Calcolo del modulo giovane, applicazioni, esempi, esercizi

Lui Giovane modulo o Il modulo di elasticità è la costante che mette in relazione lo sforzo di trazione o compressione al rispettivo aumento o diminuzione della lunghezza che l'oggetto ha presentato a queste forze ha.

Le forze esterne applicate agli oggetti non solo possono cambiare lo stato del loro movimento, ma sono anche in grado di cambiare la loro forma o addirittura rotta o fratturale.

Figura 1. I movimenti del gatto sono pieni di elasticità e grazia. Fonte: Pixabay.

Il modulo di Young serve a studiare i cambiamenti prodotti in un materiale quando una forza di trazione o compressione viene applicata a un livello esterno. È molto utile in questioni come l'ingegneria o l'architettura.

Il modello deve il suo nome allo scienziato britannico Thomas Young (1773-1829), che fu colui che conduceva studi sui materiali che proponeva una misura della rigidità di diversi materiali.

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Qual è il modello di Young?

Il modello di Young è una misura di rigidità. Nei materiali con bassa rigidità (rosso) c'è più deformazione di fronte a un'estensione o alla comprensione del carico. Tigraan/CC BY-SA (https: // creativeCommons.Org/licenze/by-sa/4.0)

Quanto può deformare un oggetto? Questo è qualcosa che gli ingegneri spesso vogliono sapere. La risposta dipenderà dalle proprietà del materiale e dalle dimensioni che hai.

Ad esempio, due barre in alluminio possono essere confrontate con dimensioni diverse. Ognuno ha un'area diversa di sezione trasversale e lunghezza ed entrambi sono soggetti alla stessa forza di trazione.

Il comportamento atteso sarà il seguente:

- Uno spessore maggiore (sezione trasversale) della barra, meno allungamento.

- Una lunghezza iniziale maggiore, maggiore tratto finale.

Questo ha senso, perché dopo tutto, l'esperienza indica che non è lo stesso cercare di deformare una lega di gomma piuttosto che provare a farlo con una canna d'acciaio.

Un parametro chiamato modulo di elasticità del materiale è un indicativo della sua risposta elastica.

Come viene calcolato?

Essendo un medico, Young voleva conoscere il ruolo dell'elasticità delle arterie nella buona prestazione della circolazione sanguigna. Dalle sue esperienze ha concluso la seguente relazione empirica:

Lo sforzo è proporzionale alla deformazione, purché il limite elastico del materiale non venga superato.

È possibile graficamente il comportamento di un materiale prima dell'applicazione di uno sforzo, come si può vedere nella figura seguente.

figura 2. Grafico di stress rispetto alla deformazione per un materiale. Fonte: sé realizzato.

Dall'origine al punto

Nella prima sezione, che va dall'origine al punto A, il grafico è una linea retta. C'è valida la legge di Hooke:

F = kx

Dove F È l'entità della forza che ritorna al materiale allo stato originale, X È la deformazione sperimentata da questo e K È una costante che dipende dall'oggetto sotto lo sforzo.

Le deformazioni considerate qui sono piccole e il comportamento è perfettamente elastico.

Da A a B

Da A a B, anche il materiale si comporta in modo elastico, ma la relazione tra sforzo e deformazione non è più lineare.

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Da b a c

Tra i punti B e C, la materiale sperimenta una deformazione permanente, non essendo in grado di tornare al suo stato originale.

Da c

Se il materiale continua a allungarsi dal punto C, finalmente subisce una pausa.

Matematicamente, le osservazioni di Young possono essere riassunte come segue:

Sforzo ∝ deformazione

Laddove la costante di proporzionalità è proprio il modulo di elasticità del materiale:

Sforzo = Modulo di elasticità X Deformazione

Esistono molti modi per deformare i materiali. I tre tipi più comuni di sforzo a cui inviare un oggetto sono:

- Tensione o stretching.

- Compressione.

- Tagliare o taglio.

Uno sforzo in cui i materiali sono comunemente sottoposti, ad esempio nella costruzione civile o in parti automobilistiche,.

