Gradi di libertà come calcolarli, tipi, esempi

IL gradi di libertà In statistiche sono il numero di componenti indipendenti di un vettore casuale. Se il vettore ha N componenti e ci sono P equazioni lineari che mettono in relazione i suoi componenti, quindi il grado di libertà È n-p.

Il concetto di gradi di libertà Appare anche nella meccanica teorica, dove in modalità lorda sono equivalenti alla dimensione dello spazio in cui si muove la particella, tranne il numero di legature.

Figura 1. Un pendolo si muove in due dimensioni, ma ha solo un grado di libertà perché è obbligato a muoversi in un arco di raggio. Fonte: f. Zapata.

Questo articolo discuterà il concetto di gradi di libertà applicati alle statistiche, ma un esempio meccanico è più facile da visualizzare in modo geometrico.

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Tipi di gradi di libertà

Secondo il contesto in cui viene applicato, la via di calcolare il numero di gradi di libertà può variare, ma l'idea sottostante è sempre la stessa: dimensioni totali meno numero di restrizioni.

In un caso meccanico

Considera una particella che oscilla legata a una corda (un pendolo) che si muove nel piano verticale x-Y (2 dimensioni). Tuttavia, la particella è obbligata a muoversi sulla circonferenza del raggio pari alla lunghezza della corda.

Poiché la particella può solo muoversi su quella curva, il numero di gradi di libertà È 1. Questo può essere visualizzato nella Figura 1.

Il modo per calcolare il numero di gradi di libertà è fare la differenza nel numero di dimensioni tranne il numero di restrizioni:

Gradi di libertà: = 2 (dimensioni) - 1 (legatura) = 1

Un'altra spiegazione che ci consente di raggiungere il risultato è la seguente:

-Sappiamo che la posizione bidimensionale è rappresentata da un punto di coordinata (x, y).

-Ma poiché il punto deve soddisfare l'equazione della circonferenza (x² + E² = L²) Per un determinato valore di variabile X, la variabile ed è determinata da detta equazione o restrizione.

In questo modo, solo una delle variabili è indipendente e il sistema ha Uno (1) grado di libertà.

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In un insieme di valori casuali

Per illustrare cosa significhi il concetto supponiamo il vettore

X = (x₁, X₂,…, X_N)

Che rappresenta il campione di N Valori casuali normalmente distribuiti. In questo caso il vettore casuale X ha N componenti indipendenti e quindi si dice X ha N gradi di libertà.

Costruiamo ora il vettore R dei rifiuti

R = (x₁ - , X₂ - ,.. ., X_N - )

Dove rappresenta la media del campione, che viene calcolato come segue:

= (x₁ + X₂ +.. .+ X_N) / N

Quindi la somma

(X₁ - )+(x₂ - )+.. .+(X_N - ) = (x₁ + X₂ +.. .+ X_N) - n = 0

È un'equazione che rappresenta una restrizione (o legatura) negli elementi vettoriali R dei rifiuti, poiché se N-1 sono noti, componenti vettoriali R, L'equazione di restrizione determina il componente sconosciuto.

Pertanto il vettore R di dimensione n con la restrizione:

∑ (x_Yo - ) = 0

Ha (N - 1) gradi di libertà.

Ancora una volta si applica che il calcolo del numero di gradi di libertà è:

gradi di libertà: = n (dimensioni) - 1 (restrizioni) = n -1

Esempi

Varianza e gradi di libertà

La varianza s² È definito come la media del quadrato delle deviazioni (o dei rifiuti) del campione di dati:

S² = (R•R) / (N-1)

Dove R è il vettore di rifiuti R = (x1 -, x2 -, .. ., Xn -) e il punto spesso (•) è l'operatore del prodotto scalare. In alternativa, la formula di varianza può essere scritta come segue:

S² = ∑ (x_Yo - )² / (N-1)

In ogni caso, va notato che quando si calcola la media del quadrato dei rifiuti, è divisa per (n-1) e non tra N, poiché come discusso nella sezione precedente, il numero di gradi di libertà di vettore R è (n-1).

Se per il calcolo della varianza era diviso tra N Invece di (n-1), il risultato avrebbe una distorsione molto significativa per i valori di N meno di 50.

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In letteratura appare anche la formula della varianza con il divisore n anziché (n-1), quando si tratta della varianza di una popolazione.

Ma l'insieme della variabile casuale dei rifiuti, rappresentata dal vettore R, Mentre ha una dimensione N, ha solo (n-1) gradi di libertà. Tuttavia, se il numero di dati è abbastanza grande (n> 500), entrambe le formule convergono allo stesso risultato.

