Elementi quadrilaterali, proprietà, classificazione, esempi

UN quadrilatero È un poligono a quattro laterali e quattro vertici. Loro lati opposti Sono quelli che non hanno vertici comuni, mentre lo sono lati consecutivi Coloro che hanno un vertice comune.

In un quadrilatero sono angoli adiacenti Quelli che condividono un lato, mentre angoli opposti Non hanno lati comuni. Un'altra caratteristica importante di un quadrilatero è che la somma dei suoi quattro Angoli interni È il doppio dell'angolo piatto, cioè i radianti a 360º o 2π.

Figura 1. Vari quadrilaterali. Fonte: f. Zapata.

Le diagonali Sono i segmenti che uniscono un vertice con il suo opposto e in un dato anello, da ogni vertice puoi disegnare una singola diagonale. Il numero totale di diagonali di un quadrilatero è due.

I quadrilaterali sono figure conosciute dall'umanità dai tempi antichi. I registri archeologici, così come le costruzioni che sopravvivono oggi, lo attestano.

Anche oggi i quadrilaterali continuano ad avere una presenza importante nella vita quotidiana di tutti. Il lettore può trovare questo modulo sullo schermo su cui il testo si legge in questo momento preciso, nelle finestre, nelle porte, nelle parti automobilistiche e innumerevoli posti di più.

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Classificazione dei quadrilaterali

Secondo il parallelismo dei lati opposti, i quadrilaterali sono classificati come segue:

1. Trapezoide, Quando non c'è parallelismo e il quadrilatero è convesso.
2. Trapezio, Quando c'è parallelismo tra una singola coppia di lati opposti.
3. Parallelogramma, Quando i loro lati opposti sono paralleli da due a due.

figura 2. Classificazione e sottoclassificazione dei quadrilaterali. Fonte: Wikimedia Commons.

Tipi di parallelogramma

A loro volta, i parallelogrammi possono essere classificati in base ai loro angoli e lati come segue:

1. Rettangolo, È il parallelogramma che ha i suoi quattro angoli interni di uguale misura. Gli angoli interni di un rettangolo formano un angolo retto (90º).
2. Piazza, È un rettangolo con i suoi quattro lati di uguale misura.
3. Diamante, È il parallelogramma con i suoi quattro lati, ma i suoi diversi angoli adiacenti.
4. Romboide, parallelogramma con diversi angoli adiacenti.

Trapezio

Il trapezio è un quadrilatero convesso con due lati paralleli.

Figura 3. Basi, laterale, altezza e mediana di un trapezio. Fonte: Wikimedia Commons.

- In un trapezio i lati paralleli sono chiamati basi E i non parallelismi sono chiamati laterale.

- IL altezza di un trapezio è la distanza tra le due basi, cioè la lunghezza di un segmento con estremità nelle basi e perpendicolare allo stesso. Questo segmento è anche chiamato altezza del trapezio.

- IL mediano È il segmento che si unisce ai punti medi dei lati. Si può dimostrare che la mediana è parallela alle basi del trapezio e la sua lunghezza è uguale ai semi -corpi delle basi.

- L'area di un trapezio è la sua altezza moltiplicata per i semi -corpi delle basi:

Area di un trapezio = altezza * (base 1 + base 2) / 2

Tipi di trapezio

-Trapezio rettangolare: È quello che ha un lato perpendicolare alle basi. Questo lato è anche l'altezza del trapezio.

-Isoscele del trapezio: Quello con lati di uguale lunghezza. In un trapezoide isoscele gli angoli adiacenti alle basi sono uguali.

-Escaleno Trapezio: Colui che ha i suoi lati di diversa lunghezza. I suoi angoli opposti possono essere acuti e l'altro ottuso, ma può anche accadere che entrambi siano ottusi o entrambi acuti.

Può servirti: esercizi di fattorizzazione risolti Figura 4. Tipi di trapezio. Fonte: f. Zapata.

