Caratteristiche e proprietà vettoriali, elementi, tipi, esempi

IL vettori Sono entità matematiche che hanno una magnitudo positiva -, solitamente accompagnate da un'unità di misura, oltre alla direzione e al significato. Tali caratteristiche sono molto appropriate per descrivere quantità fisiche come velocità, forza, accelerazione e molti altri.

Con i vettori è possibile eseguire operazioni come somma, sottrazione e prodotti. La divisione non è definita per i vettori e per quanto riguarda il prodotto, ci sono tre classi che descriveremo in seguito: prodotto scalare o punto, vettore o prodotto incrociato e prodotto di uno scalare per un vettore.

Figura 1. Gli elementi di un vettore. Fonte: Wikimedia Commons.

Per descrivere completamente un vettore, è necessario indicare tutte le sue caratteristiche. L'entità o il modulo è un valore numerico accompagnato da un'unità, mentre la direzione e il significato sono stabiliti con l'aiuto di un sistema di coordinate.

Diamo un'occhiata a un esempio: supponiamo che un aereo voli da una città all'altra al ritmo di 850 km/h nella direzione. Qui abbiamo un vettore completamente specificato, perché l'entità è disponibile: 850 km/h, mentre la direzione e il significato sono NE.

I vettori sono generalmente rappresentati graficamente da segmenti di linea orientati, la cui lunghezza è proporzionale alla grandezza.

Mentre per specificare la direzione e il significato, è necessaria una linea di riferimento che di solito è l'asse orizzontale, sebbene il nord possa anche essere preso come riferimento, tale è il caso della velocità del piano:

figura 2. Un vettore di velocità. Fonte: f. Zapata.

La figura mostra il vettore di velocità del piano, che è indicato come v In grassetto, per distinguerlo da una quantità scalare, che richiede solo un valore numerico e qualche unità da specificare.

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Elementi di un vettore

Come abbiamo detto, gli elementi vettoriali sono:

-Magnitudo o modulo, a volte chiamato anche valore assoluto o standard vettoriale.

-Indirizzo

-Senso

Nell'esempio della Figura 2, il modulo di v È 850 km/h. Il modulo è indicato come V senza grassetto, o come |v|, Dove le barre rappresentano il valore assoluto.

L'indirizzo di v è specificato rispetto al nord. In questo caso è 45º a nord dell'est (45º NE). Finalmente la punta della freccia informa la direzione di v.

In questo esempio, l'origine vettoriale è stata disegnata in coincidenza con l'origine o il sistema di coordinate, questo è noto come Vettore collegato. D'altra parte, se l'origine del vettore non corrisponde a quella del sistema di riferimento, si dice che sia un Vector gratuito.

Va notato che per specificare completamente il vettore, questi tre elementi devono essere indicati, altrimenti la descrizione del vettore sarebbe incompleta.

Componenti rettangolari di un vettore

Figura 3. Componenti rettangolari di un vettore sul piano. Fonte: Wikimedia Commons. Unther [CC BY-SA 3.0 (https: // creativeCommons.Org/licenze/by-sa/3.0)]

Nell'immagine abbiamo indietro il nostro esempio di vettore v, Questo è nell'aereo XY.

È facile notare che le proiezioni v sugli assi delle coordinate X e Y determinano un triangolo destro. Queste proiezioni sono v_E E v_X e sono chiamati componenti rettangolari di v.

Un modo per indicare v Attraverso i suoi componenti rettangolari è così: v = X, v_E>. Queste staffe quadrate sono usate al posto delle parentesi per sottolineare il fatto che è un vettore e non un punto, poiché in questo caso verrebbero utilizzate parentesi.

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Se il vettore si trova nello spazio tridimensionale, è necessario un altro componente, in modo che:

v = X, v_E, v_z>

Conoscendo i componenti rettangolari, viene calcolata l'entità del vettore, equivalente a trovare l'ipotenusa del triangolo destro le cui gambe sono v_X E v_E,. Attraverso il teorema di Pitagora segue questo:

|v|² = (v_X)² +  (v_E)²

Forma polare di un vettore

Quando è nota la grandezza vettoriale |v| E l'angolo θ che questa forma con l'asse di riferimento, di solito l'asse orizzontale, il vettore è ugualmente specificato. Si dice quindi che il vettore sia espresso in forma polare.

