Fattore comune per raggruppare i termini esempi, esercizi

Lui Fattore comune per raggruppare i termini È una procedura algebrica che consente di scrivere alcune espressioni algebriche sotto forma di fattori. Per raggiungere questo obiettivo, l'espressione deve prima essere convenientemente raggruppata e osservando che ogni gruppo così formato ha, in effetti, un fattore comune.

L'applicazione della tecnica correttamente richiede un po 'di pratica, ma in breve tempo è possibile dominare. Per prima cosa, cerchiamo un esempio illustrativo descritto passo dopo passo. Quindi il lettore può applicare ciò che ha appreso in ciascuno degli esercizi che appariranno dopo.

Figura 1. Rimuovere il fattore comune per il raggruppamento dei termini facilita il lavoro con le espressioni algebriche. Fonte: Pixabay.

Ad esempio, supponiamo che sia necessario considerare la seguente espressione:

2x² + 2xy - 3zx - 3zy

Questa espressione algebrica è composta da 4 monomiali o termini, separati da segni + e -, vale a dire:

2x², 2xy, -3zx, -3zy

Osservando attentamente, la X è comune ai primi tre, ma non all'ultimo, mentre il ed è comune al secondo e al quarto, e la z è comune al terzo e al quarto.

Quindi, in linea di principio, non esiste un fattore comune ai quattro termini contemporaneamente, ma se sono raggruppati come verranno visualizzati nella sezione seguente, si può aiutare a scrivere l'espressione come prodotto di due o più fattori.

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Esempi

Fattore dell'espressione: 2x² + 2xy - 3zx - 3zy

Passo 1: Gruppo

2x² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x² + 2xy) + (-3zx - 3zy)

Passaggio 2: rimuovere il fattore comune da ciascun gruppo

2x² + 2xy - 3zx - 3zy =

= (2x² + 2xy) - (3zx + 3zy) =

= 2x (x+y) - 3Z (x+y)

YoMportante: Il segno negativo è anche un fattore comune che deve essere preso in considerazione.

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Ora si noti che la parentesi (x+y) viene ripetuta nei due termini ottenuti durante il raggruppamento. Questo è il fattore comune che stava cercando.

Passaggio 3: fattorizzare tutta l'espressione

2x² + 2xy - 3zx - 3zy = (x+y) (2x - 3Z)

Con il risultato precedente, è stato raggiunto l'obiettivo della fattorizzazione, che non è altro che trasformare un'espressione algebrica basata su somme e sottrazione di termini, nel prodotto di due o più fattori, nel nostro esempio, di: (x+ y) e (2x - 3Z).

Problemi importanti sul fattore di gruppo comune

Domanda 1: Come sapere che il risultato è corretto?

Risposta: La proprietà distributiva viene applicata al risultato ottenuto e dopo la riduzione e la semplificazione, l'espressione così raggiunta deve coincidere con l'originale, in caso contrario, si verifica un errore.

Nell'esempio precedente, funziona inverso con il risultato, per verificare che vada bene:

(x+y) (2x - 3z) = 2x² -3zx +2xy - 3zy

Poiché l'ordine degli aggiunti non altera la somma, dopo aver applicato la proprietà distributiva, tutti i termini originali, ci sono segni inclusi, pertanto la fattorizzazione è corretta.

Domanda 2: Avresti potuto raggruppare in un altro modo?

Risposta: Ci sono espressioni algebriche che ammettono più di una forma di raggruppamento e altre che non lo fanno. Nell'esempio selezionato, il lettore può provare altre possibilità, ad esempio raggruppamento:

2x² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x²- 3zx) + (2xy - 3zy)

E puoi vedere che il risultato è lo stesso di quello ottenuto qui. Trovare il gruppo ottimale è una questione di pratica.

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Domanda 3: Perché è necessario ottenere un fattore comune da un'espressione algebrica?

Risposta: Perché ci sono applicazioni in cui l'espressione fattorizzata facilita i calcoli. Ad esempio, supponiamo di voler fare 2x² + 2xy - 3zx - 3zy uguale a 0. Quali sarebbero le possibilità?