Parallelogramma

Il parallelogramma è un quadrilatero i cui lati opposti sono paralleli da due a due. In un parallelogramma gli angoli opposti sono uguali e gli angoli adiacenti sono supplementari, o in altre parole, gli angoli adiacenti totali di 180º.

Se un parallelogramma ha un angolo retto, lo saranno anche tutti gli altri angoli e la figura risultante viene chiamata rettangolo. Ma se il rettangolo ha anche i suoi lati adiacenti della stessa lunghezza, allora tutti i suoi lati sono uguali e la figura risultante è una piazza.

Figura 5. Parallelogrammi. Il rettangolo, il quadrato e il rombo sono parallelogrammi. Fonte: f. Zapata.

Quando un parallelogramma ha due lati adiacenti della stessa lunghezza, tutti i suoi lati avranno la stessa lunghezza e la figura risultante è una diamante.

L'altezza di un parallelogramma è un segmento con le estremità sui lati opposti e perpendicolari ad essi.

Un'area di parallelogramma

L'area di un parallelogramma è il prodotto della base per la sua altezza, la base è un laterale perpendicolare all'altezza (Figura 6).

Area di un parallelogramma = base x altezza = a . H

Diagonali di un parallelogramma

Il quadrato della diagonale che parte da un vertice è uguale alla somma dei quadrati dei due lati adiacenti a detto vertice più il doppio prodotto di quei lati dal coseno dell'angolo di quel vertice:

F² = a² +  D² + 2 a d cos (α)

Figura 6. Parallelogramma. Angoli opposti, altezza, diagonali. Fonte: f. Zapata.

Il quadrato del diagonale contrario al vertice di un parallelogramma è uguale alla somma dei quadrati dei due lati adiacenti a detto vertice e sottratto il doppio prodotto di tali lati dal coseno di quel vertice:

G² = a² + D² - 2 a d cos (α)

Legge dei parallelogrammi

In qualsiasi parallelogramma, la somma dei quadrati dei loro lati è uguale alla somma dei quadrati delle diagonali:

A² + B² + C² + D² = f² + G²

RifCTANG

Il rettangolo è un quadrilatero con i suoi lati opposti paralleli da due a due e questo ha anche un angolo retto. Vale a dire che il rettangolo è un tipo di parallelogramma con un angolo retto. Per essere parallelogramma, Il rettangolo ha i suoi lati opposti di uguale lunghezza a = c e b = d. 

Ma come in qualsiasi parallelogramma angoli aggiunti sono supplementari e gli angoli opposti uguali, nel rettangolo con un angolo retto, formeranno necessariamente angoli dritti negli altri tre angoli. Cioè per dire In un rettangolo tutti gli angoli interni misurano i radianti 90º o π/2.

Diagonali di un rettangolo

In un rettangolo le diagonali sono uguali, Come sarà dimostrato di seguito. Il ragionamento è il seguente; Un rettangolo è un parallelogramma con tutti i suoi angoli dritti ed è per questo che eredita tutte le proprietà del parallelogramma, inclusa la formula che dà la lunghezza delle diagonali:

F² = a²+  D² + 2 a d cos (α)

G² = a² + D² - 2 a d cos (α)

con α = 90º

COME Cos (90º) = 0, Quindi succede che:

F² = g² = a² +  D²

Questo è f = g, e quindi le lunghezze F E G Delle due diagonali del rettangolo sono uguali e la loro lunghezza è data da:

Lunghezza diagonale di un rettangolo = √ (a² + B²)

Inoltre, se in un rettangolo di lati adiacenti A E B Un lato si basa sull'altro lato sarà altezza e di conseguenza l'area del rettangolo sarà:

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Area rettangolo = a x b.

Il perimetro è la somma di tutti i lati del rettangolo, ma poiché gli opposti sono uguali, è quindi necessario per un rettangolo A E B Il perimetro è dato dalla seguente formula:

Perimetro rettangolo = 2 (a + b)

Figura 7. Rettangolo di lati A e B. Le diagonali f e g sono uguali. Fonte: f. Zapata.

