Qual è la gamma statistica? (Con esempi)

Lui allineare, Tour o ampiezza, in statistica, è la differenza (sottrazione) tra il valore massimo e il valore minimo di un insieme di dati da un campione o una popolazione. Se l'intervallo con la lettera R e i dati è rappresentato per mezzo di X, La formula per la gamma è semplicemente:

R = x_max - X_min

 Dove x_max È il valore massimo dei dati e x_min È il minimo.

Figura 1. Gamma di dati corrispondenti alla popolazione di Cádiz negli ultimi due secoli. Fonte: Wikimedia Commons.

Il concetto è molto utile come semplice misura di dispersione per apprezzare rapidamente la variabilità dei dati, in quanto indica l'estensione o la lunghezza dell'intervallo in cui si trovano.

Ad esempio, supponiamo che la statura di un gruppo di 25 studenti maschi del primo anno di ingegneria in un'università. Lo studente più alto nel gruppo misura 1.93 m e il più basso 1.67 m. Questi sono i valori estremi dei dati del campione, quindi il percorso di essi è:

R = 1.93 - 1.67 m = 0.26 m o 26 cm.

La statura degli studenti di questo gruppo è distribuita in questa gamma.

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Vantaggi e svantaggi

L'intervallo è, come abbiamo detto prima, una misura di come dispersi sono i dati. Un piccolo intervallo indica che i dati sono più o meno vicini e la dispersione è piccola. D'altra parte, un intervallo più ampio è indicativo che i dati sono più dispersi.

I vantaggi del calcolo della gamma sono evidenti: è molto semplice e veloce da trovare, perché è una differenza semplice.

Ha anche le stesse unità dei dati con cui funziona e il concetto è molto facile da interpretare per qualsiasi osservatore.

Nell'esempio della statura degli studenti di ingegneria, se la gamma fosse stata di 5 cm, diremmo che gli studenti hanno tutte delle stesse dimensioni. Ma con un intervallo di 26 cm, supponiamo immediatamente che nel campione ci siano studenti di tutte le stature intermedie. Questo ipotesi fa sempre bene?

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Svantaggi della gamma come misura di dispersione

Se guardiamo attentamente, nel nostro campione di 25 studenti di ingegneria, solo uno di loro misura 1.93 e i restanti 24 hanno stature vicine a 1.67 m.

Eppure la gamma rimane la stessa, sebbene sia perfettamente possibile che si verifichi il contrario: che la statura della maggioranza oscilla intorno a 1.90 m e solo una misura 1.67 m.

In ogni caso, la distribuzione dei dati è molto diversa.

Gli svantaggi dell'intervallo come misura di dispersione sono dovuti al fatto che utilizza solo valori estremi e ignora tutti gli altri. Man mano che la maggior parte delle informazioni viene persa, non c'è idea di come siano distribuiti i dati di esempio.

Un'altra caratteristica importante è che l'intervallo del campione non diminuisce mai. Se aggiungiamo ulteriori informazioni, cioè consideriamo più dati, l'intervallo aumenta o rimane lo stesso.

E in ogni caso, è utile solo quando si lavora con piccoli campioni, il suo uso unico non è raccomandato come misura di dispersione in campioni di grandi dimensioni.

Ciò che deve essere fatto è integrare il calcolo di altre misure di dispersione che tengono conto delle informazioni fornite dai dati totali: percorso Interquarilic, Varianza, deviazione standard e coefficiente di variazione.

Percorso interbiettivo, quartili ed esempio risolto

Ci siamo resi conto che la debolezza dell'intervallo come misura di dispersione è che utilizza solo i valori estremi della distribuzione dei dati, omettendo gli altri.

Per evitare questo inconveniente, il quartili: tre valori noti come misure di posizione.

Distribuiscono i dati non raggruppati in quattro parti (altre misure di posizione ampiamente utilizzate sono Decili e il percentili). Queste sono le sue caratteristiche:

-Il primo quartile q₁ È il valore dei dati in modo tale che il 25 % di tutti è inferiore a Q₁.

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-Il secondo quartile q₂ È il mediano della distribuzione, il che significa che la metà (50 %) dei dati è inferiore a quel valore.

-Finalmente il terzo quartile q₃ sottolinea che il 75 % dei dati è inferiore a Q₃.

