Formula di speranza matematica, proprietà, esempi, esercizio fisico

IL speranza matematica o valore previsto del variabile casuale X, è indicato come E (x) ed è definito come la somma del prodotto tra la probabilità di un evento casuale e il valore di detto evento.

In forma matematica è espresso come segue:

μ = E (x) = ∑ x_Yo. P (x_Yo) = x₁.P (x₁) + x₂.P (x₂) + x₃.P (x₃) +..

Figura 1. La speranza matematica è ampiamente utilizzata nel mercato azionario e assicurativo. Fonte: Pixabay.

Dove x_Yo È il valore dell'evento e p (x_Yo) la sua probabilità di occorrenza. La somma si estende a tutti i valori ammessi x. E se questi sono finiti, il riepilogo indicato converge al valore E (x), ma se la somma non converge, allora semplicemente la variabile manca di valore atteso.

Quando si tratta di una variabile continua X, La variabile può avere valori infiniti e gli integrali sostituiscono i riassunti:

Qui f (x) rappresenta il densità di probabilità.

In generale, la speranza matematica (che è una media ponderata) non è uguale alla media aritmetica o media, a meno che non si tratti di distribuzioni discrete in cui ogni evento è ugualmente probabile. Quindi, e solo allora:

μ = e (x) = (1/n) ∑ x_Yo

Dove n è il numero di possibili valori.

Il concetto è molto utile nei mercati finanziari e nelle compagnie assicurative, in cui le certezze sono spesso carenti ma sono probabili.

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Proprietà della speranza matematica

Tra le proprietà più importanti della speranza matematica ci sono le seguenti:

- Cartello: Se x è positivo, lo sarà anche E (x).

- Valore previsto di una costante: Il valore atteso di una vera costante K È la costante.

E (k) = k

- Linearità nella somma: La speranza di una variabile casuale che a sua volta è la somma di due variabili x y y è la somma delle speranze.

Può servirti: coppia ordinata

E (x + y) = e (x) + e (y)

- Moltiplicazione per una costante: Se la variabile casuale è forma kx, Dove K È un costante (un numero reale), esce dal valore atteso.

E (kx) = k e (x)

- Valore previsto del prodotto e indipendenza tra le variabili: Se una variabile casuale è il prodotto delle variabili casuali x y y, che sono indipendenti, il valore atteso del prodotto è il prodotto dei valori previsti.

EX.Y) = e (x).EHI)

- Variabile casuale Y = ax + b: Vengono applicate le proprietà precedenti.

E (ax + b) = ae (x) + e (b) = ae (x) + b

In generale, sì Y = g (x):

E (y) = e [g (x)] = ∑ g (x_Yo). P [g (x_Yo)

- Ordine nel valore atteso: Sì x ≤ y, quindi:

E (x) ≤ e (y)

Dal momento che ci sono i valori previsti di ciascuno di essi.

Speranza matematica nelle scommesse

Quando il famoso astronomo Christian Huygens (1629-1695) non osservava i cieli, si dedicava allo studio, tra le altre discipline, la probabilità nel gioco d'azzardo. Fu lui a presentare il concetto di speranza matematica nel suo lavoro del 1656 intitolato: Ragionamento sul gioco d'azzardo.

figura 2. Christiaan Huygens (1629-1625) era uno scienziato brillante e versatile, a cui dobbiamo il concetto di valore previsto.

Huygens ha scoperto che le scommesse potrebbero essere classificate in tre modi, secondo il valore atteso:

-Giochi con vantaggio: E (x)> 0

-Scommesse equi: e (x) = 0

-Game di svantaggio: E (x) < 0

Il problema è che in una speranza matematica di Game of Chance non è sempre facile da calcolare. E quando puoi il risultato a volte è deludente per coloro che chiedono se scommettere.

Facciamo un tentativo con una semplice scommessa: faccia o croce e quella che perde paga un caffè di 1 $. Qual è il valore atteso di questa scommessa?

Può servirti: qual è la linea guida? (Geometria)

Bene, la probabilità di essere costosi è ½, proprio come esce una croce. La variabile casuale è vincere $ 1 o perdere $ 1, il guadagno è indicato con il segno + e la perdita con il segno -.

Organizziamo le informazioni in una tabella:

Moltiplichiamo i valori delle colonne: 1. ½ = ½ y (-1). ½ = --½ e infine i risultati vengono aggiunti. La somma è 0 ed è un gioco equo, in cui i partecipanti dovrebbero vincere o perdere.

