Semplice movimento armonico

Spieghiamo qual è il semplice movimento armonico, le sue formule, diversi esempi e un esercizio risolto

Qual è il semplice movimento armonico?

Lui Semplice movimento armonico È un movimento oscillatorio, in cui la posizione cambia nel tempo a seguito di una funzione cosenoidale o seno. Entrambi i tipi di funzioni sono appropriati.

La maggior parte delle oscillazioni seguono la legge armonica, a condizione che la sua ampiezza sia piccola. Al contrario, quando l'ampiezza dell'oscillazione è grande, il movimento tende ad essere anarmonico e non segue la legge cosenoidale.

Questo è il caso di un pendolo: mentre l'ampiezza dell'oscillazione è di pochi gradi rispetto alla posizione di equilibrio, la sua oscillazione è armoniosa. Pertanto, la frequenza o il periodo di oscillazione è costante e non dipende dall'ampiezza o dall'oscillazione. 

In altre parole, il tempo che impiega il pendolo per andare e tornare, è lo stesso se il pendolo è originariamente lasciato dall'equilibrio 1 grado o 10 gradi. Al di sopra di 15 gradi di ampiezza, il comportamento del pendolo cessa di essere armonioso e il tempo di andata e ritorno dipenderà dalla massima ampiezza dell'oscillazione.

A causa di questa proprietà delle oscillazioni armoniche del pendolo, queste vengono utilizzate per sincronizzare correttamente i tradizionali orologi da parete. 

D'altra parte, nei moderni orologi elettronici, il tempo è calibrato con l'oscillazione armonica e costante di elettroni all'interno di un cristallo di quarzo, inserito nel circuito di orologio.

È caratteristico del movimento armonico che il periodo o la frequenza dell'oscillazione sia indipendente dall'ampiezza (o dall'intervallo) dell'oscillazione. Al contrario, la frequenza di oscillazione delle oscillazioni non ormoniche cambia con l'ampiezza dell'oscillazione.

Esempi di oscillazioni nella vita di tutti i giorni

Nella vita quotidiana ci sono movimenti oscillatori che possono essere descritti come il semplice movimento armonico di uno dei suoi punti, come ad esempio:

1. L'oscillazione di un oggetto appeso alla fine di una corda.
2. L'oscillazione della campana di una chiesa.
3. Il pendolo di un orologio da parete.
4. L'oscillazione di un peso soggetto alla fine di una molla o una molla, lontano dalla sua posizione di equilibrio.
5. L'altalena della primavera nel parco giochi.
6. La vibrazione di un martello pneumatico con cui è rotto il cemento delle strade.
7. Il movimento oscillatorio delle ali di un uccello in volo.
8. Le vibrazioni del cuore.
9. La vibrazione di un punto sulla corda di una chitarra.
10. Va su e giù da una boa che galleggia sul mare.

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Formule e relazioni del semplice movimento armonico

Per descrivere il movimento oscillatorio armonico di un punto su una linea orizzontale, un'origine (valore zero) e un orientamento positivo a destra è definito su di esso.

In questo caso, la posizione è data da un numero, come ad esempio:

• Se il punto è all'origine, allora la sua posizione sarà x = 0.
• Quando 3 cm sono sulla destra, occupa la posizione x = 3 cm
• E se è 5 cm a sinistra dell'origine, è dentro x = -5cm.

Generalmente, La posizione x in funzione del momento di Tempo t di un punto che oscilla armonicamente sul Asse x, con il centro di oscillazione all'origine e ampiezza a, È dato dalla seguente formula, che contiene la funzione trigonometrica Coseno:

x (t) = a⋅cos (ω⋅t + φ)

Dove, ω (omega) è il frequenza angolare di oscillazione e φ (phi) il fase iniziale del movimento.

Frequenza naturale e frequenza angolare

In un semplice movimento armonico, la frequenza di oscillazione è definita come il numero di oscillazioni che si verificano in una certa unità di tempo.

Ad esempio, se la campana della chiesa varia 50 volte in 1 minuto, la sua frequenza F È espresso in questo modo: 

F = 50 oscillazioni/minuto

La frequenza di quella stessa campana può essere espressa nelle oscillazioni per ogni secondo come segue:

F = 50 oscillazioni/60 secondi = ⅚ oscillazioni/s = 0,8333 Hz

L'unità di frequenza di oscillazione nel sistema di misure internazionali (SÌ) è l'Hertzio (Hz) ed è definito come 1 oscillazione al secondo.

La frequenza di una stazione radio FM è dell'ordine dei 100 megahertzios, questa è la frequenza di oscillazione degli elettroni nell'antenna di emissione.

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D'altra parte, la F è definitaEspansione angolare Ω come il prodotto del Frequenza naturale f moltiplicato per il doppio del numero PI, cioè:

Ω = 2π⋅f

Nel caso dell'esempio della campana della chiesa che oscilla a 0,8333 Hz, la sua frequenza angolare sarà:

Ω = 2π rad⋅5/6 Hz = 5/3π rad/s = 5.236 rad/s

Va notato che mentre la frequenza naturale F È misurato in Hertzios (Hz), mentre frequenza angolare Ω È misurato in radianti circa il secondo (rad/s).

Il termine

Il periodo è il momento in cui viene data un'oscillazione completa. Per calcolarlo, è sufficiente dividere il tempo t in cui sono completate le oscillazioni e il risultato è il periodo dell'oscillatore armonico.

Ad esempio, se la campana della chiesa fa 50 oscillazioni in un minuto, quindi per ottenere il periodo t dividere 1 minuto tra 50 oscillazioni e il risultato è:

T = 1 min / 50 OSC = 1/50 min = 0,02 min.

Per esprimere il periodo in pochi secondi, i verbali diventano secondi nel modo seguente:

T = 60S / 50 OS = 6/5 min = 1,2 s

Pendulum semplice

Un semplice pendolo è costituito da una corda attaccata da un'estremità a un punto fisso e sull'altro impicca un oggetto di massa M, che può variare. Se l'ampiezza delle oscillazioni del pendolo non supera i 15 gradi, ci sono allora oscillazioni armoniche, la cui frequenza angolare dipende solo dalla lunghezza del pendolo e dal valore dell'accelerazione del gravità locale.

La frequenza angolare Ω di un semplice pendolo di lunghezza L in un luogo in cui è l'accelerazione della gravità G È dato dalla seguente relazione:

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Ω = √ (g / l)

E il suo periodo è dato da:

T = 2π⋅√ (l / g)

Sistema di massa-resort

È costituito da una massa M soggetto alla fine di una molla costante elastica K. La frequenza angolare del sistema di massa a molla è data dalla seguente formula:

Ω = √ (k / m)

Mentre il periodo di detto sistema è:

T = 2π⋅√ (m / k)

Esercizio risolto

Trova la lunghezza di un tale pendolo che se una massa da 1 kg è sospesa. È noto che l'accelerazione della gravità del luogo è di 9,8 m/s².

Soluzione

Poiché l'ampiezza dell'oscillazione è inferiore a 15 gradi, è noto che il periodo non dipende dall'angolo di oscillazione massimo o dal valore dell'impasto sospeso, poiché è un semplice movimento armonico.

La relazione tra il periodo quadrato e la lunghezza in un semplice pendolo è:

T² = (2π)²⋅l / g

Attraverso una semplice autorizzazione che ottieni:

L = g⋅ (t/2π)²

Sostituendo il periodo T per il suo valore di 1 s e usando il valore locale di G, la lunghezza del pendolo è l = 0,248 m≃ 25 cm, poiché il lettore può controllare.