Equazione di continuità

Spieghiamo qual è l'equazione di continuità, la sua formula, applicazioni, esempi e proponiamo esercizi da risolvere

Qual è l'equazione di continuità?

IL Equazione di continuità, Per il fluido incomprimibile, stabilisce che la massa totale di un fluido che circola attraverso un tubo, senza perdita o profitti, rimane costante. In altre parole, l'impasto viene preservato senza cambiamenti mentre il fluido si muove.

Un fluido incomprimibile è quello la cui densità rimane approssimativamente costante durante il flusso. Ad esempio, l'acqua è un liquido considerato incomprimibile in condizioni di pressione e temperatura standard.

Esiste un modo matematico di esprimere la conservazione della massa, nell'equazione di continuità, dato da:

A₁∙ v₁ = A₂∙ v₂

Dove v₁ e v₂ Rappresentano la velocità del fluido in due sezioni di un tubo, mentre₁ Già₂ Sono le rispettive aree trasversali.

Il prodotto dell'area di cross -sezione per velocità è chiamato fluire E l'equazione di continuità implica che, in tutto il tubo, il flusso è costante. Il flusso è anche noto come portata del volume, È inteso osservando attentamente l'espressione precedente, le cui dimensioni sono volume per unità di tempo.

Formula

L'equazione di continuità per il flusso di un fluido lungo un tubo di diametri diversi. Fonte: Wikimedia Commons/F. Zapata.

Nell'immagine superiore c'è un tubo con due sezioni di diametro diverso e alla stessa altezza, sebbene possano essere a diverse altezze senza rappresentare un problema.

Nella sezione 1, più ampia, l'area del sezione trasversale deve₁ e il fluido si muove con la velocità V₁, Mentre nella sezione 2, più stretta, l'area della sezione trasversale è a₂ e la velocità del fluido è V₂.

Una porzione di impasto ΔM₁ (verde) si sposta dalla sezione 1 in un tempo Δt. Durante questo periodo, la porzione ΔM₂ (rosso) Viaggia attraverso la sezione 2. Poiché il fluido è incomprimibile, la sua densità è la stessa in tutti i suoi punti, quindi a partire dalla definizione di densità:

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Qui ρ è densità, m è il volume di massa e v. Secondo questo, la massa ΔM₁ è uguale a:

ΔM₁ = ρ ∙ V₁

Dove volume v₁ È il prodotto tra la sezione trasversale e la distanza ΔX₁:

ΔM₁ = ρ ∙ (a₁ ∙ ΔX₁)

Ma da: da:

Quindi la porzione di pasta ΔM₁ Puoi scrivere, in termini di velocità e tempo Δt come:

ΔM₁ = ρ ∙ a₁ ∙ ΔX₁ = ρ ∙ a₁ ∙ (v₁ ∙ Δt)

Analogico la porzione Δm è scritta₂ che scorre contemporaneamente dalla sezione 2:

ΔM₂ = ρ ∙ a₂ ∙ ΔX₂ = ρ ∙ a₂ ∙ (v₂ ∙ Δt)

Dalla conservazione della Messa:

ΔM₁ = ΔM₂

E:

ρ ∙ a₁ ∙ v₁ ∙ Δt = ρ ∙ a₂ ∙ v₂ ∙ Δt

Come Δt e ρ vengono annullati, risultati:

A₁ ∙ v₁ = A₂ ∙ v₂

Il flusso q

Il prodotto della sezione trasversale A per la velocità del fluido V è chiamato flusso e indica come Q. È equivalente al volume del fluido per unità di tempo attraverso il tubo o portata del volume:

 V Volume e Δt l'intervallo di tempo. La portata nel sistema internazionale delle unità è m³/S, sebbene i piedi cubi, galloni/min, galloni/s a litri/se galloni/s siano frequenti. Alcuni dei fattori di conversione più utilizzati sono i seguenti:

• 1 m³/S = 264.172 gal/s
• 1 l/s = 0.001 m³/S
• 1 piedi³/S = 0.0283168 m³/S
• 1 l/s = 0,264172 gal/s
• 1 m³/S = 15850,3 gal/min

Si noti che, diminuendo la sezione trasversale del tubo, la velocità del fluido aumenta e viceversa, se la sezione trasversale aumenta, la velocità diminuisce in modo che il flusso sia costante.