I componenti rettangolari in questo caso sono facilmente calcolati:

v_X = |v|.cos θ

v_E = |v|.sin θ

Secondo quanto sopra, i componenti rettangolari del vettore di velocità v dell'aereo sarebbe:

v_X = 850 . cos 45º km/h = 601.04 km/h

v_E = 850 . Sen 45º km/h = 601.04 km/h

Ragazzi

Esistono vari tipi di vettori. Ci sono vettori venati, posizione, spostamento, forza, campo elettrico, quantità di movimento e molti altri. Come abbiamo già detto, in fisica ci sono molte magnitudini vettoriali.

Per quanto riguarda i vettori che hanno determinate caratteristiche, possiamo menzionare i seguenti tipi di vettori:

-Nullo: Questi sono vettori la cui grandezza è 0 e che sono indicati come 0. Ricorda che la lettera audace simboleggia le tre caratteristiche fondamentali di un vettore, mentre la lettera normale rappresenta solo al modulo.

Ad esempio su un corpo in equilibrio statico, la somma delle forze deve essere un vettore nullo.

-Gratuito e collegato: Vettori liberi sono quelli i cui punti di origine e arrivo sono qualsiasi coppia di punti del piano o dello spazio, a differenza dei vettori collegati, la cui origine coincide con quella del sistema di riferimento utilizzato per descriverli.

La coppia o il momento prodotto da un paio di forze è un buon esempio di vettore libero, poiché la coppia non si applica a un punto particolare.

-Attrezzatura: Sono due vettori liberi che condividono caratteristiche identiche. Pertanto hanno la stessa grandezza, direzione e significato.

-Coplanares o Coplanarios: vettori che appartengono allo stesso piano.

-Opposti: vettori con uguale magnitudine e direzione, ma sensi opposti. Il vettore contrario a un vettore v È il vettore -v E la somma di entrambi è il vettore nullo: v + (-v) = 0.

-Simultaneo: vettori le cui linee d'azione passano tutti attraverso lo stesso punto.

-Diapositiva: sono quei vettori il cui punto di applicazione può scivolare lungo una linea particolare.

-Colinea: Vettori che si trovano sulla stessa linea.

-Unità: Quei vettori il cui modulo è 1.

Vettori dell'unità ortogonale

Esiste un tipo di vettore molto utile in fisica chiamata vettore dell'unità ortogonale. Il vettore dell'unità ortogonale ha un modulo uguale a 1 e le unità possono essere, ad esempio quelle di velocità, posizione, resistenza o altro.

C'è una serie di vettori speciali che aiutano a rappresentare facilmente altri vettori ed eseguire operazioni con loro: sono i vettori dell'unità ortogonale Yo, J E K, Uniteri e perpendicolari l'uno all'altro.

In due dimensioni, questi vettori sono diretti in tutto il senso positivo di entrambi gli asse X A partire dall'asse E. E in tre dimensioni viene aggiunto un vettore unitario nella direzione dell'asse z positivo. Sono rappresentati come segue:

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Yo =

J =

K =

Un vettore può essere rappresentato dai vettori dell'unità Yo, J E K come segue:

v = v_X Yo + v_E J + v_z K

Ad esempio il vettore di velocità v Dagli esempi precedenti puoi scrivere come:

v = 601.04 Yo + 601.04 J km/h

Il componente in K Non è necessario, poiché questo vettore è sul piano.

Somma dei vettori

La somma dei vettori appare molto frequentemente in varie situazioni, ad esempio quando si desidera trovare la forza risultante su un oggetto che è influenzato da varie forze. Per iniziare supponiamo di avere due vettori gratuiti O E v sul piano, come segue la sinistra:

Figura 4. Somma grafica di due vettori. Fonte: Wikimedia Commons. Lluc Cabanach [CC BY-SA 3.0 (https: // creativeCommons.Org/licenze/by-sa/3.0)].

