Proprietà dei numeri immaginari, applicazioni, esempi

IL Numeri immaginari Sono quelli che danno soluzione all'equazione in cui l'ignoto, quadrato elevato, è uguale a un numero negativo reale. L'unità immaginaria è I = √ (-1).

Nell'equazione: z²= - a, z È un numero immaginario che viene espresso come segue:

 Z = √ (-a) = i√ (a)

Essendo A Un numero reale positivo. Sì A = 1, COSÌ z = i, Dove Yo è l'unità immaginaria.

Figura 1. Piano complesso che mostra alcuni numeri reali, alcuni numeri immaginari e alcuni numeri complessi. Fonte: f. Zapata.

In generale, un numero immaginario Z è sempre espresso nella forma: 

z = y⋅i

Dove E È un numero reale e Yo è l'unità immaginaria.

Così come i numeri reali sono rappresentati su una linea, chiamato Vero etero, Analogo i numeri immaginari sono rappresentati su Immaginaria dritto.

IL Immaginaria dritto È sempre ortogonale (forma a 90º) al Vero etero e le due linee definiscono un piano cartesiano chiamato Piano complesso.

La Figura 1 mostra il piano complesso e alcuni numeri reali, alcuni numeri immaginari e anche alcuni numeri complessi sono rappresentati su di esso:

X₁, X₂, X₃ Sono numeri reali

E₁, E₂, E₃ Sono numeri immaginari

Z₂ e z₃ Sono numeri complessi

Il numero o è lo zero reale ed è anche lo zero immaginario, in modo che l'origine o sia il complesso zero espresso da:

0 + 0i 

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Proprietà

L'insieme di numeri immaginari è indicato da:

I = …, -3i, ..., -2i, .. .,-Yo, .. .,0i, .. .,Yo, .. .,2i, .. .,3i, ...

E alcune operazioni su questo set numerico possono essere definite. Un numero immaginario non è sempre ottenuto da queste operazioni, quindi le vedremo con un po 'più di dettagli:

Somma e sottrazione dell'immaginario

I numeri immaginari possono aggiungere e sottrarre l'uno dall'altro e di conseguenza ci sarà un nuovo numero immaginario. Per esempio:

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 3i + 2i = 5i

4i - 7i = -3i

Prodotto immaginario

Quando viene realizzato il prodotto di un numero immaginario con un altro, il risultato è un numero reale. Facciamo la seguente operazione per verificare:

2i x 3i = 6 x i² = 6 x (√ (-1))² = 6 x (-1) = -6.

E come vediamo, il -6 è un numero reale, sebbene sia stato ottenuto moltiplicando due numeri immaginari puri.

Prodotto di un numero reale per un altro immaginario

Se un numero reale viene moltiplicato per I, il risultato sarà un numero immaginario, che corrisponde a una rotazione di 90 gradi.

Ed è che io² corrisponde a due rotazioni consecutive di 90 gradi, il che equivale a moltiplicare per -1, cioè i² = -1. Può essere visto nel diagramma seguente:

figura 2. La moltiplicazione per l'unità immaginaria e corrisponde a rotazioni a 90º. Fonte: Wikimedia Commons.

Per esempio:

-3 x 5i = -15i

-3 x i = -3i.

Potenziamento di un immaginario

Il potenziamento di un numero immaginario a un intero esponente può essere definito:

Yo¹ = i

Yo² = i x i = √ (-1) x √ (-1) = -1

Yo³ = i x i² = -I

Yo⁴ = i² x i² = -1 x -1 = 1

Yo⁵ = i x i⁴ = i

In generale devi Yo^N = i^(n mod 4), Dove Mod È il residuo della divisione tra N E 4.

Il potenziamento degli interi negativi può anche essere realizzato:

Yo^-1 = 1 / i¹ = i / (i x i¹) = I / (i²) = I / (-1) = -i

Yo-² = 1 / i² = 1/ (-1) = -1

Yo-³= 1 / i³ = 1 / (-i) = (-1) / i = -1 x i^-1 = (-1) x (-i) = i

In generale, il numero immaginario B⋅I elevato al potere n è:

(B⋅i) i^N = b^N Yo^N = b^N i^(n mod 4)

Alcuni esempi sono i seguenti:

(5 i)¹² = 5¹² Yo¹² = 5¹² Yo⁰ = 5¹² x 1 = 244140625

(5 i)^undici = 5^undici Yo^undici = 5^undici Yo³ = 5^undici x (-i) = -48828125 i

(-2 i)¹⁰ = -2¹⁰ Yo¹⁰ = 2¹⁰ Yo² = 1024 x (-1) = -1024

Somma di un numero reale e un immaginario

Quando viene aggiunto un numero reale con uno immaginario, il risultato non è né reale né immaginario, è un nuovo tipo di numero chiamato Numero complesso.