Quindi, l'intervallo interquotile o il percorso interquartile sono definiti come la differenza tra il terzo quartile q₃ e il primo quartile q₁ dei dati:

Viaggio interquotile = r_Q = Q₃ - Q₁

In questo modo, il valore del rango r_Q Non è così influenzato da valori estremi. Pertanto è consigliabile usarlo quando si tratta di distribuzioni distorte, come studenti molto alti o molto bassi sopra descritti.

- Calcolo di Cuartyles

Esistono diversi modi per calcolarli, qui ne proponiamo uno, ma in ogni caso è necessario conoscere il Numero di ordine "N_O", Che è il luogo che occupa il rispettivo quartile nella distribuzione.

Cioè, se ad esempio il termine corrispondente a q₁ è il secondo, il terzo o il quarto e così sulla distribuzione.

Primo quartile

N_O (Q₁) = (N+1) / 4

Secondo quartile o mediana

N_O (Q₂) = (N+1) / 2

Terzo quartile

N_O (Q₃) = 3 (n+1) / 4

Dove n è il numero di dati.

La mediana è il valore che è giusto nel mezzo della distribuzione. Se il numero di dati è dispari non vi è alcun problema nel trovarlo, ma se è uniforme, i due valori centrali vengono mediati per trasformarli in uno.

Una volta calcolato il numero dell'ordine, viene seguita una di queste tre regole:

-Se non si dispone di decimali, i dati indicati nella distribuzione vengono ricercati e questo sarà il quarto perquisito.

-Quando il numero dell'ordine è a metà strada tra due, i dati indicati dall'intera parte con il seguente fatto vengono mediati e il risultato è il quartile corrispondente.

-In ogni altro caso, il numero intero più vicino è arrotondato e questo sarà il quarto posto.

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Esempio risolto

Su una scala da 0 a 20, un gruppo di 16 studenti di matematica ho ottenuto i seguenti voti (punti) in un esame parziale:

16, 10, 12, 8, 9, 15, 18, 20, 9, 11, 1, 13, 17, 9, 10, 14

Trovare:

a) Il percorso dei dati o dei dati.

b) i valori dei quartili Q₁ e q₃

c) la gamma interquartil.

figura 2. Le qualifiche di questo esame matematico fai così tanta variabilità? Fonte: Pixabay.

Soluzione a

La prima cosa da fare per trovare il percorso è ordinare i dati in aumento o in diminuzione. Ad esempio in ordine crescente che hai:

1, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20

Attraverso la formula indicata all'inizio: r = x_max - X_min

R = 20 - 1 punti = 19 punti.

Secondo il risultato, questi voti hanno una grande dispersione.

Soluzione b

N = 16

N_O (Q₁) = (N + 1) / 4 = (16 + 1) / 4 = 17/4 = 4.25

È un numero con decimali, la cui parte è 4. Quindi andiamo alla distribuzione, i dati che occupano il quarto posto sono ricercati e il suo valore è mediato con quello della quinta posizione. Come entrambi sono 9, la media è anche 9 e poi:

Q₁ = 9

Ora ripetiamo la procedura per trovare Q₃:

N_O (Q₃) = 3 (n +1) / 4 = 3 (16 +1) / 4 = 12.75

Ancora una volta è un decimale, ma poiché non è a metà strada è arrotondato a 13. Il quartile ricercato occupa la tredici posizione ed è:

Q₃ = 16

Soluzione c

R_Q = Q₃ - Q₁ = 16 - 9 = 7 punti.

Che come vediamo è molto inferiore all'intervallo di dati calcolato nella sezione A), poiché la valutazione minima era di 1 punto, un valore molto più lontano dal resto.

Riferimenti

1. Berenson, m. 1985. Statistiche per l'amministrazione ed economia. Inter -American s.A.
2. Canavos, g. 1988. Probabilità e statistiche: applicazioni e metodi. McGraw Hill.
3. Devore, j. 2012. Probabilità e statistiche per l'ingegneria e la scienza. 8 °. Edizione. Cengage.
4. Esempi di quartili. Estratto da: Mathematics10.netto.
5. Levin, r. 1988. Statistiche per gli amministratori. 2 °. Edizione. Prentice Hall.
6. Walpole, r. 2007. Probabilità e statistiche per l'ingegneria e la scienza. Pearson.