La roulette francese e la lotteria sono giochi con uno svantaggio in cui la maggior parte dei traigatori perde. Successivamente c'è una scommessa leggermente più complessa nella sezione degli esercizi risolti.

Esempi 

Ecco alcuni semplici esempi in cui il concetto di speranza matematica è intuitivo e chiarisce il concetto:

Esempio 1

Inizieremo lanciando un dado onesto. Qual è il valore di lancio previsto? Bene, se i dadi sono onesti e hanno 6 facce, la probabilità che qualsiasi valore (x = 1, 2, 3 ... 6) lasci 1/6, in questo modo:

E (x) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5.(1/6) + 6. (1/6) = 21/6 = 3.5

Figura 3. Al lancio di un dado onesto, il valore atteso non è un valore possibile. Fonte: Pixabay.

Il valore atteso in questo caso è uguale alla media, poiché ogni faccia ha la stessa probabilità di uscire. Ma E (x) non è un valore possibile, poiché nessun viso vale 3.5. Questo è perfettamente possibile in alcune distribuzioni, anche se in questo caso il risultato non aiuta molto le scommesse.

Diamo un'occhiata a un altro esempio con il lancio di due monete.

Esempio 2

Due monete oneste vengono gettate in aria e definiscono la variabile casuale X come il numero di volti ottenuti. Gli eventi che possono verificarsi sono i seguenti:

Può servirti: 90 divisori: cosa sono e spiegazioni

-Non esce la faccia: 0 facce uguali a 2 croci.

-Vengono fuori 1 viso e 1 sigillo o croce.

-2 volti escono.

Sia C una faccia e un sigillo, lo spazio campione che descrive questi eventi è il seguente:

S_M = SEAL-ISO; SEAL-CARA; Faccia-yel; Cara-Cara = TT, TC, CT, CC

Le possibilità di eventi accadono sono:

P (x = 0) = p (t).P (t) = ½ . ½ = ¼

P (x = 1) = p (tc) + p (ct) = p (t).P (c) + p (c).P (t) = ¼ +¼ = ½

P (x = 2) = p (c).P (c) = ½ . ½ = ¼

La tabella è costruita con i valori ottenuti:

Secondo la definizione fornita all'inizio, la speranza matematica viene calcolata come:

μ = E (x) = ∑ x_Yo. P (x_Yo) = x₁.P (x₁) + x₂.P (x₂) + x₃.P (x₃) +..

Sostituzione dei valori:

E (x) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1

Questo risultato viene interpretato come segue: se una persona ha abbastanza tempo per fare un gran numero di esperimenti che lanciano le due monete, si prevede che otterrà una faccia in ogni lancio.

Tuttavia, sappiamo che le versioni in cui escono 2 francobolli sono perfettamente possibili.

Esercizio risolto

Nel lancio di due valute oneste, viene effettuata la seguente scommessa: se usciranno 2 volti, guadagnano $ 3, se viene vinta 1 faccia, ma se escono due francobolli devi pagare $ 5. Calcola il guadagno atteso della scommessa.

Figura 4. Secondo la scommessa, la speranza matematica cambia lanciando due monete oneste. Fonte: Pixabay.

Soluzione

La variabile casuale X è i valori che il denaro prende nella scommessa e le probabilità sono state calcolate nell'esempio precedente, quindi la tabella della scommessa è:

E (x) = 3 . ¼ + 1. ½ + (-5) . ¼ = 0

Poiché il valore atteso è 0, è un gioco equo, quindi qui si prevede che il scommettitore non vinca e non perde. Tuttavia, gli importi delle scommesse potrebbero essere cambiati per trasformare la scommessa in una partita con un vantaggio o un gioco con uno svantaggio.

Riferimenti

1. Brase, c. 2009. Statistiche indesiderabili. Hougton Mifflin.
2. Olmedo, f. Introduzione al concetto di valore atteso o speranza matematica di una variabile casuale. Recuperato da: personale.noi.È.
3. Statistiche librettext. Valore previsto di variabili casuali discrete. Estratto da: statistiche.Librettexts.org.
4. TRIOLA, m. 2010. Statistiche elementari. 11 °. Ed. Addison Wesley.
5. Walpole, r. 2007. Probabilità e statistiche per la scienza e l'ingegneria. 8 °. Edizione. Pearson Education.