Calcolo vettoriale risultante, esempi, esercizi

Lui vettore risultante È quello ottenuto da un'operazione con vettori il cui risultato è anche un vettore. Normalmente questa operazione è la somma di due o più vettori, attraverso i quali si ottiene un vettore il cui effetto è equivalente.

In questo modo i vettori come la velocità, l'accelerazione o la forza sono ottenuti. Ad esempio quando diverse forze agiscono su un corpo F₁, F₂, F₃,.. . La somma vettoriale di tutte queste forze è equivalente alla forza netta (la risultante), che si esprime matematicamente:

F₁ + F₂ + F₃ +... = F_R  O F_N

Figura 1. Il peso della neve è distribuito sul soffitto e la sua azione può essere sostituita da una singola forza risultante applicata nel luogo appropriato. Fonte: Pixabay.

Il vettore risultante, che si tratti di forze o di qualsiasi altra grandezza vettoriale, sta applicando le regole della somma dei vettori. Poiché i vettori hanno direzione e senso oltre al valore numerico, non è sufficiente aggiungere i moduli per avere il vettore risultante.

Questo è vero solo nel caso in cui i vettori coinvolti sono nella stessa direzione (vedi esempi). Altrimenti è necessario utilizzare metodi di somma vettoriale, che, a seconda del caso, possono essere geometrici o analitici.

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Esempi

I metodi geometrici per trovare il vettore risultante sono il metodo poligono e il metodo del parallelogramma.

Per quanto riguarda i metodi analitici è il metodo componente, attraverso il quale si può trovare il vettore derivante da qualsiasi sistema vettoriale, purché abbiamo i suoi componenti cartesiani.

Metodi geometrici per aggiungere due vettori

Supponiamo che i vettori O E v (Li indichiamo in grassetto per distinguerli dallo scalare). Nella Figura 2) li abbiamo situati sul piano. Nella Figura 2 b) si è spostato su Vector V in modo tale che la sua origine coincida con la fine della O. Il vettore risultante passa dall'origine del primo (O) alla punta dell'ultimo (v)

Può servirti: compressibilità: solidi, liquidi, gas, esempi figura 2. Il vettore risultante dalla somma grafica dei vettori. Fonte: sé realizzato.

La figura che si traduce in questo caso è un triangolo (un triangolo è un poligono a 3 sul lato). Se abbiamo due vettori nella stessa direzione, la procedura è la stessa: posizionare uno dei vettori dopo l'altro e disegnare uno che va dall'origine o dalla coda del primo alla punta o alla fine dell'ultimo.

Si noti che l'ordine in cui viene effettuata questa procedura non ha importanza, poiché la somma dei vettori è commutativa.

Si noti inoltre che in questo caso il modulo (La lunghezza o la dimensione) del vettore risultante è la somma dei moduli dei vettori aggiuntivi, a differenza del caso precedente, in cui il modulo vettoriale risultante è inferiore alla somma dei moduli dei partecipanti.

Metodo del parallelogramma

Questo metodo è molto appropriato quando è necessario aggiungere due vettori i cui punti di origine sono d'accordo, con l'origine di un sistema di coordinate X-Y. Supponiamo che questo sia il caso dei nostri vettori O E v (Figura 3):

Figura 3. Somma di due vettori per mezzo del metodo parallelogramma con il vettore risultante in blu turchese. Fonte: sé realizzato.

Nella Figura 3b) è stato costruito un parallelogramma con l'aiuto di linee tratteggiate parallele a O Già v. Il vettore risultante ha la sua origine in O e la sua estremità nel punto in cui le linee tratteggiate si intersecano. Questa procedura è completamente equivalente a quella descritta nella sezione precedente.

Esercizi

-Esercizio 1

Dati i seguenti vettori, trova il vettore risultante usando il metodo poligonale.

Può servirti: riflesso della luce Figura 4. Vettori per trovare il suo risultato attraverso il metodo poligonale. Esercizio 1. Fonte: sé realizzato.