Applicazioni ed esempi

L'equazione di continuità viene utilizzata nell'analisi del flusso del fluido, in combinazione con l'equazione di Bernoulli, in cui sono prese in considerazione le variazioni della velocità del fluido nelle diverse sezioni, nonché le variazioni di pressione e l'effetto dell'altezza.

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Esempio 1

Nel tubo del giardino di famiglia, quando l'acqua lascia normalmente il getto ha un certo intervallo, ma se mette il dito all'uscita del tubo, riducendo il foro di uscita, l'intervallo del getto è maggiore.

Qui l'equazione di continuità è soddisfatta, poiché, diminuendo l'area dell'ugello di uscita, la velocità del getto aumenta in modo che l'area di velocità per velocità sia costante.

Esempio 2

Il getto d'acqua si restringe mentre cade, poiché la sua velocità aumenta. In questo modo la velocità del prodotto per area rimane costante

Un altro esempio in cui è evidenziata l'equazione di continuità è il getto d'acqua che si restringe mentre cade, a causa dell'aumento della velocità dell'acqua durante l'autunno.

In questo modo il flusso è costante, mentre il getto continua a fluire in un regime laminare, cioè l'acqua cade delicatamente senza turbolenza o turbini.

Esercizi risolti

Esercizio 1

L'acqua circola attraverso un tubo di 20 cm di diametro. Sapendo che il flusso è di 2000 l/s, trova la velocità dell'acqua nel tubo.

• Soluzione

È conveniente esprimere tutto in unità del sistema internazionale. Innanzitutto, viene calcolata la sezione trasversale del tubo, ricordando che il raggio è metà del diametro:

A = π ∙ (d/2)²

D = 20 cm = 0.2 m

Pertanto, l'area è:

A = π ∙ (d/2)² = A = π ∙ (0.2 m /2)² = 0.0314 m².

Il flusso è espresso in m³/s con l'aiuto del fattore di conversione appropriato:

Q = 2000 l/s = 2 m³/S

Dalla formula Q = A ∙ V la velocità con cui il fluido circola attraverso il tubo:

Esercizio 2

Hai un tubo di sezione trasversale variabile attraverso il quale scorre l'acqua. Ad un certo punto, la sezione trasversale è 0.070 m² E la velocità dell'acqua è 3.50 m/s. Calcolare:

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a) La velocità dell'acqua in un altro punto nel tubo la cui area della sezione trasversale è 0.105 m².

b) il volume di acqua che viene scaricato da un'estremità aperta in 1 ora.

• Soluzione a

Viene utilizzata l'equazione di continuità, corrispondente al flusso del primo punto con il flusso del secondo. Il flusso è:

Q = A ∙ V

Per continuità:

Q₁ = Q₂

A₁ ∙ v₁ = A₂ ∙ v₂

Ora sostituiscono i dati forniti dalla dichiarazione:

• A₁ = 0.070 m²
• v₁ = 3.50 m/s
• A₂ = 0.105 m²
• v₂ =?

E cancella v₂:

Soluzione b

Poiché il flusso è anche il volume per unità di tempo, deve:

Pertanto, il volume V è:

V = q ∙ Δt = (a ∙ v) Δt

Il flusso che può essere calcolato con i dati del punto 1 o quelli del punto 2, poiché è lo stesso in entrambi i punti:

Q = a₁ ∙ v₁ = 0.070 m² ∙ 3.50 m/s = 0.245 m³ / S

Sapendo che 1 ora = 3600 s, il volume di acqua scaricata è:

V = q ∙ Δt = (0.245 m³ / s) × (3600 s) = 882 m³

In 1 ora 882 m vengono scaricati³ di acqua attraverso il tubo.