Ad esempio, se x = 3,5 e y = 3,75i, allora il risultato è il numero complesso:

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Z = x + y = 3,5 + 3.75 i

Si noti che le parti reali e immaginarie non possono essere raggruppate nella somma, quindi un numero complesso avrà sempre una parte reale e un'altra parte immaginaria.

Questa operazione estende l'insieme di numeri reali al più ampio dei numeri complessi.

Applicazioni

Il nome di numeri immaginari fu proposto dal matematico francese René Descartes (1596-1650) come beffa o disaccordo con la proposta di loro fatta dal matematico italiano del Raffaelle Century Bombelli.

Altri grandi matematici, come Euler e Leibniz, hanno distaccato Descartes in questo disaccordo e chiamati numeri immaginari come Numeri anfibi, che sono stati discussi tra essere e nulla.

Il nome di numeri immaginari è mantenuto oggi, ma la sua esistenza e importanza sono molto reali e palpabili, poiché appaiono naturalmente in molti campi di fisica come:

-La teoria della relatività.

-Nell'elettromagnetismo.

-Meccanica quantistica.

Esercizio con numeri immaginari

- Esercizio 1

Trova le soluzioni della seguente equazione:

z² + 16 = 0

Soluzione

z² = -16

Prendere la radice quadrata in entrambi i membri che hai:

√ (z² ) = √ (-16)

± z = √ (-1 x 16) = √ (-1) √ (16) = i x 4 = 4i

In altre parole, le soluzioni dell'equazione originale sono:

z = +4i o z = -4i.

- Esercizio 2

Trova il risultato della raccolta dell'unità immaginaria in potenza 5 meno sottrazione L'unità immaginaria elevata alla potenza -5.

Soluzione

Yo⁵ - Yo-⁵ = i⁵ - 1/i⁵ = i - 1/i = i - (i)/(i x i) = i - i/( - 1) = i + i = 2i

- Esercizio 3

Trova il risultato della seguente operazione:

(3i)³ + 9i 

Soluzione

3³ Yo³ - 9 = 9 (-i) + 9i = -9i + 9i = 0i

- Esercizio 4

Trova le soluzioni della seguente equazione quadratica:

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(-2x)² + 2 = 0

Soluzione

L'equazione è riorganizzata come segue:

(-2x)² = -2

Quindi prendi una radice quadrata in entrambi i membri

√ ((-2x)²) = √ (-2)

± (-2x) = √ (-1 x 2) = √ (-1) √ (2) = i √ (2) = √2 i

Quindi X viene finalmente ottenuto:

x = ± √2 / 2 i

Cioè, ci sono due possibili soluzioni:

x = (√2 / 2) i

O questo altro:

x = - (√2 / 2) i

- Esercizio 5

Trova il valore di z definito da:

Z = √ (-9) √ (-4) + 7

Soluzione

Sappiamo che la radice quadrata di un numero reale negativo è un numero immaginario, ad esempio √ (-9) è uguale a √ (9) x √ (-1) = 3i.

D'altra parte, √ (-4) è uguale a √ (4) x √ (-1) = 2i.

In modo che l'equazione originale possa essere sostituita da:

3i x 2i - 7 = 6 i² - 7 = 6 (-1) -7 = -6 -7 = -13

- Esercizio 6

Trova il valore di z risultante dalla seguente divisione di due numeri complessi:

Z = (9 - i²) / (3 + i)

Soluzione

Il numeratore di espressione può fare in modo che l'utilizzo della seguente proprietà:

Una differenza di quadrati è il prodotto della somma per la differenza dei binomiali senza allevare il quadrato.

COSÌ:

Z = [(3 - i) (3 + i)] / (3 + i)

L'espressione risultante viene quindi semplificata rimanendo

Z = (3 - i)

Riferimenti

1. Earl, r. Numeri complessi. Recuperato da: matematica.bue.AC.UK.
2. Figuera, j. 2000. Matematica 1st. Diversificato. Edizioni co-bo.
3. Hoffmann, j. 2005. Selezione di problemi di matematica. Pubblicazioni di Monfort.
4. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Wikipedia. Numero immaginario. Recuperato da: in.Wikipedia.org