Piazza

Il quadrato è un rettangolo con i suoi lati adiacenti della stessa lunghezza. Se la piazza ha un lato A, Poi le sue diagonali F E G Hanno la stessa lunghezza, che è F = g = (√2) a.

L'area di un quadrato è il suo lato elevato al quadrato:

Area di un quadrato = a²

Il perimetro di un quadrato è il doppio del lato:

Perimetro di un quadrato = 4 a

Figura 8. Quadrato a lato A, indicando la sua area, il suo perimetro e la lunghezza delle sue diagonali. Fonte: f. Zapata ..

Diamante

Il rombo è un parallelogramma con i suoi lati adiacenti della stessa lunghezza, ma come in un parallelogramma i lati opposti sono gli stessi allora, Tutti i lati di un rombo sono uguali.

Le diagonali di un rombo sono di lunghezza diversa, ma sono tagliate ad angoli retti.

Figura 9. Rombo dal lato A, che indica la sua area, il perimetro e la lunghezza delle sue diagonali. Fonte: f. Zapata.

Esempi

Esempio 1

Dimostrare che in un quadrilatero (non incrociato) gli angoli interni totali 360º.

Figura 10: è dimostrato come la somma degli angoli di un quadrilatero aggiungi 360º. Fonte: f. Zapata.

ABCD è considerato un ABCD (vedi Figura 10) e il BD diagonale è disegnato. Si formano due triangoli ABD e BCD. La somma degli angoli interni del triangolo ABD è:

α + β₁ + Δ₁ = 180º

E la somma degli angoli interni del triangolo BCD è:

 β2 + γ + Δ₂ = 180º

Si ottiene l'aggiunta di due equazioni:

α + β₁ + Δ₁ +  β₂ + γ + Δ₂ = 180º + 180º

Raggruppamento:

α + (β₁ +  β₂) + (Δ₁ + Δ₂) + γ = 2* 180º

Raggruppamento e rinnovamento, è finalmente dimostrato che:

α + β + Δ + γ = 360º

Esempio 2

Dimostrare che la mediana di un trapezoide è parallela alle sue basi e la sua lunghezza è il semi -seismo delle basi.

Figura 11. MN mediana del trapezio ABCD. Fonte: f. Zapata.

La mediana di un trapezio è il segmento che unisce i punti medi dei suoi lati, cioè i lati non paralleli. Nel trapezio ABCD mostrato nella Figura 11 la mediana è MN. 

Poiché è un punto medio di AD e N Mid BC Point, è soddisfatto che i quozienti AM / AD e BN / BC sono uguali.

Cioè, AM è proporzionale a BN nella stessa proporzione di AD è BC, quindi le condizioni per l'applicazione del teorema (reciproco) dei tales che affermano quanto segue:

"Se in tre o più tagli dritti da due secant".

Nel nostro caso, si è concluso che le linee MN, AB e DC sono parallele tra loro, quindi:

“Lin una mediana di un trapezio è parallelo alle sue basi".

Può servirti: operazioni combinate

Ora si applicherà il teorema di Thales:

"Un insieme di paralleli tagliati da due o più asciugature determinano segmenti proporzionali".

Nel nostro caso AD = 2 AM, AC = 2 AO, quindi il triangolo DAC è simile al triangolo MAO e di conseguenza DC = 2 mesi.

Un argomento simile consente di affermare che Cu è simile a Con, dove Ca = 2 CO e CB = 2 CN. Ne consegue che AB = 2.

In breve, AB = 2 su y 2 mesi. Quindi quando ci siamo lasciati:

AB + DC = 2 su + 2 mO = 2 (mo + on) = 2 mn

Finalmente cancella MN:

Mn = (AB + DC) /2

E si è concluso che la mediana di un trapezoide misura i semi -corpi delle basi, o in altre parole: la mediana misura la somma delle basi, divisa per due.

Esempio 3

Dimostrare che in un rombo le diagonali sono tagliate ad angolo retto.

Figura 12. Rombo e dimostrazione che le loro diagonali sono tagliate ad angoli giusti. Fonte: f. Zapata.