Soluzione

Il metodo poligonale è il primo dei metodi visti. Ricorda che la somma dei vettori è commutativa (l'ordine delle aggiunte non altera la somma), quindi è possibile iniziare con nessuno dei vettori, ad esempio O (Figura 5a) o R (Figura 5b):

Figura 5. Somma dei vettori attraverso il metodo poligonale. Fonte: sé realizzato.

La figura ottenuta è un poligono e il vettore risultante (in blu) è chiamato R. Se si inizia con un altro vettore, la figura che si forma può essere diversa, come si può vedere nell'esempio, ma il vettore risultante è lo stesso.

Esercizio 2

Nella figura seguente si sa che i moduli dei vettori O E v rispettivamente sono u = 3 unità arbitrarie e v = 1.8 unità arbitrarie. L'angolo che O la forma con l'asse X positivo è di 45 º, mentre v forma 60 º con l'asse y, come si vede nella figura. Trova il vettore, la grandezza e la direzione risultanti.

Soluzione

Nella sezione precedente è stato trovato il vettore risultante applicando il metodo del parallelogramma (in turchese nella figura).

Un modo semplice per trovare il vettore risultante analiticamente è quello di esprimere i vettori che aggiungono in termini di componenti cartesiani, che è un compito facile quando sono noti modulo e angolo, come i vettori di questo esempio:

O_X = u . cos 45º = 3 x cos 45 º = 2.12; O_E = u . sin 45 º = 3x sen 45º = 2.12

v_X = v . Sen 60º = 1.8 x sen 60 º = 1.56; v_E = -V . cos 60 º = -1.8 x cos 60º = - 0.9

Può servirti: movimento pendolare

I vettori O E v Sono vettori appartenenti al piano, con entrambi due componenti ciascuno. Il vettore U è nel primo quadrante e i suoi componenti sono positivi, mentre il vettore V è nel quarto quadrante; Il suo componente X è positivo, ma la sua proiezione sull'asse verticale cade nell'asse e negativo.

Calcolo dei componenti cartesiani del vettore risultante

Il vettore risultante sta aggiungendo algebricamente i rispettivi componenti X e Y, per ottenere i suoi componenti cartesiani:

R_X = 2.12 + 1.56 = 3.68

R_E = 2.12 + (-0.9) = 1.22

Una volta che i componenti cartesiani sono stati specificati e il vettore è completamente noto. Il vettore risultante può essere espresso con la notazione tra parentesi quadrate (parentesi)

R = unità arbitrarie

La notazione della staffa viene utilizzata per distinguere un vettore da un punto nel piano (o nello spazio). Un altro modo per esprimere il vettore risultante in modo analitico è attraverso l'uso di vettori unitari Yo e j sull'aereo (Yo, J E K nello spazio):

R = 3.68 Yo + 1.22 J unità arbitrarie

Poiché entrambi i componenti del vettore risultante sono positivi, il vettore R Appartiene al primo quadrante, che era già stato visto graficamente.

Grandezza e direzione del vettore risultante

Conosciuta dai componenti cartesiani, l'entità di R viene calcolata attraverso il teorema di Pitagora, poiché il vettore risultante R, accanto ai suoi componenti r_X e r_E Formano un triangolo destro:

Magnitudo o modulo: r = (3.68² + 1.22²)^½ = 3.88

Indirizzo Q Prendendo l'asse X positivo come riferimento: q = arcan (r_E / R_X) = arctg (1.22/3.68) = 18.3 °

Riferimenti

1. Aggiunta di vettori e regole. Recuperato da: Newt.Phys.UNSW.Edu.Au
2. Figueroa, d. Serie: Physics for Science and Engineering. Volume 1. Cinematica.31-68.
3. Fisico. Modulo 8: vettori. Recuperato da: frtl.Utn.Edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. Meccanici per ingegneri. Statico. 6a edizione. Azienda editoriale continentale. 15-53.
5. Aggiunta di calcolatrice vettore. Recuperato da: www.1728.org