possibile trovare la corrente di mesh i1 a seconda della corrente I2. Quindi viene sostituito nell'equazione della seconda mesh e c'è un'equazione con i2 come unica sconosciuta. La tabella seguente mostra le operazioni.

Figura 4. Dettaglio delle operazioni. (Elaborazione proprie)

Quindi i valori di resistenza e le tensioni delle fonti vengono sostituiti, ottenendo il valore numerico della corrente di mesh i2.

Figura 5. Dettaglio dei risultati. (Elaborazione proprie)

Il flusso di mesh i2 è la corrente che circola attraverso la resistenza del carico R e il valore trovato da 1 A coincide completamente con quello che era stato precedentemente trovato con il circuito equivalente di Thévenin.

Applicazione del teorema di Thévenin (Parte II)

In questa seconda parte, il teorema di Thévenin verrà applicato in un circuito che ha fonti di tensione, fonte di corrente e resistenze. 

Esempio 2A (resistenza equivalente a Thévenin)

L'obiettivo è determinare il circuito equivalente di thévenin corrispondente al circuito della figura seguente, quando i terminali sono senza resistenza di 1 ohmio, quindi la resistenza viene posizionata e la corrente è determinata dalla stessa.

Figura 6. Esempio 2 Circuito. (Elaborazione proprie)

Soluzione

Per trovare la resistenza equivalente, la resistenza del carico viene rimossa (in questo caso quella di 1 Ohmio). Inoltre, le sorgenti di tensione sono sostituite da un corto circuito e fonti di corrente con un circuito aperto. 

In questo modo, il circuito a cui verrà calcolata la resistenza equivalente è quello mostrato di seguito:

Può servirti: Boltzmann costante: storia, equazioni, calcoli, eserciziFigura 7. Dettaglio per il calcolo della resistenza equivalente (elaborazione propria)

Rab = (12Ω * 4Ω) / (12Ω + 4Ω) = 3Ω che è la resistenza equivalente di Thevenin (Rth).

Esempio 2B 

Calcola la tensione equivalente di Thévenin.

Soluzione

Per calcolare la tensione equivalente di Thévenin consideriamo il seguente circuito, in cui posizioneremo le correnti in I1 e I2 nei rami indicati nella figura seguente:

Figura 8. Dettagli per il calcolo della tensione di Thévenin. (Elaborazione proprie)

Nella figura precedente l'equazione dei nodi attuali e l'equazione delle tensioni sono mostrate quando viene viaggiata la mesh esterna. Dalla seconda delle equazioni l'attuale I1 viene cancellata:

I1 = 2 - i2*(5/3)

Questa equazione viene sostituita nell'equazione dei nodi:

I2 = 2 - (5/3) i2 + 2 ===> i2 (8/3) = 4 ===> i2 = 12/8 = 1.5 a

Ciò significa che la caduta di tensione nella resistenza di 4 ohm è di 6 volt.

In breve, la tensione di Thévenin è VTH = 6 V.

Esempio 2c

Trova il circuito equivalente di Thevenin e corrente nella resistenza del carico.

Figura 9. Corrente in carico con thévenin equivalente. (Elaborazione proprie)

Soluzione

La figura precedente mostra il circuito equivalente di thévenin con la resistenza al carico r. Dall'equazione di tensione nella mesh viene dedotta la corrente I che circola attraverso la resistenza al carico R.

I = VTH / (RTH + R) = 6V / (3Ω + 1Ω) = 1,5 a

Applicazione del teorema di Thévenin (parte III)

In questa terza parte dell'applicazione del teorema di Thévenin, un circuito di corrente alternato contiene una fonte di tensione alternata, un condensatore, l'induttanza e la resistenza sono considerati. 

Esempio 3

L'obiettivo è trovare l'equivalente circuito thévenin del seguente circuito:

Figura 10. Thévenin in un circuito di corrente alternata. (Elaborazione proprie)

Soluzione

L'impedenza equivalente corrisponde a quella del condensatore in parallelo con la combinazione della serie di resistenza e induttanza.

L'inverso dell'impedenza equivalente è dato da:

Zeq^-1 = (-5j)^-1 + (5 + 5J)^-1 = (1/5) J + ((1/10 + (1/10) j) = (1/10 + 3/ 10 j) MHO

E l'impedenza equivalente sarà quindi:

Zeq = (1 - 3 j) ohm

La corrente complessa che posso essere dedotta dall'equazione di mesh:

50V∠0 - I (-5 J + 5 + 5J) = 50V∠0 - I*5 = 0 ===> I = 10A ∠0 

Ora viene calcolata la caduta di tensione nella resistenza più l'induttanza, cioè la tensione VAB che sarà la tensione equivalente di Thévenin:

Vab = i * (5 + 5 j) ω = 10a ∠0 * 5ω∠45º = 50V∠45º

In altre parole

Riferimenti

1. Tutorial elettronici, teorema di Thevenin. Recuperato da: Electronics-Tormales.Ws
2. Domande e risposte sulla teoria della rete. Il teorema di Thevenin. Recuperato da: Sanfoundry.com
3. Il teorema di Thevenin. Procedura passo dopo passo. Recuperato da: elettrictechnology.org
4. Il teorema di Thevenin. Esempio risolto passo dopo passo. Estratto da: ElecticalSimple.Blogspot.com
5. Workshop sui teoremi di Thevenin e Norton. Estratto da: web.io esso.Edu
6. Wikipedia. Teorema del thévenin. Recuperato da: Wikipedia.com