Trinomiale

Un trinomio è un polinomio con tre termini. Fonte: f. Zapata.

Cos'è un trinomiale?

Un trinomio è un polinomio che consiste nella somma indicata di tre diversi termini, ovvero è costruito algebrico algebrico tre monomiali di diversi gradi, uno o più variabili. Sono polinomi molto comuni in algebra.

Alcuni esempi di trinomiali sono i seguenti:

• X² + 5x - 3 (Grado 2)
• x- x² - 6x³  (Trinomiale di grado 3)
• -7xy² + 4x²y - x³ (Trinomiale di grado 3, grado 3 in x e grado 2 in y)

Il primo e il secondo di questi trinomiali sono di una singola variabile, in questo caso la variabile "x", mentre il terzo trinomiale è due variabili "x" e "y".

Esempi di trinomiali

Esistono diversi tipi di trinomiali presentati in numerose applicazioni, tra cui:

Trinomiale quadrato perfetto

Un trinomiale quadrato perfetto si ottiene quando si sviluppa il quadrato di una somma o il quadrato di una differenza in termini. Entrambi gli sviluppi sono noti come prodotti notevoli.

Prima di tutto hai il quadrato della somma: (a + b)². Quando si sviluppa questa espressione si ottiene:

(A + B)² = (a + b) × (a + b) = a² + A ∙ b + b ∙ a + b²

I due termini centrali sono identici e sono ridotti a 2A ∙ B, quindi:

(A + B)² = a² + 2a ∙ b + b²

Il trinomiale a² + 2a ∙ b + b² contiene due quadrati perfetti: a² e B², Mentre il termine rimanente è uguale al doppio prodotto dei due termini del binomiale originale.

Il quadrato di una differenza è un trinomiale simile a quello precedente, ad eccezione di un segno negativo che colpisce il doppio prodotto dei termini del binomiale originale:

(A - b)² = (a - b) × (a - b) = a² - A ∙ B - B ∙ A + B²

Ancora una volta i termini simili sono ridotti a un singolo termine e si ottiene che:

Può servirti: moivre teorema

(A - b)² = a² - 2A ∙ B + B²

Non è più possibile ridurre il risultato.

Questi prodotti notevoli, facilmente memorizzabili, associano un trinomiale quadrato perfetto al quadrato del binomiale corrispondente, ad esempio:

• (x - 5)² = x² - 10 ∙ x + 25
• (2y + 3)² = 4y² + 12 ∙ y + 9

Va notato che non tutti i trinomiali quadrati perfetti sono una variabile o di grado 2. Ecco esempi di questo tipo di trinomiali con due e più variabili e anche con diversi gradi di 2:

• (x + y)² = x² + 2 ∙ xy + e²
• (2Z² + E)² = 4Z⁴ + 4 ∙ z²e + e²
• (5xy³ - Z)² = 25x²E⁶ - 10 XY³z + z²

Trinomiale della forma x² + BX + C

In questo trinomio solo uno dei termini è perfetto quadrato, in questo caso è x² e il suo coefficiente numerico è 1. Il seguente termine B⋅x è lineare e l'ultimo termine è il termine indipendente. Esempi di questo tipo di trinomiali sono:

• X² +  5 ∙ x + 6 (b = 5; c = 6)
• E² - 4 ∙ y + 3 (b = −4; c = 3)
• M² - 12 ∙ m + 11 (b = −12; c = 11)

Trinomiale della forma dell'ascia² + BX + C

Assomiglia a quelli precedenti, tranne per il fatto che il coefficiente del termine quadratico è diverso da 1, come in questi trinomiali:

• 3x² - 5 ∙ x - 2 (a = 3; b = −5; c = −2)
• 6y² +  7 ∙ y + 2 (a = 6; b = 7; c = 2)
• 2m² + 29 ∙ m + 90 (a = 2; b = 29; c = 90)

Fattorizzazione trinomiale

Un'operazione algebrica molto frequente è la fattorizzazione trinomiale, che consiste nel scriverli come prodotto di diversi fattori di 1. Esistono procedure specifiche per ciascuno dei trinomiali descritti.

Fattorizzazione trinomiale quadrata perfetta

Possono essere fattorizzati per ispezione da prodotti notevoli:

(A + B)² = a² + 2a ∙ b + b²

(A - b)² = a² - 2A ∙ B + B²

I passaggi per considerare un trinomiale quadrato perfetto sono:

1.- Verificare che il trinomiale contenga due quadrati perfetti² e B², Entrambi i termini devono essere preceduti dallo stesso segno, di solito il segno +. Se entrambi sono preceduti dal segno, questo può essere un fattore senza problemi.