Per rispondere a questa preoccupazione, la versione fattorizzata è molto più utile dello sviluppo originale in termini. Sorge così:

(x+y) (2x - 3z) = 0

Una possibilità che l'espressione valga 0 è che x = -y, indipendentemente dal valore di z. E l'altro è che x = (3/2) z, senza importare il valore di y.

Esercizi

- Esercizio 1

Ottieni un fattore comune della seguente espressione raggruppando i termini:

ax+ay+bx+by

Soluzione

I primi due sono raggruppati, con il fattore comune "A" e gli ultimi due con il fattore comune "B":

ax+ay+bx+by = a (x+y)+b (x+y)

Una volta fatto ciò, viene rivelato un nuovo fattore comune, che è (x+y), in modo che:

ax+ay+bx+by = a (x+y)+b (x+y) = (x+y) (a+b)

Un altro modo per raggruppare

Questa espressione ammette un altro modo di raggrupparsi. Vediamo cosa succede se i termini sono riorganizzati e viene realizzato un gruppo con cui contengono x e un altro con quelli che contengono e:

ax +ay +bx +by = ax +bx +ay +by = x (a +b) +y (a +b)

In questo modo il nuovo fattore comune è (a+b):

ax+ay+bx+by = ax+bx+ay+by = x (a+b)+y (a+b) = (x+y) (a+b)

Ciò porta allo stesso risultato del primo modo di raggruppare che è stato testato.

- Esercizio 2

È necessario scrivere la seguente espressione algebrica come prodotto a due fattori:

3 °³ - 3 °²B+9ab²-A²+AB-3B²

Può servirti: punti Coplanares: equazione, esempio ed esercizi risolti

Soluzione

Questa espressione contiene 6 termini. Proviamo a raggruppare prima e quarto, secondo e terzo e infine quinto e sesto:

3 °³ - 3 °²B+9ab²-A²+AB-3B² = (3 °³ -A²) + (- 3 °²B+9ab²) + (AB-3B²)

Ora ogni parentesi è un fattore:

= (3 °³ -A²) + (- 3 °²B+9ab²) + (AB -3B²) = a² (3a -1) + 3ab (3b -a) + b (a -3b)

A prima vista sembra che la situazione sia stata complicata, ma il lettore non dovrebbe essere scoraggiato, dal momento che riscriveremo l'ultimo termine:

A² (3a -1) + 3ab (3b -a) + b (a -3b) = a² (3a - 1) + 3ab (3b -a) - b (3b -a)

Gli ultimi due termini ora hanno un fattore comune, che è (3b-a), quindi possono essere fattorizzati. È molto importante non perdere di vista il primo mandato a² (3a - 1), che deve continuare ad accompagnare tutto come aggiunta, quindi non stai lavorando con lui:

A² (3a - 1) + 3ab (3b -a) - b (3b -a) = a² (3a-1) + (3b-a) (3ab-b)

L'espressione è stata ridotta a due termini e un nuovo fattore comune viene scoperto nell'ultimo, che è "B". Ora rimane:

A² (3a-1) + (3b-a) (3ab-b) = a² (3a-1) +b (3b-a) (3a-1)

Il prossimo fattore comune nell'apparizione è 3 ° - 1:

A² (3a - 1) +b (3b -a) (3a -1) = (3a - 1) [a² + B (3B-A)]

O se preferisci senza parentesi quadrate:

(3 ° - 1) [a² + B (3b -a)] = (3a - 1) (a² -AB + 3B²)

Il lettore può trovare un altro modo di raggruppare che porta a questo stesso risultato?

figura 2. Esercizi di fattorizzazione proposti. Fonte: f. Zapata.

Riferimenti

1. Baldor, a. 1974. Algebra elementare. Culturale venezuelano s.A.
2. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
3. Casi principali di fattorizzazione. Recuperato da: julioprofe.netto.
4. UNAM. Matematica di base: fattorizzazione raggruppando i termini. Facoltà di contabilità e amministrazione.
5. Zill, d. 1984. Algebra e trigonometria. MacGraw Hill.