Si sposta immediatamente nel vettore v, senza modificarne la grandezza, la direzione o il significato, in modo che origina coincide con la fine di O.

Il vettore di somma si chiama W ed è disegnato a partire da U che finisce v, Secondo la figura giusta. È importante notare che l'entità del vettore W Non è necessariamente la somma delle magnitudini di v E O.

Se si riflette attentamente in questo senso, l'unica occasione in cui la grandezza del vettore risultante è la somma delle magnitudini degli aggiunti, è quando entrambi i tossicodipendenti sono nella stessa direzione e hanno lo stesso significato.

E cosa succede se i vettori non sono gratuiti? È anche molto facile aggiungerli. Il modo di fare è l'aggiunta del componente componente o il metodo analitico.

Ad esempio, consideriamo i vettori della figura seguente, la prima cosa è esprimerli da una delle forme cartesiane precedentemente spiegate:

Figura 5. Somma di due vettori collegati. Fonte: Wikimedia Commons.

v =

O =

Per ottenere il componente in X del vettore aggiunge W, I rispettivi componenti vengono aggiunti X Di v E O: W_X = 5+2 = 7. E per ottenere W_E Viene seguita una procedura analoga: W_E = 1+3. Perciò:

O =

Proprietà della somma dei vettori

-La somma di due o più vettori si traduce in un altro vettore.

-È commutativo, l'ordine delle aggiunte non altera la somma, quindi:

O + v = v + O

-L'elemento neutro della somma dei vettori è il vettore nullo: v + 0 = v

-La sottrazione di due vettori è definita come la somma del contrario: v - u = v + (-O)

Esempi di vettori

Come abbiamo detto, ci sono numerose quantità vettoriali in fisica. Tra i più noti ci sono:

-Posizione

-Dislocamento

-Velocità media e velocità istantanea

-Accelerazione

-Forza

-Quantità di movimento

-Coppia o momento di forza

-Impulso

-campo elettrico

-Campo magnetico

-Momento magnetico

D'altra parte non sono vettori ma arrampicati:

-Tempo

-Massa

-Temperatura

-Volume

-Densità

-Lavoro meccanico

-Energia

-Calore

-Energia

-Voltaggio

-Corrente elettrica

Altre operazioni tra vettori

Oltre alla somma e alla sottrazione dei vettori, ci sono altre tre operazioni tra vettori molto importanti, perché danno origine a nuove magnitudini fisiche molto importanti:

-Prodotto di uno scalare per un vettore.

-Il prodotto scalare o il prodotto punto tra i vettori

-E il prodotto croce o vettoriale tra due vettori.

Prodotto di uno scalare per un vettore

Considera la seconda legge di Newton, che afferma quella forza F e accelerazione A Sono proporzionali. La costante di proporzionalità è la massa M dell'oggetto, quindi:

F = m.A

L'impasto è uno scalare; Da parte sua, la forza e l'accelerazione sono vettori. Poiché la forza è ottenuta moltiplicando la massa per accelerazione, è il risultato del prodotto di uno scalare da parte di un vettore.

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Questo tipo di prodotto si traduce sempre in un vettore. Qui un altro esempio: la quantità di movimento. Essere P La quantità di movimento vettoriale, v Il vettore di velocità e come sempre, M è la massa:

P = m.v

Prodotto scalare o prodotto punto tra vettori

Abbiamo inserito un lavoro meccanico nell'elenco delle magnitudini che non sono vettori. Tuttavia, il lavoro in fisica è il risultato di un'operazione tra vettori chiamato prodotto scalare, prodotto interno o prodotto punto.

Essere i vettori v E O, Il prodotto punto o arrampicata è definito tra di loro:

v∙O = |v| ∙ |O |.cos θ

Essendo θ l'angolo tra loro. Dall'equazione mostrata viene immediatamente dedotto che il risultato del prodotto punto è uno scalare e anche che se entrambi i vettori sono perpendicolari, il loro prodotto scalare è 0.

