Funzione di bijective Cos'è, come è fatto, esempi, esercizi

UN Funzione bijective È uno che soddisfa la doppia condizione dell'essere Iniettivo e eccessivo. Cioè, tutti gli elementi del dominio hanno una singola immagine nel Codominium e, a sua volta, il Codominium è uguale all'intervallo della funzione ( R_F ).

È soddisfatto quando viene considerata una relazione biunivocale tra gli elementi del dominio e del Codominium. Un semplice esempio è la funzione Fr → R definito dalla linea F (x) = x

Fonte: autore

Si osserva che per ogni valore del dominio o insieme di partenza (entrambi i termini si applicano allo stesso modo) esiste una singola immagine nel set di codici o di arrivo. Inoltre non esiste un elemento di Codominium che non sia immagine.

Così Fr → R definito dalla linea F (x) = x è bijective

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Come è una funzione bijective?

Per rispondere a questo, è necessario avere concetti chiari relativi a Iniettività E Sovraccettività di una funzione, Oltre ai criteri per le funzioni di condizionamento per adattarli ai requisiti.

Iniettività di una funzione

Una funzione è Iniettivo Quando ciascuno degli elementi del suo dominio è correlato a un singolo elemento di Codominium. Un elemento di Codominium può essere solo un'immagine di un singolo elemento del dominio, in questo modo i valori della variabile dipendente non possono essere ripetuti.

Considerare Iniettivo Quanto segue deve essere adempiuto a una funzione:

∀ x₁  ≠ x₂   ⇒ f (x₁ ) ≠ f (x₂ )

Sovraccettività di una funzione

Una funzione è classificata come Eccessivo, Se ogni elemento del suo codicium è un'immagine di almeno un elemento di dominio.

Considerare Eccessivo Quanto segue deve essere adempiuto a una funzione:

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Essere F: d_F → C_F

∀ B ℮ C_F  E a ℮  D_F   / F (a) = b

Questo è il modo algebrico per stabilire che per ogni "b" che appartiene a c_F C'è una "A" che appartiene a D_F in modo tale che la funzione valutata in "a" sia uguale a "b". 

Condizionamento delle funzioni

A volte una funzione che non lo è Bijective, può subire un certo condizionamento. Queste nuove condizioni possono trasformarlo in a Funzione bijective. Tutti i tipi di modifiche al dominio e al codominio della funzione sono validi, in cui l'obiettivo è soddisfare le proprietà di iniettività e oltre -alcheività nella relazione corrispondente.

Esempi: esercizi risolti

Esercizio 1

Essere la funzione Fr → R definito dalla linea F (x) = 5x +1

A: [Tutti i numeri reali]

Si osserva che per qualsiasi valore di dominio c'è un'immagine nel Codominium. Questa immagine è unica, il che fa F Sii uno Funzione iniettiva. Allo stesso modo, osserviamo che il codominio della funzione è uguale al suo intervallo. Soddisfando così la condizione di Eccessività.

Essendo iniettivo e sovraiettivo allo stesso tempo possiamo concluderlo

Fr → R definito dalla linea F (x) = 5x +1 è un Funzione bijective.

Questo vale per tutte le funzioni lineari (funzioni il cui maggiore grado di variabile è uno).

Esercizio 2

Essere la funzione Fr → R definito da F (x) = 3x² - 2

Quando si disegna una linea orizzontale, si osserva che il grafico si trova in più di un'occasione. Per questo motivo la funzione F Non è iniettivo e quindi non lo sarà Bijective Mentre è definito in R → R

Allo stesso modo ci sono valori di Codominium che non sono immagini di alcun elemento di dominio. Per questo motivo la funzione non è eccessiva, il che merita anche di condizionare il set di arrivo.

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Il dominio e il codicium della funzione sono condizionati

                                               F: [0 , ∞] → [ - 2 , ∞ "

Dove si osserva che il nuovo dominio copre i valori da zero a infinito positivo. Evitare la ripetizione di valori che influiscono sull'iniezione.

Pertanto, il Codominium è stato modificato, contando da "-2" all'infinito positivo, eliminando dal Codominium i valori che non corrispondevano a nessun elemento di dominio

In questo modo si può assicurarsi F : [0 , ∞] → [ - 2 , ∞ " definito da F (x) = 3x² - 2

È bijective

Esercizio 3

Essere la funzione F: R → R definito da F (x) = sin (x)

Nell'intervallo [ -∞ , +∞ " La funzione Sinus varia i suoi risultati tra zero e uno.

Fonte: autore.

La funzione F Non corrisponde ai criteri di iniettività e sovraiettività, poiché i valori variabili dipendenti vengono ripetuti ogni intervallo π. Inoltre i termini del Codominium al di fuori dell'intervallo [ -undici ] Non sono l'immagine di nessun elemento di dominio.

Quando si studia la grafica della funzione F (x) = sin (x) si osservano intervalli in cui il comportamento della curva soddisfa i criteri di Bijettività. Come l'intervallo  D_F  = [  π/2,3π/2  " Per dominio. E C_F  = [-1, 1] Per Codominium.

Laddove la funzione varia i risultati da 1 a -1, senza ripetere alcun valore nella variabile dipendente. E allo stesso tempo il co -oominium è uguale ai valori adottati dall'espressione Sin (x)

In questo modo la funzione F: [  π/2,3π/2  ] → [-1, 1]  definito da F (x) = sin (x). È bijective

Esercizio 4

Aumentare le condizioni necessarie per D_F e C_F. In modo che l'espressione

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F (x) = -x²  Essere la biiezione.

Fonte: autore

La ripetizione dei risultati viene osservata quando la variabile prende i valori opposti:

F (2) = f (-2) = -4

F (3) = f (-3) = -9

F (4) = f (-4) = -16

Il dominio è condizionato, limitandolo al lato destro della linea reale.

D_F = [0 , +∞ "

Allo stesso modo si osserva che l'intervallo di questa funzione è l'intervallo [ -∞ , 0], che, servendo come Codominium, soddisfa le condizioni di sovraiettività.

In questo modo possiamo concluderlo

L'espressione F: [0 , +∞ ] → [ -∞ , 0] definito da F (x) = -x²   È bijective

Esercizi proposti

Verifica se le seguenti funzioni sono bijective:

F: [0 , ∞) → R definito da F (x) = 3 (x + 1)²  +2

F: [ 3π/2,5π/2  ] → R definito da F (x) = 5ctg (x)

F: [ -π,π  ] → R definito da F (x) = cos (x - 3)

Fr → R definito dalla linea F (x) = -5x + 4

Riferimenti

1. Introduzione alla logica e al pensiero critico. Merrilee h. Salmone. Università di Pittsburgh
2. Problemi nell'analisi matematica. Piotr Bilar, Alfred Witkowski. Università di Wroclaw. Palo.
3. Elementi di analisi astratta. Mícheál O'Searcoid PhD. Dipartimento di Matematica. University College Dublino, Beldfield, Dublind 4
4. Introduzione alla logica e alla metodologia delle scienze deduttive. Alfred Tarski, New York Oxford. la stampa dell'università di Oxford.
5. Principi di analisi matematica. Enrique Linés Escardó. Revoca editoriale s. Al 1991. Barcellona, ​​Spagna.