Definizione e formule medie della velocità angolare, esercizi risolti

IL Velocità angolare media di rotazione è definito come l'angolo ruotato dalla posizione dell'unità temporale vettoriale di un punto che descrive il movimento circolare. Le lame di un ventilatore a soffitto (come quella mostrata nella Figura 1), seguono il movimento circolare e la sua velocità angolare media di rotazione viene calcolata prendendo il rapporto tra l'angolo di svolta e il tempo in cui quell'angolo è stato percolato.

Le regole seguite dal movimento di rotazione sono in un certo modo simile ai già parenti del movimento traslazionale. Le distanze percorse possono anche essere misurate in metri, tuttavia le magnitudini angolari assumono una rilevanza speciale perché facilitano notevolmente la descrizione del movimento.

Figura 1. Le lame del ventilatore hanno una velocità angolare. Fonte: Pixabay

Le lettere greche sono generalmente utilizzate per le magnitudini angolari e le lettere latine per le corrispondenti magnitudini lineari.

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Definizione e formule

La Figura 2 rappresenta il movimento di un punto su una traiettoria circolare c. La posizione p del punto corrisponde all'istante t e alla posizione angolare corrispondente a quel momento è ϕ. 

Dal momento in cui viene trascorso un periodo di tempo Δt. In quel periodo la nuova posizione del punto è p 'e la posizione angolare ha aumentato un angolo Δϕ.

figura 2. Movimento circolare di un punto. Fonte: sé realizzato

La velocità angolare media ω è l'angolo percolato per unità di tempo, in modo che il quoziente Δϕ/Δt rappresenti la velocità angolare media tra i momenti T e T+Δt:

Poiché l'angolo viene misurato in radianti e tempo in pochi secondi, l'unità della velocità angolare media è rad/s. Se vuoi calcolare il velocità angolare Proprio al momento t, allora il quoziente Δϕ/Δt dovrà essere calcolato quando Δt ➡0.

L'unità di misura della velocità angolare istantanea è anche rad/s.

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Rotazione uniforme

Un movimento di rotazione è uniforme se in qualsiasi momento osservato, l'angolo viaggiato è lo stesso nello stesso periodo di tempo. Se la rotazione è uniforme, la velocità angolare in qualsiasi momento coincide con la velocità angolare media.

In un movimento di rotazione uniforme, il tempo in cui viene chiamato una svolta completa periodo Ed è indicato con t. 

Inoltre, quando l'angolo viaggiato è pieno, è 2π, quindi in una rotazione uniforme la velocità angolare ω è correlata al periodo T, dalla seguente formula:

IL frequenza F di una rotazione uniforme come il rapporto tra il numero di turni e il tempo trascorso a viaggiarli, cioè al momento del tempo Δt ci saranno quindi la frequenza sarà:

F = n/Δt

Come giro (n = 1) viene viaggiato in un tempo t (il periodo), è disponibile la seguente relazione:

F = 1/t

Cioè, in una rotazione uniforme la velocità angolare è correlata alla frequenza attraverso la relazione:

Ω = 2π ・ f

Relazione tra velocità angolare e velocità lineare

Velocità lineare v, È il quoziente tra la distanza percorsa e il periodo di tempo usato per viaggiarlo. Nella Figura 2 la distanza percorsa è la lunghezza dell'arco ΔS. 

L'arco ΔS è proporzionale all'angolo viaggiato Δϕ e alla radio R, che soddisfa la seguente relazione:

ΔS = R ・ Δϕ

Ogni volta che Δϕ viene misurato in radianti.

Se dividiamo l'espressione precedente tra il periodo di tempo Δt otterremo:

(ΔS/ΔT) = r ・ (Δϕ/Δt)

Il primo rapporto membro è la velocità lineare e il quoziente del secondo membro la velocità angolare media:

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v = r ・ ω

Esercizi risolti

-Esercizio 1

Le punte delle pale della ventola del tetto mostrate in Figura 1 si muovono con una velocità di 5 m/se le pale sono 40 cm di raggio.

Con questi dati calcola: i) la velocità angolare media della ruota, ii) il numero di giri che la ruota fornisce in un secondo, iii) il periodo in secondi.

Soluzione 

i) La velocità lineare è v = 5 m/s.

La radio è r = 0,40 m.

