Formula della regola di Simpson, dimostrazione, esempi, esercizi

IL Regola di Simpson È un metodo per calcolare, approssimativamente, integrali definiti. Si basa sulla divisione dell'intervallo di integrazione in una coppia di sub-intervalli equamente distanziati.

I valori estremi di due sub-intervalli consecutivi definiscono tre punti, che regolano una parabola, la cui equazione è un polinomio di secondo grado. 

Figura 1. Nel metodo Simpson, l'intervallo di integrazione è suddiviso in una coppia di intervalli di uguale larghezza. La funzione è approssimata da una parabola in ogni 2 sub-intervalo e gli approcci integrali dalla somma dell'area sotto la parabola. Fonte: UPV.È.

Quindi l'area sotto la curva della funzione nei due intervalli consecutivi è approssimata dall'area polinomiale di interpolazione. Aggiungendo il contributo all'area sotto la parabola di tutti i sub-intervalli successivi, esiste il valore approssimativo dell'integrale.

D'altra parte, poiché l'integrale di una parabola può essere calcolato esattamente algebrico, è possibile trovare una formula analitica per il valore approssimativo dell'integrale definito. È noto come il Formula Simpson.

L'errore del risultato approssimativo così ottenuto diminuisce nella misura in cui il numero di suddivisioni n è maggiore (essendo n una coppia).

Sarà fornita un'espressione che consente di stimare il livello superiore dell'errore di avvicinamento all'integrale I, quando è stata fatta una partizione di sottointervalli regolari dell'intervallo totale [A, B] [B].

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Formula

L'intervallo di integrazione [a, b] è suddiviso in n sottointervalli con n che è una coppia. La larghezza di ogni suddivisione sarà:

H = (B - A)/N

In questo modo, sull'intervallo [a, b] la partizione è fatta:

X0, x1, x2, ..., xn-1, xn

Essere x0 = a, x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h,…, xn-1 = x0 + (n-1) h, xn = x0 + nh = b.

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La formula che consente di calcolare approssimativamente la funzione integrale e continua definita e preferibilmente morbida, nell'intervallo [a, b] è:

Dimostrazione

Per ottenere la formula Simpson, in ogni sottointervallo [xi, xi+2] la funzione f (x) si avvicina di un polinomio p (x) di secondo grado (parabola) che passa attraverso i tre punti: [xi, f (f (f (F (F (F (F (F (F (F (F (F (F (F (F (F (F XI)]; [Xi+1, f (xi+1)] e [xi+2, f (xi+2)].

Quindi il polinomio integrale p (x) viene calcolato in [xi, xi+2] che approssima l'integrale della funzione f (x) in quell'intervallo.

figura 2. Grafico per dimostrare la formula Simpson. Fonte: f. Zapata.

Coefficienti polinomiali di interpolazione

L'equazione della parabola p (x) ha la forma generale: p (x) = a x² + B x + c. Poiché la parabola attraversa i punti che indicavano in rosso (vedi figura), i coefficienti A, B, C sono determinati dal seguente sistema di equazioni:

A (-h)² - B H + C = F (XI)

C = f (xi+1)

A (H)² + B H + C = F (xi + 2)

Si può osservare che è determinato il coefficiente C. Per determinare il coefficiente aggiungiamo la prima e la terza equazione ottenendo:

2 a h² + 2 c = f (xi) + f (xi + 2).

Quindi il valore di C viene sostituito ed è chiaro:

A = [f (xi) - 2 f (xi+1)+f (xi+2)] / (2 h²)

Per determinare il coefficiente B, la terza equazione del primo viene sottratta e B si chiarisce:

B = [f (xi+2) - f (xi)] = 2 h.

In sintesi, il polinomio P (x) di secondo grado che passa attraverso i punti Qi, Qi+1 e Qi+2 ha coefficienti:

A = [f (xi) - 2 f (xi+1)+f (xi+2)] / (2 h²)

B = [f (xi+2) - f (xi)] = 2 h

C = f (xi+1)

Calcolo dell'integrale approssimativo in [xi, xi+2]

Calcolo approssimativo dell'integrale in [a, b]

Come è già stato detto, sull'intervallo di integrazione totale [a, b] una partizione x0, x1, x2,…, xn -1, xn con il passaggio h = xi+1 - xi = (b - (b -) / n, dove n è una coppia.

