Corda (geometria) lunghezza, teorema ed esercizi

UN corda, Nella geometria piatta, è il segmento di linea che si unisce a due punti da una curva. Si dice che la linea contenente questo segmento sia una linea di asciugatura alla curva. È spesso una circonferenza, ma puoi certamente disegnare stringhe in molte altre curve, come ellissi e parabole.

Nella Figura 1 a sinistra c'è una curva, a cui appartengono i punti a e b. La corda tra A e B è il segmento verde. A destra è una circonferenza e una delle loro stringhe, poiché è possibile tracciare infinito.

Figura 1. A sinistra la corda di una curva arbitraria e a destra la corda di un cerchio. Fonte: Wikimedia Commons.

Nella circonferenza il suo diametro è particolarmente interessante, che è anche noto come Corda principale. È una corda che contiene sempre il centro della circonferenza e misura il doppio del raggio.

La figura seguente è rappresentata dal raggio, dal diametro, da una corda e anche dall'arco di un cerchio. Identificare correttamente ciascuno è importante quando si risolvono i problemi.

figura 2. Elementi della circonferenza. Fonte: Wikimedia Commons.

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Lunghezza della corda di una circonferenza

Possiamo calcolare la lunghezza della corda in un cerchio a partire dalle figure 3a e 3b. Si noti che un triangolo è sempre formato con due lati uguali (isoscele): i segmenti OA e OB, che misurano R, il raggio della circonferenza. Il terzo lato del triangolo è il segmento AB, chiamato C, che è precisamente la lunghezza della corda.

È necessario tracciare una linea perpendicolare alla corda C per bis -angolo θ che esiste tra le due radio e il cui vertice è il centro o la circonferenza. Questo è un Angolo centrale -Perché il suo vertice è il centro e la linea bisettore è anche secante alla circonferenza.

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Immediatamente si formano due rettangoli, il cui ipotenusa. Poiché il bisettore, e con esso il diametro, si divide in due parti uguali alla corda, si scopre che una delle gambe è metà di C, come indicato nella Figura 3b.

Dalla definizione del seno di un angolo:

sin (θ/2) = opposto/ipotenusa cateto = (c/2)/r

Perciò:

sin (θ/2) = c/2r

C = 2r Sen (θ/2)

Figura 3. Il triangolo formato da due radio e una corda di circonferenza è isoscele (Figura 3), poiché ha due lati uguali. Il bisettore lo divide in due triangoli rettangoli (Figura 3B). Fonte: preparato da F. Zapata.

Teorema della stringa 

Il teorema della stringa dice:

Se due corde si intersecano in un punto, il prodotto della lunghezza dei segmenti che appaiono su una delle stringhe, è uguale al prodotto delle lunghezze dei segmenti definiti nell'altra corda.

La figura seguente mostra due stringhe della stessa circonferenza: AB e CD, che si intersecano nel punto P. Nella corda AB, i segmenti AP e Pb sono definiti, mentre CP e PD sono definiti nella corda CD. Quindi, secondo il teorema:

Ap . Pb = cp . P.S

Figura 4. Il teorema della corda di una circonferenza. Fonte: f. Zapata.

Esercizi di stringhe risolte

- Esercizio 1

Un cerchio ha una corda da 48 cm, che si trova a 7 cm dal centro. Calcola l'area del cerchio e il perimetro della circonferenza.

Soluzione  

Per calcolare il cerchio un'area, è sufficiente conoscere il raggio della circonferenza al quadrato, poiché è soddisfatto:

A = π.R²

Ora, la figura che si forma con i dati forniti è un triangolo rettangolo, le cui gambe sono rispettivamente 7 e 24 cm.

Figura 5. Geometria per l'esercizio risolto 1. Fonte: f. Zapata.