Dalla relazione tra velocità lineare e velocità angolare eliminiamo quest'ultimo:

v = r ・ ω => ω = v/r = (5 m/s)/(0.40 m) = 12,57 rad/s

ii) ω = 2π ・ f => f = ω / 2π = (12,57 rad / s) / (2π rad) = 2 turn / s

iii) t = 1 / f = 1 / (2 turni / s) = 0,5 s per giro.

-Esercizio 2

Una passeggiata giocattolo si muove su una traccia circolare di raggio di 2 m. A 0s la sua posizione angolare è 0 rad, ma dopo una posizione angolare è

φ (t) = 2 ・ t .

Con questi dati 

i) Calcola la velocità angolare media nei seguenti intervalli di tempo [0s, 0.5s]; [0.5s, 1.0s]; [1.0, 1.5s] e infine nel periodo [0.0, 1.5s]. 

ii) in base ai risultati della parte I) cosa si può dire del movimento?

iii) Determinare la velocità lineare media nello stesso periodo di tempo della sezione I)

iv) Trova la velocità angolare e la velocità lineare per qualsiasi momento.

Soluzione 

i) La velocità angolare media è data dalla seguente formula:

Procediamo per calcolare l'angolo viaggiato e il periodo di tempo trascorso in ogni intervallo.

Intervallo 1: Δϕ = ϕ (0.5s) - ϕ (0.0s) = 2 (rad/s)*0.5s - 2 (rad/s)*0.0s = 1.0 rad

                   ΔT = 0.5s - 0.0s = 0.5s

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                   Ω = Δϕ/Δt = 1.0rad/0.5s = 2.0 rad/s

Intervallo 2: Δϕ = ϕ (1.0s) - ϕ (0.5s) = 2 (rad/s)*1.0s - 2 (rad/s)*0.5s = 1.0 rad

                   ΔT = 1.0s - 0.5s = 0.5s

                   Ω = Δϕ/Δt = 1.0rad/0.5s = 2.0 rad/s

Intervallo 3: Δϕ = ϕ (1.5s) - ϕ (1.0s) = 2 (rad/s)*1.5s - 2 (rad/s)*1.0s = 1.0 rad

                   ΔT = 1.5s - 1.0s = 0.5s

                   Ω = Δϕ/Δt = 1.0rad/0.5s = 2.0 rad/s

Intervallo 4: Δϕ = ϕ (1.5s) - ϕ (0.0s) = 2 (rad/s)*1.5s - 2 (rad/s)*0.0s = 3.0 rad

                   ΔT = 1.5s - 0.0s = 1.5s

                   Ω = Δϕ/Δt = 3.0rad/1.5s = 2.0 rad/s

ii) In vista dei risultati precedenti, in cui la velocità angolare media è stata calcolata in diversi intervalli di tempo, si ottiene sempre lo stesso risultato. Sembra indicare che si tratta di un movimento circolare uniforme. Tuttavia, questi risultati non sono conclusivi.

Il modo per garantire la conclusione è calcolare la velocità angolare media per un intervallo arbitrario [t, t -t)

                                     Δt = t ' - t

                                     Ω = Δϕ/Δt = 2*(t'-t)/(t'-t) = 2.0 rad/s

Ciò significa che la passeggiata giocattolo ha una velocità angolare media costante di 2 rad/s in qualsiasi periodo di tempo considerato. Ma puoi andare oltre se viene calcolata la velocità angolare istantanea:

Questo è interpretato come l'auto giocattolo in ogni momento ha una velocità angolare costante = 2 rad/s.

Riferimenti

1. Giancoli, d. Fisica. Principi con applicazioni. 6a edizione. Prentice Hall. 30-45.
2. Kirkpatrick, l. 2007. Fisica: uno sguardo al mondo. 6^ta Edizione abbreviata. Apprendimento del Cengage. 117.
3. Resnick, r. (1999). Fisico. Volume 1. Terza edizione in spagnolo. Messico. Azienda editoriale continentale S.A. di c.V. 33-52.
4. Serway, r., Jewett, J. (2008). Fisica per la scienza e l'ingegneria. Volume 1. 7 °. Edizione. Messico. Editori di apprendimento di Cengage. 32-55.
5. Wikipedia. Velocità angolare. Recuperato da: Wikipedia.com