Torna al lavoro meccanico W, Questo è il prodotto scalare tra il vettore di resistenza F e lo spostamento del vettore ℓ.

W = F∙ℓ                  

Quando i vettori sono disponibili in termini di componenti, il prodotto punto è anche molto semplice da calcolare. Sì v = X, v_E, v_z > E O = X, O_E, O_z >, Il prodotto punto tra i due è:

v∙O = v_X O_X + v_E O_E + v_z O_z

Il prodotto punto tra i vettori è commutativo, quindi:

v∙O = O∙v

Prodotto incrociato o prodotto vettoriale tra i vettori

Sì v e u sono i nostri due vettori di esempio, il prodotto vettoriale è definito come:

v X O = W

Ne consegue immediatamente che il prodotto incrociato si traduce in un vettore, il cui modulo è definito come:

|v X u | = | V | . | u |. sin θ

Dove θ È l'angolo tra i vettori.

Il prodotto incrociato non è commutativo, quindi v X u ≠ u X v. Infatti v X U = - (u X V).

Se i due vettori di esempio sono espressi in termini di vettori unitari, il calcolo del prodotto vettoriale viene facilitato:

v = v_X Yo + v_E J + v_z K

O = u_X Yo + O_E J + O_z K

Prodotti incrociati tra i vettori dell'unità

Il prodotto incrociato tra vettori dell'unità identici è nullo, poiché l'angolo tra loro è 0º. Ma tra i diversi vettori dell'unità, l'angolo tra loro è 90º e SIN 90º = 1.

Il seguente schema aiuta a trovare questi prodotti. Nella direzione della freccia ha un senso positivo e nella direzione opposta:

Yo X J = k, j X K = Yo; K X Yo = J; J X i = -k; K X J = -Yo; Yo X K = -J

Applicazione di proprietà distributive, che rimane valida per i prodotti tra i vettori più le proprietà dei vettori unitari, hai:

v X O = (v_X Yo + v_E J + v_z K) X (u_X Yo + O_E J + O_z K) =  

= (v_EO_z - v_zO_E )Yo + (v_zO_X - v_XO_z )J + (v_XO_E - v_EO_X )K

Esercizi risolti

- Esercizio 1

Dati i vettori:

v = -5 Yo + 4J + 1 K

O = 2 Yo -3 J + 7K

Quello che dovrebbe essere il vettore W in modo che la somma v + O + W Risultati 6 Yo +8 J -10K?

Soluzione

-5 Yo + 4J + 1 K

2 Yo -3 J + 7K

 W_X Yo + W_E J + W_z K  +

--

6Yo + 8 J -10 K

Pertanto deve essere soddisfatto che:

-5 +2 + W_X = 6 → W_X = 9

4-3 + w_E = 8 → W_E = 7

1 + 7 + W_z = -10 → W_z = -18

La risposta è: W = 9 Yo +7 J - 18K

- Esercizio 2

Qual è l'angolo tra i vettori v E O dell'esercizio 1?

Soluzione

Useremo il prodotto scalare. Abbiamo:

cos θ = v∙O / |v| ∙ |O|

v∙O= -10 -12+7 = -15

|v| = √ (-5)² +4² +1²= √42 = 6.48

|O| = √2² +(-3)² +7²= √62 = 7.87

Sostituire questi valori:

cos θ = -15 / 6.48 x 7.87 = -0.2941 → θ = 107.1 °

Riferimenti

1. Figueroa, d. (2005). Serie: Physics for Science and Engineering. Volume 1. Cinematica. A cura di Douglas Figueroa (USB).
2. Giancoli, d.  2006. Fisica: principi con applicazioni. 6 °. Ed Prentice Hall.
3. Rex, a. 2011. Fondamenti di fisica. Pearson.
4. Sears, Zemansky. 2016. Fisica universitaria con fisica moderna. 14 °. Ed. Volume 1.
5. Serway, r., Jewett, J. 2008. Fisica per la scienza e l'ingegneria. Volume 1. 7 °. Ed. Apprendimento del Cengage.