I calcolatori e i fogli di calcolo offrono le due versioni della varianza e la deviazione standard (che è la radice quadrata della varianza).

La nostra raccomandazione, in vista dell'analisi presentata qui, è quella di scegliere sempre la versione con (N-1) ogni volta che è necessario calcolare la varianza o la deviazione standard, per evitare i risultati con bias.

Nella distribuzione di Chi Square

Alcune distribuzioni di probabilità nella variabile casuale continua dipendono da un parametro chiamato grado di libertà, Questo è il caso della distribuzione di chi quadrato (χ²).

Il nome di detto parametro proviene solo dai gradi di libertà del vettore casuale alla base di questa distribuzione.

Supponiamo che ci siano popolazioni G, di cui vengono prelevati campioni di dimensioni N:

X₁ = (x1₁, x1₂,... x1_N)

X2 = (x2₁, x2₂,... x2_N)

.. .

X_J = (xj₁, xj₂,... xj_N)

.. .

Xg = (xg₁, Xg₂,... xg_N)

Una popolazione J che ha una deviazione media e standard SJ, Segui la distribuzione normale n (, SJ ).

La variabile caratterizzata o normalizzata ZJ_Yo è definito come:

Zj_Yo = (xj_Yo - ) / SJ.

E il vettore Zj È definito in questo modo:

Zj = (ZJ₁, Zj₂,…, ZJ_Yo,…, ZJ_N) E seguire la distribuzione normale Nyped N (0,1).

Quindi la variabile:

Q = ((Z1₁ ^2 + z2₁^2+.. . + Zg₁^2), .. ., (Z1_N^2 + z2_N^2+.. . + Zg_N^2))

Segui la distribuzione χ²(g) chiamato Distribuzione di Chi Square con grado di libertà G.

Nel contrasto di ipotesi (con un esempio risolto)

Quando si desidera fare un contrasto di ipotesi basato su un determinato set di dati casuali, è necessario conoscere il Numero di gradi di libertà G Per poter applicare il test Chi Square.

Può servirti: distribuzione uniforme continua: caratteristiche, esempi, applicazioni figura 2. C'è una relazione tra gusto del gelato e genere del cliente? Fonte: f. Zapata.

Ad esempio, saranno analizzati i dati raccolti su preferenze di gelato al cioccolato o alla fragola tra uomini e donne in qualche gelateria. La frequenza con cui uomini e donne scelgono fragole o cioccolato, è riassunta nella Figura 2.

Innanzitutto, viene calcolata la tabella di frequenza prevista, che viene realizzata moltiplicando il Righe totali per lui Colonne totali, diviso per Dati totali. Il risultato è mostrato nella figura seguente:

Figura 3. Calcolo delle frequenze previste in base alle frequenze osservate (valori blu in Figura 2). Fonte: f. Zapata.

Quindi procediamo a calcolare il quadrato Chi (dai dati) con la seguente formula:

χ² = ∑ (f_O - F_E)² / F_E

Dove f_O sono le frequenze osservate (Figura 2) e F_E sono le frequenze previste (Figura 3). La somma è su tutti i ranghi e le colonne, che nel nostro esempio danno quattro termini.

Dopo aver fatto le operazioni che ottieni:

χ² = 0.2043.

Ora è necessario confrontare con il quadrato teorico, che dipende da Numero di gradi di libertà G.

Nel nostro caso questo numero è determinato come segue:

G = (#filas - 1) (#Columnas - 1) = (2 - 1) (2 - 1) = 1 * 1 = 1.

Si scopre che il numero di gradi di libertà g di questo esempio è 1.

Se si desidera verificare o rifiutare l'ipotesi nulla (H0: non vi è alcuna correlazione tra sapore e genere) con un livello di significatività dell'1%, il quadrato di chi teorico viene calcolato con il grado di libertà G = 1.

Viene richiesto il valore che rende la frequenza accumulata (1 - 0.01) = 0.99, questo è il 99%. Questo valore (che può essere ottenuto dalle tabelle) è 6.636.

Poiché il CHI teorico supera il calcolato, viene verificata l'ipotesi nulla.

Cioè, con i dati raccolti, non esiste alcuna relazione tra il sapore delle variabili e il genere.

Riferimenti

1. Minitab. Quali sono i gradi di libertà? Estratto da: supporto.Minitab.com.
2. Moore, David. (2009) Statistiche applicate di base. Editor di Antoni Bosch.
3. Leigh, Jennifer. Come calcolare i gradi di libertà nei modelli statistici. Recuperato da: Geniolandia.com
4. Wikipedia. Grado di libertà (statistica). Recuperato da: è.Wikipedia.com
5. Wikipedia. Grado di libertà (fisico). Recuperato da: è.Wikipedia.com