Prodotto incrociato

Regola giusta per il prodotto vettoriale. Fonte: f. Zapata.

Qual è il prodotto trasversale o vettoriale?

Lui Prodotto incrociato, Chiamato anche prodotto vettoriale, è un tipo di prodotto che viene eseguito tra due vettori e si traduce in un altro vettore, perpendicolare al piano definito dai primi due.

Il prodotto incrociato tra due vettori A E B, Si traduce in un altro vettore R, Matematicamente è scritto come segue:

A × B = R

Si legge in questo modo: "A Cruz B pari a R ".

Nel testo stampato, i vettori sono scritti con testi audaci o con una freccia sulla lettera, per distinguerli dalla loro grandezza o modulo. Per questo vengono utilizzati, in modo intercambiabile, barre dei moduli e lettere attuali, quindi il valore assoluto del vettore A Il simbolo è scritto in questo modo:

│A│ = a

Il valore o il modulo assoluto del prodotto vettoriale tra due vettori viene calcolato moltiplicando il modulo di entrambi i vettori attraverso l'angolo θ tra loro:

R = a ∙ b ∙ sen θ

La direzione del vettore R È perpendicolare a quello dei vettori A E B. Il senso di R È destrogyr di A verso B E in pratica viene determinato usando la regola della mano destra, che consiste nel posizionare l'indice, il mezzo e il pollice della mano destra come segue:

• L'indice viene posizionato seguendo il vettore A
• Con il dito medio segue il vettore B
• Il pollice, esteso, indica la direzione e la direzione del vettore R.

Questo ordine deve essere seguito esattamente, poiché il prodotto vettoriale non è commutativo, cioè A × B ≠ B × A E se i vettori vengono scambiati, il risultato corretto non verrà ottenuto.

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Si consiglia al lettore di posizionare la mano destra come mostra la figura, l'indice che punta a sinistra rappresenta il vettore A, Il dito medio segue B E indica direttamente il lettore, infine, il pollice indica, indicando la direzione e la direzione del vettore A × B = R.

Proprietà del prodotto Cruz

-Il prodotto incrociato o vettoriale tra due vettori si traduce sempre in un altro vettore.

-Un prodotto incrociato non è commutativo, quindi: A × B ≠ B × A.

-Per il prodotto incrociato è vero che: A × B = - (B × A). Questa proprietà è chiamata anti-conminazione.

-Il vettore risultante del prodotto vettoriale tra due vettori è perpendicolare (normale) a tali vettori.

-Da quanto sopra segue che il prodotto vettoriale tra i vettori con la stessa direzione è nullo. In particolare A × A = 0.

-Il prodotto incrociato è conforme alla legge sulla distribuzione rispetto alla somma: A × (B+C) = A × B + A × C

-Se m è uno scalare, allora m (A × B) = m A × B = A × m B

Prodotto incrociato tra i vettori dell'unità

I tre vettori di unità, chiamati Yo, J E K, Sono perpendicolari tra loro e indicano le tre notevoli direzioni dello spazio: alte, larghe e profondità. Questi indirizzi sono perpendicolari l'uno all'altro.

Il prodotto vettoriale tra i vettori dell'unità è facilmente determinato attraverso la regola della mano destra e tenendo presente le proprietà del prodotto incrociato:

Prodotto vettoriale dei vettori di unità cartesiane. Fonte: f. Zapata.

Le tre scatole colorate nella figura sono riassunte nel round con frecce a destra e vengono utilizzate in questo modo:

-Quando si moltiplicano nella direzione della freccia, il risultato è il vettore di fronte alla freccia e ha un segno positivo. Ad esempio, moltiplicando Vectorly J E K, Il terzo vettore è Yo, E mentre l'ordine segue il significato della freccia, il segno è +.

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-E se si moltiplica nella direzione opposta alla freccia, il risultato è il terzo vettore di fronte alla freccia, ma con un segno negativo.

I vettori dell'unità costituiscono una base, quindi qualsiasi altro vettore può essere scritto in termini di loro. Ciò facilita notevolmente il calcolo del prodotto trasversale tra due vettori arbitrari nello spazio.

Come analizzare il prodotto incrociato di due vettori analiticamente

Quando vettori A E B Hanno una direzione arbitraria nello spazio, con componenti lungo ciascuno di essi, è più facile calcolare il prodotto incrociato in modo analitico, esprimendoli in termini di vettori unitari Yo, J E K:

• A = a_X Yo + A_E J + A_z K
• B = b_X Yo + B_E J + B_z K

Ora viene utilizzata la proprietà distributiva della moltiplicazione, che è valida anche per il prodotto incrociato:

A × B = (a_X Yo + A_E J + A_z K) × (b_X Yo + B_E J + B_z K) =

= (a_X Yo × b_X Yo) + (a_X Yo × b_E J) + (a_X Yo × b_z K) + (a_E J × b_X Yo) + (a_E J × b_E J) + (a_E J × b_z K) + (a_Z K × b_X Yo) + (a_Z K × b_E J) + (a_Z K × b_z K)

I prodotti incrociati tra vettori di unità uguali vengono annullati, in quanto sono vettori paralleli, il che riduce questa espressione a 6 termini:

A × B = (a_X Yo × b_E J) + (a_X Yo × b_z K) + (a_E J × b_X Yo) + (a_E J × b_z K) + (a_Z K × b_X Yo) + (a_Z K × b_E J)

Infine, usando la figura sopra, ogni prodotto si traduce:

A × B = a_X B_E K + A_X B_z ( -J) + a_E B_X ( -K) + a_E B_z Yo + A_Z B_XJ + A_Z B_E ( -Yo) =

= (a_E B_z - UN_Z B_E) Yo + (A_Z B_X - UN_X B_z) J + (A_X B_E - UN_E B_X) K

Prodotto Cruz attraverso un determinante

Non è necessario memorizzare la formula sopra, ma applicare comodamente il giro della figura precedente o semplicemente eseguire attentamente il determinante mostrato di seguito, che è totalmente equivalente:

Esempio

Assumendo vettori A E B Sono:

• A = 5 Yo - J + 4 K
• B = -Yo + 0J +7 K

Il prodotto incrociato tra loro viene calcolato identificando e sostituendo le rispettive coordinate:

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A_X = 5; A_E = −1; A_z = 4; B_X = −1; B_E = 0: b_z = 7

A × B = [(−1) ∙ 7 - 4 ∙ 0] Yo + [(4 ∙ (−1) - 5 ∙ 7) J + [5 ∙ 0 - (−1) ∙ (−1)] K = [−7 - 0] Yo + [(−4 - 35) J + [0 - 1] K =

= (−7) Yo - 39 J - K

Il metodo determinante offre lo stesso risultato.

Esercizio

Calcola per determinanti, il prodotto incrociato tra i vettori:

• O = 2 Yo +J + 5 K
• v = Yo + 4J +7 K

E determinare l'area del parallelogramma sotteso dai vettori precedenti, come mostrato nella figura:

Soluzione

I valori delle coordinate dei vettori vengono sostituiti nel determinante:

L'area del parallelogramma determinato è il modulo del prodotto vettoriale tra loro, risultante: r = 17,3 unità di area.