Vettori nello spazio Come graficamente, applicazioni, esercizi

UN vettore nello spazio È tutto rappresentato da un sistema di coordinate fornito da X, E E z. Quasi sempre l'aereo XY È il piano della superficie orizzontale e l'asse z rappresenta l'altezza (o la profondità).

Gli assi delle coordinate cartesiane mostrate nella Figura 1, dividono lo spazio in 8 regioni chiamate Ottavers, analogo a come gli assi X - E Dividi il piano in 4 quadranti. Avremo quindi 1 ottante, 2 ° Ocanto e così via.

Figura 1. Un vettore nello spazio. Fonte: sé realizzato.

La Figura 1 contiene una rappresentazione di un vettore v nello spazio. È necessaria una prospettiva per creare l'illusione di tre dimensioni sul piano dello schermo, che si ottiene disegnando una vista obliqua.

Per graficamente un vettore 3D, è necessario aiutare le linee tratteggiate che determinano le coordinate della proiezione o "ombra" della griglia v Sulla superficie x-and. Questa proiezione inizia in O e termina nel punto verde.

Una volta lì devi continuare per verticale all'altezza (o profondità) necessaria in base al valore di z, Fino a quando non arrivi a P. Il vettore è disegnato da O e termina in p, che nell'esempio è nel 1 ° ocant.

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Applicazioni

I vettori nello spazio sono ampiamente utilizzati nella meccanica e in altri rami della fisica e dell'ingegneria, poiché le strutture che ci circondano richiedono la geometria nelle tre dimensioni.

I vettori di posizione nello spazio vengono utilizzati per posizionare gli oggetti rispetto a un punto di riferimento chiamato origine O. Pertanto sono anche strumenti necessari in navigazione, ma non è tutto.

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Le forze che agiscono su strutture come bulloni, supporti, cavi, montanti e altro sono natura vettoriali e sono orientate nello spazio. Per conoscerne l'effetto, è necessario conoscere il tuo indirizzo (e anche il tuo punto di applicazione).

E spesso la direzione di una forza è nota per due punti nello spazio che appartengono alla sua linea di azione. In questo modo la forza è:

F = F O

Dove f è l'entità o il modulo di forza e O È il vettore unitario (modulo 1) diretto lungo la linea di azione di F. 

Notazione vettoriale 3D e rappresentazioni

Prima di risolvere alcuni esempi, la notazione di vettori 3D verrà brevemente rivista.

Nell'esempio della Figura 1, Vector V, il cui punto di origine coincide con l'origine o e il cui finale è il punto P, ha le coordinate X E z positivo, mentre coordinate E È negativo. Queste coordinate sono: X₁, E₁, z₁, che sono precisamente le coordinate di P.

Quindi, se abbiamo un vettore legato all'origine, cioè il cui punto di partenza coincide con O, è molto facile indicare le sue coordinate, che saranno quelle del punto estremo o P. Per distinguere tra un punto e un vettore, useremo per le ultime lettere e parentesi audaci, come questo:

v = < x₁, E₁, z₁ >

Mentre il punto P è indicato con parentesi:

P = (x₁, E₁, z₁)

Un'altra rappresentazione utilizza i vettori dell'unità Yo, J E K che definiscono le tre direzioni dello spazio negli assi X, E E z rispettivamente.

Questi vettori sono perpendicolari l'uno all'altro e compongono a Base ortonormali (Vedi Figura 2). Ciò significa che un vettore 3D può essere scritto in termini di loro come:

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v = v_X Yo + v_E J + v_z K

Angoli e registi di cosenos di un vettore

La Figura 2 mostra anche gli angoli dei direttori γ₁, γ₂ e γ₃ rispetto al vettore v rispettivamente con gli assi X, E E z. Conoscere questi angoli e l'entità del vettore, questo è completamente determinato. Inoltre, i coseni degli amministratori soddisfano la seguente relazione:

(cos γ₁)² + (cos γ₂)² + (cos γ₃)² = 1

figura 2. Vettori unitari I, J e K determinano le 3 direzioni preferenziali dello spazio. Fonte: sé realizzato.

