Proprietà dei vettori gratuiti, esempi, esercizi

IL Vettori gratuiti Sono quelli che sono completamente specificati dalla loro grandezza, dalla loro direzione e dal loro significato, senza che siano necessari per indicare un punto di applicazione o una particolare origine.

Poiché i vettori infiniti possono essere disegnati in questo modo, un vettore libero non è un'entità unica, ma un insieme di vettori paralleli e identici che sono indipendenti dal luogo in cui si trovano.

Figura 1. Vari vettori gratuiti. Fonte: sé realizzato.

Diciamo che ci sono diversi vettori di magnitudo 3 diretti verticalmente su, o magnitudo 5 e inclinati a destra, come nella Figura 1.

Nessuno di questi vettori viene applicato specificamente ad un certo punto. Quindi uno qualsiasi dei vettori blu o verdi è rappresentativo del rispettivo gruppo, poiché le sue caratteristiche - modulo, direzione e senso - non vengono affatto modificate quando vengono trasferite in un altro luogo del piano.

Un vettore gratuito è di solito indicato nel testo stampato con una lettera minuscola e audace, ad esempio v. O con minuscolo e una freccia in cima se si tratta di un testo manoscritto.

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 Esempi

Il vantaggio che i vettori liberi hanno è che possono essere spostati dal piano o dallo spazio e mantenere le loro proprietà, poiché qualsiasi rappresentante del set è ugualmente valido.

Ecco perché in fisica e meccanica vengono spesso utilizzati. Ad esempio, per indicare la velocità lineare di un solido che si muove non è necessario scegliere un punto particolare dell'oggetto. Quindi il vettore di velocità si comporta come un vettore libero.

Un altro esempio di vettore libero è la coppia di forze. UN paio È costituito da due forze di uguale grandezza e direzione, ma di sensi opposti, applicati in diversi punti di un solido. L'effetto di una coppia non è di trasferire l'oggetto, ma di causare una rotazione grazie al momento prodotto.

La Figura 2 mostra una coppia di forze applicate a un volante. Attraverso le forze F₁ E F₂, Viene creata la coppia che gira il volante attorno al suo centro e in un programma.

Può servirti: nitruro di boro (bn): struttura, proprietà, ottenimento, usi figura 2. Un paio di forze applicate a un volante fornisce una svolta al punteggio. Fonte: Bensko [dominio pubblico].

Puoi apportare alcune modifiche alla coppia e continuare a ottenere lo stesso effetto rotante, ad esempio aumentare la forza, ma ridurre la distanza tra di loro. O mantenere la forza e la distanza, ma applicare la coppia su un altro paio di punti sul volante, cioè girare la coppia attorno al centro.

Il tempo della coppia di forze o semplicemente paio, È un vettore il cui modulo è Fd ed è perpendicolare al piano della ruota perpendicolare. Nell'esempio mostrato dalla convenzione, la svolta ha un senso negativo.

Proprietà e caratteristiche

A differenza del vettore libero V, i vettori Ab E CD Sono fissi (vedi Figura 3), poiché hanno specificato il punto di partenza e il punto di arrivo. Ma essere attrezzature tra loro e, a sua volta, con il vettore v, Sono rappresentativi del vettore libero v.

Figura 3. Vettori, attrezzature e vettori fissi gratuiti. Fonte: sé realizzato.

Le proprietà principali dei vettori liberi sono le seguenti:

-Qualsiasi vettore Ab (Vedi Figura 2) È, come affermato, rappresentativo del vettore libero v.

-Il modulo, la direzione e il significato sono gli stessi in qualsiasi rappresentante vettoriale libero. Nella Figura 2, i vettori Ab E CD Rappresentano il vettore libero v E sono attrezzature.

-Dato un punto P di spazio, è sempre possibile trovare un rappresentante vettoriale libero v la cui origine è in p e detto rappresentante è unico. Questa è la proprietà più importante dei vettori liberi e quello che li rende così versatili.

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-Un vettore libero in viaggio è indicato come 0 Ed è l'insieme di tutti i vettori che mancano di grandezza, direzione e significato.

-Se il vettore Ab rappresenta il vettore libero v, Quindi il vettore Ba rappresenta il vettore libero -v.

-Verrà utilizzata la notazione V³ per designare il set di tutti i vettori senza spazio e V² Per designare tutti i vettori liberi dell'aereo.

Esercizi risolti

Con vettori gratuiti puoi eseguire le seguenti operazioni:

-Aggiunta

-Sottrazione

-Moltiplicazione dell'arrampicata da parte di un vettore

-Prodotto scalare tra due vettori.

-Prodotto incrociato tra due vettori

-Combinazione lineare di vettori

E altro.

-Esercizio 1

Uno studente intende nuotare da un punto sulla riva da un fiume all'altro che è proprio davanti. Per non ottenere nulla direttamente a una velocità di 6 km / h, in direzione perpendicolare, tuttavia la corrente ha una velocità di 4 km / h che la devia.

Calcola la velocità risultante dal nuotatore e quanto viene deviata dalla corrente.

Soluzione

La velocità estendente del nuotatore è la somma vettoriale della sua velocità (rispetto al fiume, disegnata verticalmente in alto) e la velocità del fiume (disegnata da sinistra a destra), che viene eseguita come indicato nella figura seguente:

L'entità della velocità risultante corrisponde all'ipotenusa del triangolo destro mostrato, quindi:

V = (6² + 4²) ^½ km/h = 7.2 km/h

L'indirizzo può essere calcolato per angolo rispetto al perpendicolare alla riva:

α = arctg (4/6) = 33.7 ° o 56.3 ° per quanto riguarda la riva.

Esercizio 2

Trova il tempo della coppia di forze mostrate nella figura:

Soluzione

Il momento è calcolato da:

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M = R X F

Le unità del momento sono LB-F.piede. Poiché la coppia è sul piano dello schermo, il momento è diretto perpendicolare ad esso, verso l'esterno o verso l'interno.

Poiché la coppia dell'esempio tende a girare l'oggetto su cui viene applicato (che non è mostrato nella figura) in un programma, questo momento è considerato puntando all'interno dello schermo e con un segno negativo.

L'entità del momento è m = f.D.Sin A, essendo ad angolo tra la forza e il vettore R. Devi scegliere un punto per cui calcolare il momento, che è un vettore libero. Viene scelta l'origine del sistema di riferimento R va da O al punto di applicazione di ogni forza.

M₁ = M₂ = -Fdsen60º = -500 . venti .Sen 60º LB-F . piede = -8660.3 lb-f . piede

Il momento netto è la somma di m₁ e m₂: -17329.5 lb-f . piede.

Riferimenti

1. Beardon, t. 2011. Un'introduzione ai vettori. Recuperato da: nrich.Matematica.org.
2. Bedford, 2000. A. Meccanica per l'ingegneria: statico. Addison Wesley. 38-52.
3. Figueroa, d. Serie: Physics for Science and Engineering. Volume 1. Cinematica.31-68.
4. Fisico. Modulo 8: vettori. Recuperato da: frtl.Utn.Edu.ar
5. Hibbeler, R. 2006. Meccanici per ingegneri. Statico. 6a edizione. Azienda editoriale continentale. 15-53.
6. Aggiunta di calcolatrice vettore. Recuperato da: 1728.org
7. Vettori. Recuperato da: è.WikiBooks.org