Cosa sono i vettori di Coplanares? (Con esercizi risolti)

IL Vettori di Coplanares o i coplanari sono quelli che sono contenuti sullo stesso piano. Quando hai solo due vettori, questi sono sempre disprezzo.

Se hai tre o più vettori, può darsi che nessuno di essi non si trovi nello stesso piano degli altri, quindi non potevano essere considerati Coplanes. La figura seguente mostra una serie di coplanare indicati in vettori audaci A, B, C E D:

Figura 1. Quattro coplanare. Fonte: sé realizzato.

I vettori sono correlati al comportamento e alle proprietà delle magnitudini fisiche pertinenti nella scienza e nell'ingegneria; Ad esempio velocità, accelerazione e forza.

Una forza produce effetti diversi su un oggetto quando il modo in cui viene applicato è variato, ad esempio cambiando intensità, direzione e significato. Ancora cambiando uno di questi parametri i risultati sono considerevolmente diversi.

In molte applicazioni, sia in statica che in dinamica, le forze che agiscono su un corpo sono sullo stesso piano, quindi sono considerate complanere.

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Condizioni per i vettori da coplanare

Affinché tre vettori siano coplani devono essere sullo stesso piano e ciò accade se soddisfano una delle seguenti condizioni:

-I vettori sono paralleli, quindi i loro componenti sono proporzionali e sono linearmente dipendenti.

-Il tuo prodotto misto è nullo.

-Se hai tre vettori e uno di essi può essere scritto come una combinazione lineare degli altri due, questi vettori sono complani. Ad esempio un vettore che deriva dalla somma di altri due, i tre sono tutti nello stesso piano.

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In alternativa, la condizione di coplanarità può essere stabilita come segue:

U v w Sono complani se ci sono tre numeri (scalari) α, β, γ tale che αO + βv + γW = 0 Con (α, β, γ) diverso da (0, 0, 0)

Prodotto misto tra tre vettori

Il prodotto misto tra i vettori è definito con tre vettori O, v E W, risultante in uno scalare che deriva dall'esecuzione della seguente operazione:

O · (v X W) = O · (v X W)

Innanzitutto viene realizzato il prodotto incrociato tra parentesi: v X W, il cui risultato è un vettore normale (perpendicolare) al piano in cui lo sono v COME W.

Sì O è sullo stesso piano di v E W, Naturalmente il prodotto scalare (prodotto punto) tra u e detto vettore normale deve essere 0. In questo modo viene verificato che i tre vettori sono complanire (si trovano sullo stesso piano).

Quando il prodotto misto non è nullo, il suo risultato è uguale al volume del parallelepiped che ha i vettori O, v E W come lati adiacenti.

Applicazioni

Coplanares, forze simultanee e non collineali

I punti di forza simultaneo Sono tutti applicati sullo stesso punto. Se sono anche complani, possono essere sostituiti da un solo, che si chiama forza risultante E ha lo stesso effetto di quello delle forze originali.

Se un corpo è in equilibrio grazie a tre coplanare, forze simultanee e non colinea (non parallele), chiamate A, B E C, Lui Il teorema di Lamy Sottolinea che la relazione tra queste forze (magnitudini) è la seguente:

A / sin α = b / sen β = c / sen γ

Con α, β e γ come angoli contrari alle forze applicate, come mostrato nella figura seguente:

figura 2. Tre forze A, B e C Coplanares su un oggetto. Fonte: Kiwakwok in inglese Wikipedia [dominio pubblico]

Esercizi risolti

-Esercizio 1

Trova il valore di K in modo che i seguenti vettori siano Coplanare:

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O =

v =

W =

Soluzione

Poiché si verificano i componenti dei vettori, vengono quindi utilizzati i criteri del prodotto misto:

O · (v X W) = 0

È risolto per primo v X W. I vettori saranno espressi in termini di vettori dell'unità Yo, J E K che distinguono le tre direzioni perpendicolari nello spazio (larghe, alta e profondità):

v= 4 Yo + J + 0 K

W= -1 Yo + 2J -1 K

v X W = -4 (i x i) + 8 (i x j) - 4 (i x k) - (J x i) + 2 (J x j) - 2 (J x k) = 8 K + 4 J + K -2 i = -2 Yo + 4 J + 9 K

Il prodotto scalare è ora proposto tra U e il vettore che ha risultati dall'operazione precedente, corrispondenza a 0:

O · (v X W) = (-3 Yo + K J + 2 K) · (-2 Yo + 4 J + 9 K) = 6 + 4K +18 = 0

24 + 4k = 0

Il valore richiesto è: k = - 6

In modo che il vettore O È:

O =

-Esercizio 2

La figura mostra un oggetto il cui peso è W = 600 N, sospeso in equilibrio grazie ai cavi posizionati secondo gli angoli mostrati nella Figura 3. È possibile applicare il teorema di Lamy in questa situazione? In ogni caso trova le magnitudini di T₁, T₂ E T₃ che rendono possibile l'equilibrio.

Figura 3. Un peso pende in equilibrio sotto l'azione delle tre tensioni mostrate. Fonte: sé realizzato.

Soluzione

Il teorema di Lamy è applicabile in questa situazione se viene preso in considerazione il nodo su cui vengono applicate le tre tensioni, poiché costituiscono un sistema di forze complanari. Innanzitutto il diagramma del corpo libero è realizzato per il peso a sospensione, al fine di determinare l'entità di T_3:

Figura 4. Diagramma del corpo libero per il peso sospeso. Fonte: sé realizzato.

Dalla condizione di equilibrio segue che:

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T₃  = W = 600 N

Gli angoli tra le forze sono contrassegnati in rosso nella figura seguente, può essere facilmente verificato che la sua somma è a 360 °. Ora è possibile applicare il teorema di Lamy, poiché è nota una delle forze e i tre angoli tra loro:

Figura 5.- In rosso gli angoli per applicare il teorema di Lamy. Fonte: sé realizzato.

T₁ / Sen 127º = W / Sen 106º

Pertanto: t₁ = Sen 127º (w /Sen 106º) = 498.5 n

Ancora una volta il teorema di Lamy viene applicato per cancellare T₂:

T₂ / sin 127 = t₁ / Sen 127º

T₂ = T₁ = 498.5 n

Riferimenti

1. Figueroa, d. Serie: Physics for Science and Engineering. Volume 1. Cinematica. 31-68.
2. Fisico. Modulo 8: vettori. Recuperato da: frtl.Utn.Edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Meccanici per ingegneri. Statico. 6a edizione. Azienda editoriale continentale.28-66.
4. McLean, w. Serie Schaum. Meccanici per ingegneri: statico e dinamico. 3a edizione. McGraw Hill. 1-15.
5. Wikipedia. Vettore. Recuperato da: è.Wikipedia.org.