Il consiglio di amministrazione della Figura 12 mostra la costruzione necessaria. Innanzitutto il parallelogramma ABCD è disegnato con AB = BC, che è un rombo. Le diagonali AC e DB determinano otto angoli mostrati nella figura.

Usando il teorema (a.Yo.P.) che afferma che gli angoli alternativi interni tra i parallelismi tagliati da un secante determinano gli angoli uguali, possiamo stabilire quanto segue:

α₁ = γ₁, α2 = γ2, Δ₁ = Β₁ e Δ2 = β2. (*)

D'altra parte, poiché i lati adiacenti di un rombo sono di uguale lunghezza, vengono determinati quattro triangoli di isosceli:

DAB, BCD, CDA e ABC

Ora viene invocato il teorema dei triangoli (isoscele) che afferma che gli angoli adiacenti alla base sono di pari misura, dove si conclude che:

Δ₁ = β2, Δ2 = β₁, α2 = γ₁ e α₁ = γ2 (**)

Se le relazioni (*) e (**) sono combinate, viene raggiunta la prossima uguaglianza di angoli:

α₁ = α2 = γ₁ = γ₁ Da un lato e β₁ = Β2 = Δ₁ = Δ2 per l'altro. 

Ricordare il teorema dei triangoli uguali che afferma che due triangoli con un lato uguale tra due angoli uguali sono gli stessi sono:

AOD = AOB e di conseguenza anche gli angoli ∡aod = ∡aob.

Quindi ∡aod + ∡aob = 180º, ma poiché entrambi gli angoli sono di uguale misura, 2 ∡aod = 180º il che implica che ∡Aod = 90º.

Cioè, è geometricamente dimostrato che le diagonali di un rombo sono tagliate ad angoli retti.

Esercizi risolti

- Esercizio 1

Dimostrare che in un trapezoide rettangolo, gli angoli non EG sono supplementari.

Soluzione

Figura 13. Trapezio rettangolare. Fonte: f. Zapata.

Il trapezoide ABCD è costruito con basi AB e DC parallele. L'angolo interno del vertice A è dritto (misura 90º), quindi hai un trapezoide rettangolo.

Gli angoli α e Δ sono angoli interni tra due paralleli AB e DC paralleli, quindi sono gli stessi, cioè Δ = α = 90º. 

D'altra parte, è stato dimostrato che la somma degli angoli interni di un quadrilatero aggiunge 360º, cioè:

α + β + γ + Δ = 90º + β + 90º + Δ = 360º.

Quanto sopra porta a:

 β + Δ = 180º

Confermare ciò che voleva essere dimostrato che gli angoli β e Δ sono supplementari.

- Esercizio 2

Un parallelogramma ABCD ha AB = 2 cm e AD = 1 cm, inoltre l'angolo BAD è 30º. Determina l'area di detto parallelogramma e la lunghezza delle sue due diagonali.

Soluzione

L'area di un parallelogramma è il prodotto della lunghezza della sua base per altezza. In questo caso, la lunghezza del segmento B = AB = 2 cm verrà presa come base, l'altro lato ha la lunghezza A = ad = 1 cm e l'altezza H verrà calcolata come segue:

H = ad * sin (30º) = 1 cm * (1/2) = ½ cm.

Quindi: area = b * h = 2 cm * ½ cm = 1 cm².

Riferimenti

1. C. E. A. (2003). Elementi di geometria: con esercizi e geometria della bussola. Università di Medellin.
2. Campos, f., Cerecedo, f. J. (2014). Matematica 2. Gruppo editoriale di Patria.
3. Liberato, k. (2007). Scopri i poligoni. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, v. (2013). Poligoni generalizzati. Birkhäuser.
5. Iger. (S.F.). Matematica Primo semestre Tacaná. Iger.
6. Jr. Geometria. (2014). Poligoni. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren e Hornsby. (2006). Matematica: ragionamento e applicazioni (decima edizione). Pearson Education.
8. Patiño, m. (2006). Matematica 5. PROGRESO EDITORIALE.
9. Wikipedia. Quadrilaterali. Recuperato da: è.Wikipedia.com