Quante soluzioni ha un'equazione quadratica?

Un'equazione quadratica o un'equazione di secondo grado può avere zero, una o due soluzioni reali, a seconda dei coefficienti che appaiono in detta equazione. Se lavori su numeri complessi, puoi dire che ogni equazione quadratica ha due soluzioni.

Per iniziare un'equazione quadratica è un'equazione del modulo Ax²+Bx+C = 0, dove A, B e C sono numeri reali e X è una variabile.

Si dice che x1 sia una soluzione dell'equazione quadratica precedente se quando si sostituisce x di x1 l'equazione è soddisfatta, cioè se a (x1) ²+b (x1)+c = 0.

Se hai ad esempio l'equazione x²-4x+4 = 0, allora x1 = 2 è la soluzione, poiché (2) ² (2) +4 = 4-8+4 = 0.

Al contrario, se x2 = 0 viene sostituito, si ottiene (0) ²-4 (0) +4 = 4 e come 4 ≠ 0 quindi x2 = 0 non è una soluzione dell'equazione quadratica.

Soluzioni di un'equazione quadratica

Il numero di soluzioni di un'equazione quadratica può essere separato in due casi:

1.- In numeri reali

Quando si lavora con numeri reali, le equazioni quadratiche possono avere:

-Zero soluzioni: Cioè, non esiste un numero reale che soddisfi l'equazione quadratica. Ad esempio, l'equazione data x²+1 = 0, non esiste un numero reale in modo tale che soddisfi tale equazione, poiché entrambi i X² sono maggiori o uguali a zero e 1 è più severa di zero, quindi la sua somma sarà maggiore sarà Rigoroso di zero.

-Una soluzione ripetuta: C'è un unico valore reale che soddisfa l'equazione quadratica. Ad esempio, l'unica soluzione di equazione x²-4x+4 = 0 è x1 = 2.

-Due diverse soluzioni: Esistono due valori che soddisfano l'equazione quadratica. Ad esempio, x²+x -2 = 0 ha due diverse soluzioni che sono x1 = 1 e x2 = -2.

2.- In numeri complessi

Quando si lavora con numeri complessi, le equazioni quadratiche hanno sempre due soluzioni, che sono Z1 e Z2 in cui Z2 è il coniugato di Z1. Inoltre, possono essere classificati come:

-Complessi: Le soluzioni sono della forma z = p ± qi, dove p e q sono numeri reali. Questo caso corrisponde al primo caso dell'elenco precedente.

-Complessi puri: È quando la parte reale della soluzione è uguale a zero, vale a dire che la soluzione ha la forma z = ± qi, dove Q è un numero reale. Questo caso corrisponde al primo caso dell'elenco precedente.

-Complessi con parte immaginaria pari a zero: È quando la parte complessa della soluzione è uguale a zero, vale a dire che la soluzione è un numero reale. Questo caso corrisponde agli ultimi due casi dell'elenco precedente.

Come vengono calcolate le soluzioni di un'equazione quadratica?

Per calcolare le soluzioni di un'equazione quadratica, viene utilizzata una formula nota come "La risoluzione", che afferma che le soluzioni di un'equazione Ax²+Bx+C = 0 sono fornite dall'espressione della seguente immagine:

L'importo che appare all'interno della radice quadrata è chiamato discriminante dell'equazione quadratica ed è indicato dalla lettera "D".

L'equazione quadratica avrà:

-Due vere soluzioni sì, e solo sì, d> 0.

-Una soluzione reale ripetuta se, e solo se, d = 0.

-Zero soluzioni reali (o due soluzioni complesse) sì e solo sì, d<0.

Esempi

-Le soluzioni dell'equazione x²+x-2 = 0 sono fornite da:

-L'equazione x²-4x+4 = 0 ha una soluzione ripetuta che è data da:

-Le soluzioni dell'equazione x²+1 = 0 sono fornite da:

Come si può vedere in quest'ultimo esempio, x2 è il coniugato di X1.