Può servirti: trinomiale quadrato perfetto

2.- Determinare i valori di A e B estraendo la radice quadrata di a² e B².

3.- Confermare che il terzo termine è il doppio prodotto di A e B.

Fattorizzazione trinomiale della forma x² + BX + C

Questo è il trinomiale con un termine quadratico unico, per fatto in modo che sia scritto come il prodotto binomiale:

X² + Bx + c = (x + r) ∙ (x + s)

Dove r e s sono due numeri da determinare.

Si noti che quando si sviluppa il lato destro, attraverso la proprietà distributiva, si ottiene:

(x + r) ∙ (x + s) = x² + S ∙ x + r ∙ x + r ∙ s = x² + (R + s) ∙ x + r ∙ s

Quindi, in modo che questa espressione rifletta il trinomiale originale, i numeri U e V devono soddisfare le seguenti condizioni:

R ∙ s = c
R + s = b

Alcuni trinomiali della forma X² + BX + C non ammette la fattorizzazione con questo metodo, tuttavia possono essere fattori con l'aiuto della formula generale o della formula del solvente.

Fattorizzazione trinomiale della forma dell'ascia² + BX + C

Una procedura per considerare questo tipo di trinomiali è:

1. Moltiplicare e dividere il trinomiale per il coefficiente "A"
2. Crea il prodotto tra "A" e il primo e il terzo mandato del trinomiale, lasciando il prodotto senza fare il secondo mandato.
3. La procedura descritta nella sezione precedente è applicata al trinomiale, cioè è scritta come il prodotto di due binomiali, ma in questo caso il primo termine di ciascun binomiale non è "x", ma "a ∙ x".
4. Si cercano due N numeri R e S che A ∙ C = R ∙ S e anche R + S = B
5. Infine, i binomiali che sono, vedere l'esercizio risolto 3 sono semplificati il ​​più possibile.

Esercizi risolti

Esercizio 1

Trova il trinomio che risulta durante lo sviluppo del seguente notevole prodotto: (4x - 3y)²

• Soluzione

Viene applicata la formula di prodotto notevole per il quadrato di una differenza, risultando:

Può servirti: coordinate rettangolari: esempi ed esercizi risolti

(4x - 3y)² = (4x)² - 2 ∙ 4x ∙ 3y + (3y)² = 16x² - 24 ∙ xy + 9y²

Esercizio 2

Fatto il seguente trinomiale:

X² +  5x + 6

• Soluzione

Questo è un trinomiale della forma X² + Bx + c, con b = 5 e c = 6, quindi puoi provare a tener conto della procedura sopra descritta. Per fare ciò devi trovare due numeri R e S che moltiplicati sono ottenuti 6 e aggiunti in 5:

R ∙ s = 6 e r + s = 5.

I numeri richiesti sono r = 3 e s = 2, poiché soddisfano queste condizioni, quindi:

X² +  5x + 6 = (x + 3) (x + 2)

Viene lasciato come esercizio per il lettore per verificare che lo sviluppo del lato destro sia facilmente raggiungibile al trinomio originale.

Esercizio 3

Fattore 3X² - 5x - 2.

• Soluzione

Questo è un trinomiale della forma dell'ascia² + bx + c, con a = 3, b = −5 e c = −2. Il processo è:

-Moltiplicare e dividere per a = 3:

Crea il prodotto di "A" per il primo e il terzo mandato, lasciando il prodotto indicato con il secondo mandato:

Ora devi scrivere il prodotto binomiale, il cui primo mandato è 3x e cercare due numeri R e S in modo tale che:

• Se moltiplicato in −6
• E quando aggiunto algebrico si ottiene −5

Questi numeri sono r = −6 e s = 1:

Infine, il prodotto binomiale risultante è semplificato:

Esercizi proposti

Fattori i seguenti trinomiali: ²

1. x² - 14x + 49
2. P² + 12pq + 36q²
3. 12x² - x - 6
4. Z² + 6Z + 8

Riferimenti

1. Baldor. 1977. Algebra elementare. Edizioni culturali venezuelane.
2. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
3. Stewart, J. 2006. Prececculment: matematica per il calcolo. 5 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.
4. Zill, d. 1984. Algebra e trigonometria. 1 °. Edizione. McGraw Hill.
5. Zill, d. 2008. Prececculment con i progressi di calcolo. 4 °. Edizione. McGraw Hill.