Esercizi risolti

-Esercizio 1

Nella Figura 2 gli angoli γ₁, γ₂ e γ₃ rispetto al vettore v del modulo 50 modulo con gli assi delle coordinate sono rispettivamente: 75.0º, 60.0º e 34.3 °. Trova i componenti cartesiani di questo vettore e rappresentalo in termini di vettori dell'unità Yo, J E K.

Soluzione

La proiezione del vettore v sull'asse X è v_X = 50 . Cos 75º = 12.941. Allo stesso modo la proiezione di v sull'asse E è v_E = 50 cos 60 º = 25 e infine sull'asse z è v_z = 50. cos 34.3 ° = 41.3. Ora v può essere espresso come:

v = 12.9 Yo + 25.0 J + 41.3 K

-Esercizio 2 

Trova tensioni in ciascuno dei cavi che contengono il secchio della figura che è in equilibrio, se il peso di questo è 30 n.

Figura 3. Diagramma di tensioni per l'esercizio 2.

Soluzione

Sul secchio, il diagramma del corpo libero indica che T_D (verde) compensa il peso W (giallo), quindi t_D = W = 30 N.

Nel nodo, il vettore T_D  È diretto verticalmente verso il basso, quindi:

T_D = 30 (-K) N.

Per stabilire le tensioni rimanenti è necessario seguire i seguenti passaggi:

Passaggio 1: trova le coordinate di tutti i punti

A = (4.5; 0; 3) (A è sul piano del muro X-Z)

B = (1.5; 0; 0) (B è sull'asse x)

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C = (0, 2.5, 3) (C è sul piano della parete e z)

D = (1.5; 1.5; 0) (D è sul piano orizzontale  x-and)

Passaggio 2: trova i vettori in ciascuna direzione sottraendo le coordinate della fine e dell'inizio

Dà =

DC =

Db =

Passaggio 3: calcola moduli e vettori dell'unità

Un vettore dell'unità è ottenuto per espressione: O = R / r, con R (in grassetto) essendo il vettore e r (senza grassetto) il modulo di detto vettore.

Da = (3² + (-1.5)² + 3²)^½ = 4.5; Dc = ((-1.5) ² + 1² + 3²)^½ = 3.5

O_Dà = 4.5 =

O_DC = 3.5 =

O_Db =

O_D =

Passaggio 4: esprimere tutte le tensioni come vettori

T_Dà = T_Dà O_Dà = T_Dà

T_DC = T_DC O_{Dc =}  T_DC

T_Db = T_Db O_Db = T_Db

 T_D = 30

Passaggio 5: applicare la condizione di equilibrio statico e risolvere il sistema di equazioni

Infine, la condizione di equilibrio statico viene applicata al secchio, in modo che la somma vettoriale di tutte le forze sul nodo sia nullo:

T_Dà + T_DC + T_Db + T_D = 0

Poiché le tensioni sono nello spazio, porterà a un sistema a tre equazioni per ciascun componente (X, e e z) di tensioni.

0.67 t_Dà -0.43 t_DC + 0 t_Db = 0

-0.33 t_Dà + 0.29 t_DC - T_Db = 0

0.67 t_Dà + 0.86 t_DC +0 t_Db - 30 = 0

La soluzione è: t_Dà = 14.9 n; T_Dà = 23.3 n; T_Db = 1.82 n

Riferimenti

1. Bedford, 2000. A. Meccanica per l'ingegneria: statico. Addison Wesley. 38-52.
2. Figueroa, d. Serie: Physics for Science and Engineering. Volume 1. Cinematica.31-68.
3. Fisico. Modulo 8: vettori. Recuperato da: frtl.Utn.Edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. Meccanici per ingegneri. Statico. 6a edizione. Azienda editoriale continentale. 15-53.
5. Aggiunta di calcolatrice vettore. Recuperato da: 1728.org