Formule di errore di campionamento ed equazioni, calcolo, esempi

Il valore medio del campione è indicato da e il valore medio della popolazione totale lo indica per la lettera greca μ (si legge Mu o miu).

Supponiamo che siano presi M Campioni di popolazione totale N, Tutta la parità di dimensioni N Con valori medi 1>, 2>, 3>, .. .M>.

Questi valori medi non saranno identici tra loro e saranno tutti attorno al valore medio della popolazione μ. Lui Margine di errore di esempio E indica la separazione prevista dei valori medi rispetto a Valore medio della popolazione μ entro una percentuale specificata chiamata Livello di fiducia γ (Gamma).

Lui Margine di errore standard ε del campione di dimensioni N È:

ε = σ/√n

Dove σ è la deviazione standard (La radice quadrata della varianza), che è calcolata dalla seguente formula:

σ = √ [(x -)²/(N - 1)]

Il significato di Margine di errore standard ε è il seguente:

Lui Valore medio ottenuto dal campione di dimensioni N è compreso nell'intervallo ( - ε, + ε) con un livello di confidenza 68,3%.

Come calcolare l'errore di campionamento

Nella sezione precedente è stata data la formula per trovare il intervallo di errore standard di un campione di n, in cui la parola standard indica che è un margine di errore con la fiducia del 68%.

Ciò indica che se sono stati prelevati molti campioni della stessa dimensione N, Il 68% di essi fornirà valori medi nell'intervallo [ - ε, + ε].

C'è una semplice regola, chiamata Regola 68-95-99.7 che ci consente di trovare il margine di Errore di esempio e Per i livelli di fiducia di 68%, 95% E 99,7% facilmente, poiché questo margine è 1⋅ε, 2⋅ε e 3⋅ε rispettivamente.

Per un livello di confidenza γ

Se lui Livello di fiducia γ Non è nessuno dei precedenti, quindi l'errore di campionamento è la deviazione standard σ moltiplicato per il fattore Zγ, che si ottiene attraverso la seguente procedura:

1.- Prima il Livello di significato α che è calcolato da Livello di fiducia γ Attraverso la seguente relazione: α = 1 - γ

2.- Quindi devi calcolare il valore 1 - α/2 = (1 + γ)/2, che corrisponde alla frequenza normale accumulata tra -∞ e Zγ, In una distribuzione normale o gaussiana tipita a F (z), la cui definizione può essere vista nella Figura 2.

3.- L'equazione viene risolta F (Zγ) = 1 - α/2 Attraverso le normali tabelle di distribuzione (accumulata) F, o Attraverso un'applicazione per computer che ha la funzione gaussiana inversa tipizzata F^-1.

In quest'ultimo caso hai:

Zγ = g^-1(1 - α/2).

4.- Infine, viene applicata questa formula per l'errore di campionamento con un livello di affidabilità γ:

E = Zγ⋅(σ/√n)

Esempi

- Esempio 1

Calcola il Margine di errore standard In peso medio di un campione di 100 neonati. Il calcolo del peso medio era = 3.100 kg con una deviazione standard σ = 1.500 kg.

Soluzione

Lui Margine di errore standard È ε = σ/√n = (1.500 kg)/√100 = 0,15 kg. Ciò significa che con questi dati si può dedurre che il peso del 68% dei neonati è compreso tra 2.950 kg e 3.25 kg.

- Esempio 2

Determinare il margine dell'errore di esempio e e l'intervallo di peso di 100 neonati con un livello di confidenza al 95% se il peso medio è di 3.100 kg con deviazione standard σ = 1.500 kg.

Soluzione

Se la Regola 68; 95; 99.7 → 1⋅ε; 2⋅ε; 3⋅ε, Hai:

E = 2⋅ε = 2⋅0,15 kg = 0,30 kg

In altre parole, il 95% dei neonati avrà pesos tra 2.800 kg e 3.400 kg.

- Esempio 3

Determina la gamma Pesos di neonati dell'esempio 1 con un margine di confidenza del 99,7%.

Soluzione

L'errore di esempio con la fiducia del 99,7% è 3 σ/√n, Quello per il nostro esempio è E = 3 *0,15 kg = 0,45 kg. Da qui si deduce che il 99,7% dei neonati avrà pesos tra 2.650 kg e 3.550 kg.

- Esempio 4

Determinare il fattore Zγ Per un livello di affidabilità del 75%. Determina il margine di errore di campionamento con questo livello di affidabilità per il caso sollevato nell'esempio 1.

Soluzione

Lui livello di confidenza È γ = 75% = 0,75 che si riferisce al livello di significato α attraverso la relazione γ= (1 - α), in modo che il livello di significato sia α = 1 - 0,75 = 0,25.

Ciò significa che la probabilità normale accumulata tra -∞ e Zγ È:

P (z ≤ Zγ ) = 1 - 0.125 = 0,875

Ciò che corrisponde a un valore Zγ di 1.1503, come mostrato nella Figura 3.

In altre parole, l'errore di campionamento è E = Zγ⋅(σ/√n)= 1.15⋅(σ/√n).

Se applicato ai dati dell'esempio 1, fornisce un errore di:

E = 1,15*0,15 kg = 0,17 kg

Con un livello di confidenza del 75%.

- Esercizio 5

Qual è il livello di fiducia se z_α/2 = 2.4 ?

Soluzione

P (z ≤ z_α/2 ) = 1 - α/2

P (z ≤ 2.4) = 1 - α/2 = 0.9918 → α/2 = 1 - 0.9918 = 0,0082 → α = 0,0164

Il livello di significato è:

α = 0,0164 = 1,64%

E infine, il livello di fiducia rimane:

1- α = 1 - 0,0164 = 100% - 1,64% = 98,36%

Riferimenti

1. Canavos, g. 1988. Probabilità e statistiche: applicazioni e metodi. McGraw Hill.
2. Devore, j. 2012. Probabilità e statistiche per l'ingegneria e la scienza. 8 °. Edizione. Cengage.
3. Levin, r. 1988. Statistiche per gli amministratori. 2 °. Edizione. Prentice Hall.
4. Sudman, s.1982. Poni domande: una guida pratica al design del questionario. San Francisco. Jossey Bass.
5. Walpole, r. 2007. Probabilità e statistiche per l'ingegneria e la scienza. Pearson.
6. Wonnacott, t.H. e r.J. Wonnacott. 1990. Statistiche introduttive. 5 ° ed. Wiley
7. Wikipedia. Errore di esempio. Recuperato da: in.Wikipedia.com
8. Wikipedia. Margine di errore. Recuperato da: in.Wikipedia.com