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Quindi l'integrale definito nell'intervallo totale [a, b] è la somma degli integrali nei sottointervalli [xi, xi+2], che sono affrontati dagli integrali dei polinomi di interpolazione P (x):

Nella sezione precedente è stata trovata la formula per integrali polinomiali nei sottointervalli. Applicare questo risultato a ciascun integrale ha:

Che può essere riscritto in un modo più compatto come segue:

Errore di avvicinamento

Se la funzione a cui si desidera integrarsi nell'intervallo [a, b] è derivata al quarto ordine, continua in quell'interva del Formula Simpson Sn Per il valore dell'integrale:

Si noti che l'errore diminuisce con la quarta potenza del numero di suddivisioni dell'intervallo. Ad esempio, se si passa dalle suddivisioni N a 2n, l'errore diminuisce di un fattore 1/16.

Il livello di errore superiore ottenuto dall'approccio Simpson può essere ottenuto da questa stessa formula, sostituendo il quarto derivato con il valore assoluto massimo del quarto derivato nell'intervallo [a, b].

Esempi risolti

- Esempio 1

Considera la funzione f (x) = 1 / (1 + x²). 

Trova l'integrale definito della funzione F (x) nell'intervallo [-1, 1] usando il metodo Simpson con due suddivisioni (n = 2).

Soluzione 

È preso n = 2. I limiti di integrazione sono a = -1 e b = -2, quindi la partizione è così: 

X0 = -1; X1 = 0 e x2 = +1.

Pertanto, la formula di Simpson adotta come segue:

Con n = 2 → xo = -1, x1 = 0; x2 = 1, quindi:

- Esempio 2

Considera la funzione f (x) = 1 / (1 + x²). 

Trova l'integrale definito della funzione f (x) nell'intervallo [-1, 1] dalla formula Simpson con quattro suddivisioni (n = 4).

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Soluzione 

È preso n = 4. I limiti di integrazione sono a = -1 e b = -2, quindi la partizione è così: 

X0 = -1; X1 = -1/2; X2 = 0; X3 = 1/2 e x4 = +1.

La formula di Simpson è stabilita come segue:

Integrale ≃ [(b -a)/(3 n)] [f (x0) + 4 i + 2 p + f (xn)]

Nel caso in cui viene applicato, è il seguente:

Integrale ≃ (1- (1))/(3⋅4)] [f (-1) + 4 [f (--½) + f (½)] + 2 [f (0)] + f (1)

Integrale ≃ (2/12) [½ + 4 (⅘ + ⅘) + 2⋅1 + ½] = (⅙) [47/5] = 47/30 = 1.5666

- Esempio 3

Determina esattamente l'integrale definito degli esempi precedenti e fai un confronto del risultato esatto con quelli ottenuti dalla formula di Simpson negli esempi 1a e 1b.

Soluzione 

L'integrale indefinito della funzione f (x) = 1 / (1 + x²) è la funzione Arctan (x).

Quando si valutano i limiti di integrazione:

Integrale = arctan (1) - arctan (-1) = π/4 - (-π/4) = π/2 = 1.5708

Se confrontiamo il risultato della soluzione esatta con quella ottenuta con il metodo Simpson con n = 2 e n = 4 abbiamo:

Per n = 2 la differenza tra la soluzione esatta e approssimativa è π/2 -5/3 = -0959, vale a dire una differenza percentuale di -0,06%.

E per l'approccio Simpson con n = 4, la differenza tra la soluzione esatta e approssimativa è π/2 - 47/30 = 0,0041, vale a dire una differenza percentuale dello 0,003%.

Esercizio proposto

Il metodo di Simpson è adatto per essere applicato in linguaggi di programmazione e applicazioni informatiche rivolte ai calcoli matematici. È proposto al lettore che, in base alle formule fornite in questo articolo, scrive il suo codice nel suo programma preferito.

La figura seguente mostra un esercizio in cui è stata implementata la formula Simpson Smath Studio, software gratuito disponibile per i sistemi operativi finestre E Android.

Figura 3. Esempio di integrazione numerica attraverso la regola Simpson utilizzando il software. Fonte: f. Zapata.

Riferimenti

1. Casteleiro, J. M. 2002. Calcolo completo (Edizione illustrata). Madrid: editoriale ESIC.
2. UPV. Metodo Simpson. Università politecnica di Valencia. Recuperato da: YouTube.com
3. Purcell, e. 2007. Calcolo della nona edizione. Prentice Hall.
4. Wikipedia. Regola di Simpson. Recuperato da: è.Wikipedia.com
5. Wikipedia. Interpolazione polinomiale di Lagrange. Recuperato da: è.Wikipedia.com