Tipi di sezioni coniche, applicazioni, esempi

IL sezioni coniche Sono le curve ottenute intercettando un piano con un cono. Esistono diversi modi per farlo; Ad esempio, se il piano viene passato perpendicolarmente all'asse assiale del cono si ottiene una circonferenza.

Inclinando un po 'il piano rispetto all'asse assiale del cono si ottiene un'ellisse, una curva che è chiusa, ma se lo inclineremo ancora più una parabola o un'iperbole, come si può vedere nell'animazione della Figura 1.

Animazione che mostra come ottenere le quattro sezioni coniche: circonferenza, parabola e perbole Ellisse. Fonte: Wikimedia Commons. Linee / cc0

Le sezioni coniche fanno parte della natura e del mondo che ci circonda. Ingegneria, architettura e astronomia sono importanti rami di conoscenza che effettuano usi della conica.

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Condizioni per sezioni coniche

Le sezioni coniche sono definite come luoghi geometrici che soddisfano le seguenti condizioni:

Parabola

È il luogo geometrico di tutti i punti che si trovano su un piano equidistante a un punto fisso chiamato messa a fuoco F e una linea retta anche fissata, chiamata direttiva.

Ellisse

Un punto aereo appartiene a un'ellisse se la somma delle distanze tra quel punto e altri due punti fissi, chiamata FOCOS e situato sul Asse maggiore dell'ellisse, rimane costante.

La parabola a sinistra e l'ellisse a destra, con i rispettivi elementi. I focolai sono punti con molte applicazioni. Fonte: Wikimedia Commons.

Circonferenza

È il luogo geometrico di tutti i punti che mantengono la stessa distanza da un altro punto chiamato Centro. Questa distanza è il Radio della circonferenza.

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Iperbole

Insieme di punti nel piano in modo tale che la differenza tra la sua distanza a due punti fissi chiamati FOCOS, è costante.

Hyperbola con focali f e f. Fonte: Wikimedia Commons.

Applicazioni

Diamo un'occhiata ad alcune delle applicazioni delle sezioni coniche:

Parabole  

-Quando viene lanciato un oggetto, la traiettoria che segue ha una forma parabola.

-Le parabole hanno notevoli applicazioni di ingegneria, ad esempio nei ponti sospesi i cavi si affrettano sotto forma di parabole.

-Le parabole sono anche buone per realizzare riflettori e telescopi. Ciò è grazie a una proprietà interessante: quando si posiziona un apparecchio al centro di una superficie di sezione trasversale parabolica, la luce viaggerà in raggi paralleli sull'asse parabola.

-Se i raggi luminosi paralleli all'asse di simmetria si avvicinano alla superficie parabolica, li concentrano a fuoco, una circostanza usata per realizzare telescopi riflettori, come il telescopio Hale de Monte Palomar.

Ellissi

-I pianeti del sistema solare si muovono seguendo le traiettorie ellittiche, abbastanza vicine alla circonferenza nel caso dei pianeti principali, il terreno incluso. Il sole non è al centro, ma in uno dei riflettori.

I pianeti del sistema solare si muovono in orbite ellittiche con il sole in uno dei riflettori. Fonte: Wikimedia Commons.

-L'ellisse è ampiamente utilizzata in architettura come elemento decorativo e design.

-Posizionando un riflettore in uno dei riflettori di un'ellisse, la luce si riflette sull'altra messa a fuoco. Lo stesso accade con il suono. Ecco perché nelle sale a forma di Ellisse, che parlano silenziosamente situate in un focus sono chiaramente ascoltate dagli ascoltatori situati nell'altra attenzione.

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-Questa stessa proprietà ha un'applicazione sorprendente nel campo della medicina. I calcoli renali possono essere distrutti dal suono. Le onde ad ultrasuoni di grande intensità sono generate in uno dei focali di una vasca ellittica piena d'acqua e il paziente si trova nell'altra messa a fuoco. Le onde sonore influenzano e si riflettono nel calcolo e con la loro energia lo frammentano in piccoli pezzi, che la persona quindi espelle facilmente durante la minzione.

Iperbole

-Alcune comete nel sistema solare seguono traiettorie iperboliche, sempre con il sole in uno dei fuochi.

-I focus di Hyperbolas sono anche molto interessanti per studiare i fenomeni della riflessione delle onde. Ad esempio, dirigendo un raggio di luce al focus di uno specchio parabolico, si riflette nell'altra messa a fuoco, una proprietà molto utile per la costruzione di telescopi, poiché la luce può concentrarsi su uno specchio parabolico ed essere reindirizzata in un altro luogo più appropriato Secondo il design.

-Le torri di raffreddamento delle centrali nucleari hanno la silhouette a forma di iperbole.

-Prima dell'avvento del GPS, sono state utilizzate iperbolas per individuare le barche. Le navi portate a bordo segnali rilasciate contemporaneamente dalle stazioni radio A e B e un computer era responsabile della registrazione delle differenze dei tempi di arrivo dei segnali, per trasformarli in differenze di distanze di distanze. In questo modo la nave si trova nel ramo di un'iperbole.

La procedura viene ripetuta con altre due stazioni di radio C e D, che colloca la nave nel ramo di Un'altra iperbola. La posizione definitiva della barca è l'intersezione di entrambe le iperbole.

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Circonferenze

-L'arrivo della ruota ha cambiato il corso della storia.

-Il movimento circolare è molto comune, molti pezzi ruotano per produrre vari effetti, dai mulini ai fan.

-Sebbene le traiettorie dei pianeti principali siano ellittici, le traiettorie circolari sono buoni approcci in molti casi.

-Le circolenze sono elementi frequenti in architettura, design, ingegneria e costruzione. L'elenco delle forme circolari o di disco è infinito: monete, cd, orologi e altro ancora.

Esempi

Poi ci sono due coniche nell'aereo, un cerchio e un'ellisse.

Esempi di sezioni coniche: un cerchio e un'ellisse. Fonte: Stewart, J. Precalcolazione.

Ognuno ha un'equazione analitica:

Circonferenza

(X-H)² + (Y-K)² = R²

Dove h e k sono le coordinate del centro e r è la radio. Per la circonferenza mostrata nella figura l'equazione è:

(x+2)² + (Y-2)² = 4

Ellisse

L'equazione di Ellisse il cui centro è il punto di coordinata (h, k):

[(X-H)² /A² ]+ [(y-k)² /B² ] = 1

Dove a e b sono i semi -pezzi dell'ellisse. Per l'ellisse mostrata, il centro è al punto 0,0, il semi più grande è lo stesso e il semije minore è 4. Pertanto la sua equazione è:

(X² /25)+ (e² / 16) = 1

Riferimenti

1. Hoffman, J. Selezione di problemi di matematica. Volume 2.
2. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
3. Stewart, J. 2006. Prececculment: matematica per il calcolo. 5 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.
4. Wikipedia. Sezione conica. Recuperato da: è.Wikipedia.org.
5. Zill, d. 1984. Algebra e trigonometria. McGraw Hill.