Quindi per trovare il valore di R² Il teorema di Pitagora C viene applicato direttamente² = a² + B², Poiché R è l'ipotenusa del triangolo:

Può servirti: angolo null: definizione e caratteristiche, esempi, esercizi

R² = (7 cm)² + (24 cm)² = 625 cm²

Quindi l'area richiesta è:

A = π. 625 cm² = 1963.5 cm²

Per quanto riguarda il perimetro o la lunghezza L della circonferenza, viene calcolato da:

L = 2π. R

Sostituzione dei valori:

R = √625 cm² = 25 cm

L = 2π. 25 cm = 157.1 cm.

- Esercizio 2

Determina la lunghezza della corda di un cerchio la cui equazione è:

X² + E² - 6x - 14y -111 = 0

È noto che le coordinate del punto medio della corda sono P (17/2; 7/2).

Soluzione

Il punto medio della corda P non appartiene alla circonferenza, ma i punti estremi della corda sì. Il problema può essere risolto per mezzo del teorema delle stringhe precedentemente dichiarato, ma prima è conveniente.

Passaggio 1: ottenere l'equazione canonica della circonferenza

L'equazione canonica della circonferenza con il centro (h, k) è:

(X-H)² + (Y-K)² = R²

Per ottenerlo, è necessario completare i quadrati:

(X² - 6x) + (e² - 14y) -111 = 0

Nota che 6x = 2.(3x) e 14y = 2.(7y), in modo che l'espressione precedente venga riscritta così, essendo invariata:

(X² - 6x+3²-3²) + (e² - 14y+7²-7²) -111 = 0

E ora, ricordando la definizione di notevole prodotto (A-B)² = a² - 2ab + b² Può essere scritto:

(X - 3)² - 3² + (e - 7)² - 7² - 111 = 0

= (x - 3)² + (e - 7)² = 111 + 3² + 7² → (x - 3)² + (e - 7)² = 169

La circonferenza ha un centro (3.7) e radio r = √169 = 13. La figura seguente mostra il grafico della circonferenza e le stringhe che verranno utilizzate nel teorema:

Può servirti: quali sono i 7 elementi della circonferenza?Figura 6. Grafico della circonferenza dell'esercizio risolto 2. Fonte: f. Zapata attraverso il calcolatore grafico online Mathway.

Passaggio 2: determinare i segmenti da utilizzare nel teorema della stringa

I segmenti da utilizzare sono le stringhe CD e AB, secondo la Figura 6, entrambi vengono tagliati nel punto P, quindi:

Cp . Pd = ap. Pb

Ora troveremo la distanza tra i punti O e P, poiché questo ci darà la lunghezza del segmento OP. Se aggiungiamo il raggio a questa lunghezza, avremo il segmento CP.

La distanza d_Operazione Tra due punti coordinati (x₁,E₁) e (x₂,E₂) È:

D_Operazione² = Op² = (x₂ - X₁)² + (E₂ - E₁)² = (3- 17/2)² + (7-7/2)² = 121/4 + 49/4 = 170/4

D_Operazione = Op = √170 /2

Con tutti i risultati ottenuti, più il grafico, creiamo il seguente elenco di segmenti (vedi Figura 6):

CO = 13 cm = R

Op = √170 /2 cm

Cp = op + r = 13 + √170 /2 cm

PD = OD - OP = 13 - √170 /2 cm

Ap = pb

2.AP = Lunghezza della corda

Sostituzione nel teorema della stringa:

Cp . Pd = ap . Pb = [(13 +√170 /2) . (13 -√170 /2)] = AP²

[169-170/4] = AP²

253/2 = ap²

AP = √ (253/2)

La lunghezza della corda è 2.AP = 2 (√253/2) = √506

Il lettore potrebbe risolvere il problema in un altro modo?

Riferimenti

1. Baldor, a. 2004. Geometria piatta e spaziale con trigonometria. Pubblicazioni culturali s.A. di c.V. Messico.
2. C-K12. Lenght di un accordo. Recuperato da: CK12.org.
3. Escobar, j. La circonferenza. Recuperato da: matematica.Voi.Edu.co.
4. Villena, m. Conico. Estratto da: dspace.Espol.Edu.EC.
5. Wikipedia. Corda (geometria). Recuperato da: è.Wikipedia.org.