Formule

Quando un oggetto di lunghezza L è allungato o teso, è sottoposto a una trazione che provoca una variazione nella sua lunghezza. Uno schema di questa situazione è rappresentato nella Figura 3.

Ciò richiede che una forza di grandezza F per unità di area sia applicata alle sue estremità, per causare lo stretching, in modo che la sua nuova lunghezza diventi L +.

Lo sforzo fatto per deformare l'oggetto sarà proprio questa forza per unità di area, mentre il Deformazione unitaria sperimentato è Δl/l.

Figura 3. Un oggetto sottoposto a trazione o allungamento, sperimenta un allungamento. Fonte: sé realizzato.

Indicando il modulo di Young come E, E secondo quello che è stato detto sopra:

 Perché la deformazione unitaria viene scelta specificamente e non semplicemente la deformazione per asciugare?

La risposta è nel fatto che la deformazione unitaria indica la deformazione relativa rispetto alla lunghezza originale. Non è lo stesso di un allungamento di 1 m a barre o scorrere 1 cm, in modo che una struttura di 100 metri di lunghezza sia ugualmente deformata 1 cm.

Per il corretto funzionamento di pezzi e strutture, è consentita una tolleranza in termini di deformazioni relative.

Equazione per calcolare la deformazione

Se l'equazione precedente viene analizzata come segue:

È facile convincerti che per una certa forza F, soddisfa le osservazioni che i giovani hanno fatto e che sono stati descritti sopra:

- Una maggiore area di sezione trasversale, una deformazione inferiore.

- Una lunghezza maggiore, maggiore deformazione.

- Un modulo giovane superiore, una deformazione inferiore.

Le unità di sforzo corrispondono a Newton/Square Meter (n/m²). Sono anche le unità di pressione, che nel sistema internazionale sono chiamate Pascal. Deformazione unitaria ΔL/L invece è senza dimensioni perché è il quoziente tra due lunghezze.

Le unità del sistema inglese sono LB/PLG² E sono anche usati molto frequentemente. Il fattore di conversione per passare dall'uno all'altro è: 14.7 lb/plg² = 1.01325 x 10⁵ papà

Questo porta al giovane modulo ha anche unità di pressione. Infine, l'equazione precedente può essere espressa per chiarire E:

Applicazioni

Nella scienza dei materiali, la risposta elastica di questi di fronte a vari sforzi è importante per selezionare il più appropriato in ciascuna applicazione, sia per produrre l'ala di un piano o di un cuscinetto automobilistico. Le caratteristiche del materiale da utilizzare sono decisive nella risposta prevista.

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Per scegliere il materiale migliore, è necessario conoscere gli sforzi a cui verrà sottoposto un determinato pezzo; e di conseguenza seleziona il materiale che ha le proprietà più coerenti con il design.

Ad esempio, l'ala di un aereo deve essere resistente, leggera e capace di flessione. I materiali utilizzati negli edifici la costruzione devono resistere ai movimenti sismici in larga misura, ma devono anche avere una certa flessibilità.

Gli ingegneri che progettano le ali degli aeroplani e anche coloro che scelgono i materiali da costruzione, devono utilizzare grafici di deformazione dello sforzo come quello mostrato nella Figura 2.

È possibile eseguire le misurazioni per determinare le proprietà elastiche più rilevanti di un materiale in laboratori specializzati. Pertanto, ci sono prove standardizzate a cui vengono presentati i campioni, a cui vengono applicati vari sforzi, quindi misurando le deformazioni risultanti.

Esempi

Come menzionato sopra, E Non dipende dalle dimensioni o dalla forma dell'oggetto, ma dalle caratteristiche del materiale.

Un'altra nota molto importante: in modo che l'equazione sopra indicata sia applicabile, il materiale deve essere isotropico, Cioè, le sue proprietà devono rimanere invariabili in tutta la sua estensione.

Non tutti i materiali sono isotropos: ci sono la cui risposta elastica dipende da alcuni parametri direzionali.

La deformazione analizzata nei segmenti precedenti è solo una delle tante a cui è possibile presentare un materiale. Ad esempio, in termini di sforzo di compressione, è l'opposto dello sforzo di tensione.

Le equazioni fornite si applicano ad entrambi i casi e quasi sempre i valori di E Sono gli stessi (materiali isotropi).

Una straordinaria eccezione è il cemento o il cemento, che resiste a una migliore compressione della trazione. Pertanto, deve essere rinforzato quando è necessaria la resistenza di allungamento. L'acciaio è il materiale indicato per questo, in quanto resiste molto bene lo stretching o le trazioni.

Come esempi di strutture sotto sforzi sono le colonne di edifici e archi, elementi di costruzione classici in molte civiltà antiche e moderne.

Figura 4. Pont Julien, una costruzione romana dall'anno 3 a.D.C. Nel Sud della Francia.

Esercizi risolti

Esercizio 1

Un filo di 2 acciaio.0 m di lunghezza su uno strumento musicale ha un raggio di 0.03 mm. Quando il cavo è sotto una tensione di 90 N: quanto cambia la sua lunghezza?Fatto: Il giovane modulo di acciaio è 200 x 10⁹ N/m²

Soluzione

È necessario calcolare la sezione trasversale a = πr² = π. (0.03 x 10^-3 M)² = 2.83 x 10^-9 M²

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Lo sforzo è la tensione per unità di area:

Pertanto ΔL = 0.16 x 2 m = 0.32 m

Poiché la corda è sotto tensione, ciò significa che si allunga.

La nuova lunghezza è l = l_O + Dl, dove l_O È la lunghezza iniziale:

L = 2.32 m

Esercizio 2

Una colonna di marmo, la cui area della sezione trasversale è 2.0 m² contiene una massa di 25.000 kg. Trovare:

a) Lo sforzo nella colonna.

b) Deformazione unitaria.

c) quanto costa la colonna se la sua altezza è 12 m?

Fatto: Young Module of Marble è 50 x 10⁹ N/m²

Soluzione

a) Lo sforzo nella colonna è dovuto al peso dei 25000 kg:

P = mg = 25000 kg x 9.8 m/s² = 245.000 n

Pertanto lo sforzo è:

b) La deformazione unitaria è ΔL/L:

c) ΔL è la variazione della lunghezza, data da:

ΔL = 2.45 x 10^-6 x 12 m = 2.94 x10^-5 M = 0.0294 mm.

Non si prevede che la colonna di marmo sia significativa. Si noti che mentre il giovane modulo è inferiore in marmo rispetto all'acciaio e che la colonna supporta anche una forza molto più grande, la sua lunghezza varia quasi.

D'altra parte, nella corda dell'esempio precedente la variazione molto più apprezzabile, sebbene l'acciaio abbia un giovane modulo molto più grande.

Nella colonna interviene la sua grande area trasversale, ed è per questo che è molto meno deformabile.

Su Thomas Young

1822 Ritratto di Thomas Young. Thomas Lawrence / Public Domain

Il modulo di elasticità riceve il nome in onore di Thomas Young (1773-1829), British Scientific Versatile che ha dato un grande contributo alla scienza in numerose aree.

Come fisico, giovane non solo ha studiato la natura ondulata della luce, ha rivelato con il famoso esperimento a doppia fessura, ma anche un medico, linguista e ha persino contribuito a decifrare parte dei geroglifici egiziani della famosa Rosetta Stone.

Era un membro della Royal Society, della Royal Academy of Sciences of Svezia, dell'American Academy of Arts and Sciences o dell'Accademia delle scienze della Francia, tra le altre nobili istituzioni scientifiche.

Tuttavia, è degno di nota il fatto che il concetto del modello era già stato precedentemente sviluppato da Leonhar Euler (1707-1873) e che scienziati come Giordano Riccati (1709-1790) abbiano già condotto alcuni esperimenti che avrebbero messo in pratica il giovane praticante modello.

Riferimenti

1. Bauer, w. 2011. Fisica per ingegneria e scienze. Volume 1. Mac Graw Hill. 422-527.
2. Giancoli, d.  2006. Fisica: principi con applicazioni. Sesta edizione. Prentice Hall. 238-249.