Definizione, condizioni, esercizi dei vettori non coplanari

IL Vettori non -coplanari Sono quelli che non condividono lo stesso aereo. Due vettori liberi e un punto definiscono un singolo piano. Un terzo vettore può o meno condividere quel piano e in caso contrario, questi sono vettori non coplanari.

I vettori non delaplet non possono essere rappresentati in spazi a due dimensioni come una scheda o un foglio di carta, perché alcuni di essi sono contenuti nella terza dimensione. Per rappresentarli correttamente devi usare la prospettiva.

Figura 1. Coplanari e vettori non di accoppiamento. (Elaborazione proprie)

Se osserviamo la Figura 1, tutti gli oggetti rigorosamente mostrati sono sul piano dello schermo, tuttavia grazie alla prospettiva che il nostro cervello è in grado di immaginare un piano (P) che esce dallo stesso.

Su quel piano (P) sono i vettori R, S, O, mentre vettori v E W  Non sono su quell'aereo.

Pertanto i vettori R, S, O Sono coplanari o coplani tra loro poiché condividono lo stesso piano (P). I vettori v E W Non condividono un appartamento con nessuno degli altri vettori mostrati, quindi non sono accoppiati. 

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Coplanari e vettori di equazione piane

Un aereo è definito in modo univoco se sono riportati tre punti nello spazio tridimensionale.

Supponiamo che quei tre punti siano il punto A, punto B e il punto C che definiscono il piano (P). Con questi punti è possibile costruire due vettori AB = U E Ac = v che sono in costruzione con l'aereo (P).

Il prodotto vettoriale (o prodotto incrociato) di questi due vettori si traduce in un terzo vettore perpendicolare (o normale) e quindi perpendicolare al piano (P):

n = u X v   => N ⊥ O  E N ⊥ v   => N ⊥ (P)    

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Qualsiasi altro punto che appartiene al piano (P) deve soddisfare che il vettore Aq essere perpendicolare al vettore N; Ciò è equivalente a dire che il prodotto scalare (o il prodotto puntuale) di N con Aq Deve essere zero:

N • Aq = 0 (*)

La condizione precedente è equivalente a dirlo:

Aq • ((O X v) = 0 

Questa equazione garantisce che il punto Q appartenere all'aereo (P). 

Equazione cartesiana del piano

L'equazione precedente può essere scritta in modo cartesiano. Per questo scriviamo le coordinate dei punti A, Q e i componenti del vettore normale N:

A = (a, b, c)

Q = (x, y, z)

N= (NX, NY, NZ)

In modo che i componenti AQ siano:

Aq= (X-A, Y-B, Z-C)

La condizione per il vettore Aq essere contenuto nel piano (P) È la condizione (*) che ora è scritta in questo modo:

(NX, NY, NZ) • (X-A, Y-B, Z-C) = 0

Il calcolo del punto del prodotto rimane:

NX (X-A) + NY (Y-B) + NZ (Z-B) = 0

Se si sviluppa e riorganizza rimane:

nx x + ny y + nz z = nx a + ny b + nz c

L'espressione precedente è l'equazione cartesiana di un piano (P), a seconda dei componenti di un vettore normale a (P) e le coordinate di un punto A che appartiene a (P).

Condizioni per tre vettori per essere non cooplanatori

Poiché la condizione è stata vista nella sezione precedente Aq • ((O X v) = 0 garantisce che il vettore Aq È coplanario a O E v.

Se chiamiamo W al vettore Aq Allora possiamo affermare che:

W, O E v Sono complanari, sì e solo se W • (( O X v ) = 0.

Condizione di non comportamento

Se il prodotto triplo (o prodotto misto) di tre vettori è diverso da zero, quei tre vettori sono non copertine.

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Sì    W • (( O X v ) ≠ 0 quindi i vettori u, v e w sono non-couplanari.

Se i componenti cartesiani di U, V, V e W vengono introdotti, la condizione di non comportamento può essere scritta come segue:

Vale a dire che se il fattore determinante della matrice (3 × 3) le cui righe sono i componenti dei vettori U, V e W è, i vettori non sono accoppiati.

Il triplo prodotto ha un'interpretazione geometrica e rappresenta il volume dei parallelepiped generati dai tre vettori non -coplanari.

figura 2. Tre vettori non accoppiati definiscono un parallelepipedo il cui volume è il modulo triplo del prodotto. (Elaborazione proprie)

Il motivo è il seguente; Quando due dei vettori non accoppiati si moltiplicano. 

Quindi quando questo vettore si moltiplica. 

In altre parole, hai l'area parallelogramma generata dai primi due moltiplicati per l'altezza del terzo vettore.

Condizione alternativa di non accoppiamento

Se hai tre vettori e uno di essi non può essere scritto come una combinazione lineare degli altri due, allora i tre vettori non sono coperti. Questo è tre vettori O, v E W Non sono coperture se la condizione:

α O + β v + γ W = 0

È soddisfatto solo quando α = 0, β = 0 e γ = 0.

Esercizi risolti

-Esercizio 1

Hai tre vettori

O = (-3, -6, 2);   v = (4, 1, 0) e W = (-1, 2, z)

Si noti che il componente Z del vettore W Non è noto.

Trova l'intervallo di valori che Z può prendere in modo che sia garantito che i tre vettori non condividano lo stesso piano.

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Soluzione 

Applichiamo di nuovo il criterio del fattore determinante della matrice formata dai ranghi dei tre vettori, in questo modo rimaniamo:Sviluppiamo il fattore determinante

W • (( O X v ) = -3 (z - 0) + 6 (4 z - 0) + 2 (8 + 1) = -3z + 24z + 18 = 21Z + 18

Abbiniamo questa espressione a valore zero

21 z + 18 = 0

E chiariamo z

Z = -18/21 = -6/7

Se la variabile Z prendesse il valore -6/7, i tre vettori sarebbero Coplanares.

In modo che i valori di Z che garantiscono che i vettori non siano coperti siano quelli che si trovano nel seguente intervallo:

Z ∈ (-∞, -6/7) u (-6/7, ∞)

-Esercizio 2

Trova il volume del parallelepiped mostrato nella figura seguente:

Soluzione 

Per trovare il volume del parallelepiped mostrato nella figura, i componenti cartesiani di tre vettori non accoppiati non concorrenti saranno determinati nell'origine del sistema di coordinate. Il primo è il vettore O  4m e parallelo all'asse X:

O= (4, 0, 0) m

Il secondo è il vettore v Nel piano di dimensioni 3m XY che forma 60º con l'asse x:

v= (3*cos 60º, 3*sen 60º, 0) = (1.5, 2.6, 0.0) m

E il terzo il vettore W di 5 m e la cui proiezione nel piano XY si forma 60º con l'asse x, in aggiunta a 30º con l'asse z.

W= (5*sin 30º*cos 60º, 5*sen 30º*sin 60º, 5*sen 30º)

Eseguito i calcoli che abbiamo: W= (1.25, 2.17, 2.5m.

Riferimenti

1. Figueroa, d. Serie: Physics for Science and Engineering. Volume 1. Cinematica. 31-68.
2. Fisico. Modulo 8: vettori. Recuperato da: frtl.Utn.Edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Meccanici per ingegneri. Statico. 6a edizione. Azienda editoriale continentale.28-66.
4. McLean, w. Serie Schaum. Meccanici per ingegneri: statico e dinamico. 3a edizione. McGraw Hill. 1-15.
5. Wikipedia. Vettore. Recuperato da: è.Wikipedia.org