Variabile casuale continua

Spieghiamo cosa sono una variabile casuale continua, le sue caratteristiche, esempi e un esercizio risolto

Cos'è una variabile casuale continua?

UN Variabile casuale continua È un valore numerico ottenuto a caso, il che deriva dal fare un esperimento e può prendere valori infiniti. Ciò significa che, noti due valori consecutivi della variabile, è sempre possibile trovare un altro valore intermedio tra loro.

Avendo una quantità infinita di valori, la raccolta di valori variabili continui non è contabile e quasi sempre appartiene all'insieme di numeri reali.

Esempi di questo tipo di variabili sono la statura, il peso e la temperatura corporea di una persona, ma si possono definire innumerevoli di essi, si trovano diversi esempi. Contrariamente alla variabile casuale continua, esiste la discreta variabile casuale, che è contabile, come il numero di figlie in una famiglia o quante auto vende un'agenzia dopo un mese.

Le variabili casuali discrete seguono spesso la normale distribuzione di probabilità. Fonte: f. Zapata.

Una variabile casuale continua è indicata per mezzo di una lettera maiuscola come la X e i valori infiniti che la variabile prende sono i possibili risultati dell'esperimento casuale:

X = x₁, X₂, X₃,… ∞

Ogni valore ha una certa probabilità di occorrenza e al modello con cui viene calcolata questa probabilità, viene chiamata distribuzione di probabilità.

Ma, poiché X prende valori infiniti, la probabilità per valori specifici della variabile non può essere calcolata. Quindi, è necessario definire una funzione f (x), chiamata funzione di distribuzione accumulata, o semplicemente funzione di distribuzione, in base alla quale la probabilità accumulata viene calcolata a un determinato valore o tra due valori:

Dove f (u) ricevere il nome di funzione di densità. Definito in questo modo, F (x) rappresenta la probabilità che X è tra -∞ e X.

Caratteristiche di una variabile casuale continua

Le variabili casuali continue sono complete F (x).

La funzione di densità F (x) deve soddisfare le seguenti proprietà:

• La funzione F (x) È positivo: f (x)> = 0
• L'area sotto la curva y = f (x) È sempre uguale a 1, vale a dire che la probabilità di occorrenza di alcuni risultati X Nell'intervallo (-∞, +∞) è al 100%.
• La probabilità che x sia nell'intervallo [a, b] è calcolata dal seguente integrale definito:

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Che è equivalente all'area sotto la curva y = f (x), compreso tra A E B. Oltretutto:

I valori di F (x) Non rappresentano una probabilità, quindi P [x = c] = 0. I valori pertinenti sono quelli corrispondenti all'area sotto la curva y = f (x), che rappresentano una probabilità.

• Derivando la funzione di distribuzione F (x) riguardo a X, è ottenuto F (x).

Il grafico di F (x) Per una variabile casuale continua, è analogo al poligono di frequenza che è costruito per una variabile statistica discreta, con la differenza che, per la variabile casuale, la larghezza dell'intervallo diventa infinitesimale.

Speranza

La speranza è una delle misure caratteristiche di una variabile continua. La speranza o il valore atteso di X Indica il valore che si prevede che si verifichi più frequentemente e viene calcolato attraverso il seguente integrale:

Le sue proprietà sono:

• E [a∙ x] = a∙ e [x]
• E [x + y] = e [x] + e [y]]
• E [a∙ x+b∙ y] = a∙ e [x] + b∙ e [y]

Dove gli importi A E B Sono numeri reali.

Esempi

Come precedentemente indicato, ci sono molte situazioni in cui è possibile definire una o più variabili casuali continue. Nella scienza e in altre aree, i più comuni sono di tempo, lunghezza, peso, volume e temperatura:

Tempo

Al fine di ottimizzare i processi e i servizi, sono progettati esperimenti che studiano il tempo che impiegano per essere eseguiti:

X = tempo che porta un cliente alla finestra della banca.

Y = cosa prende un fast food nel servire un ordine.

Z = tempo in cui si verifica una certa reazione chimica.

Stature e pesi

In molti studi su persone e animali, stature e pesi sono rilevanti:

X = altezza delle ragazze in un sesto corso. Laurea in ogni scuola in una città.

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Y = peso dei bambini alla nascita in un ospedale pubblico.

Z = il peso delle mucche in una fattoria.

Temperature

La temperatura è un parametro rilevante in numerosi processi chimici, che di solito assume valori infiniti in un determinato intervallo:

X = temperatura alla quale si verifica una certa reazione chimica, sapendo che ciò si verifica tra 80 ºC e 120 ºC.

Esercizi risolti

Esercizio 1

Determina quali sono le variabili casuali continue:

1. Il numero di studenti che frequentano il caffè dell'università oggi.
2. Pressione sanguigna dei pazienti che vengono al pronto soccorso.
3. Lunghezza delle ali degli uccelli, di una specie in via di estinzione, che abitano una riserva.
4. Il tempo tra una persona e un'altra è trattato in una banca.
5. Importo di prodotti difettosi al mese in una fabbrica.
6. Livelli di colesterolo nei polli di una fattoria.
7. Quantità di lampioni in una strada, di un totale di 12.

Soluzione

1.- Il numero di studenti assistiti al giorno è intorpidito, quindi questa variabile non è continua, ma discreta.

2.- È continuo. La pressione sanguigna dei pazienti può assumere qualsiasi valore in un determinato intervallo.

3.- Variabile continua, poiché la lunghezza dell'ala di un uccello prende qualsiasi valore tra un minimo e un massimo, a seconda della specie.

4.- Il tempo tra il servizio clienti è variabile e può assumere qualsiasi valore in un determinato intervallo, ad esempio tra 1 e 5 minuti.

5.- Poiché il numero di prodotti difettosi è contabile, è una variabile casuale discreta.

6.- Questa variabile è continua, poiché il livello di colesterolo nei polli prende valore in un intervallo precedentemente determinato.

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7.- Discreto. Il numero di luci di illuminazione che funzionano è una quantità contabile.

Esercizio 2

La variabile casuale continua è definita X = "Livello di colesterolo " In una certa varietà di polli di una fattoria, che ha la seguente funzione di densità F (x):

Calcola quanto segue:

1. F (x)
2. P [x ≤2]
3. La speranza EX]

Soluzione a

Secondo la definizione fornita all'inizio:

Perciò, F (x) È una funzione in parti. Per l'intervallo X<0, F (x) È uguale a 0, per le proprietà dichiarate all'inizio.

Nell'intervallo 0≤X≤2, L'integrale indefinito è risolto:

Finalmente, per l'intervallo X> 2, F (x) = 1, Secondo le proprietà, quindi, F (x) Rimane così:

Soluzione b

La probabilità ricercata è F (1.2) e COmo x = 1.2 Si trova tra 0≤X≤2, quella parte di F (x) Valutare:

F (1.2) = ¼ ∙ (1.2)² = 0.36.

Soluzione c

Per calcolare la speranza o il valore atteso, viene utilizzato: