Teorema fondamentale della dimostrazione aritmetica, applicazioni, esercizi

Lui Il teorema fondamentale dell'aritmetica Afferma che qualsiasi numero naturale maggiore di 1 può essere suddiviso come prodotto di numeri primi - che tiene un po ' - e questa forma è unica per quel numero, sebbene l'ordine dei fattori possa essere diverso.

Ricorda che un numero primo P È quello che ammette solo come divisori positivi e 1. I seguenti numeri sono cugini: 2, 3, 5, 7, 11, 13 e così via, poiché ci sono infiniti. Il numero 1 non è considerato cugino, per avere un singolo divisore.

Figura 1. Euclides (a sinistra) ha dimostrato il teorema fondamentale dell'aritmetica nei suoi elementi del libro (350 a.C.) E la prima dimostrazione completa è dovuta a Carl F. Gauss (1777-1855) (a destra). Fonte: Wikimedia Commons.

Da parte loro, i numeri che non incontrano quanto sopra sono chiamati numeri composti, Come 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 ... Prendiamo il numero 10 per esempio e immediatamente vediamo che può essere suddiviso come un prodotto di 2 e 5:

10 = 2 × 5

Sia 2 che 5 sono, in effetti, numeri primi. Il teorema afferma che ciò è possibile per qualsiasi numero N:

Dove p₁, P₂, P₃… P_R Sono numeri primi e k₁, K₂, K₃,... K_R Sono numeri naturali. In modo che i numeri primi si comportano come mattoni da cui, per moltiplicazione, vengono costruiti numeri naturali.

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Dimostrazione del teorema fondamentale dell'aritmetica

Inizia a dimostrare che ogni numero può decomporsi in fattori primi. Essere un numero naturale n> 1, cugino o composto.

Ad esempio se n = 2, può essere espresso come: 2 = 1 × 2, che è cugino. Allo stesso modo procediamo con i seguenti numeri:

3 = 1 × 3

4 = 2 × 2

5 = 1 × 5

6 = 2 × 3

7 = 1 × 7

8 = 2 × 2 × 2

Continuiamo così, decomponendo tutti i numeri naturali fino a raggiungere il numero n -1. Vediamo se possiamo farlo con il numero che segue: n.

Se n è cugino, possiamo decomporsi come n = 1 × n, ma supponiamo che n sia composto e abbia un divisore d, logicamente inferiore a n:

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1< d < n.

Sì N/D = P₁, con p₁ Un numero primo, quindi N è scritto come:

n = p₁.D

Se D è cugino non c'è altro da fare, ma se non lo è, c'è un numero n₂ che è un divisore di d e meno di questo: n₂ < d, por lo que d podrá escribirse como el producto de n₂ Per un altro cugino numero p₂:

d = p₂ N₂

Che sostituendo nel numero originale n darebbe:

n = p₁ .P₂ .N₂

Supponiamo ora n₂ Né è un numero primo e lo scriviamo come prodotto di un numero primo p₃, per un suo divisore₃, tale che n₃ < n₂ < n₁ < n:

N₂ = p₃.N₃ → n = p₁ P₂ P₃.N₃

 Ripetiamo questa procedura un numero finito di volte fino a quando non si ottiene:

n = p₁.P₂.P₃ … P_R

Ciò significa che è possibile decomporre tutti i numeri interi da 2 al numero N, come prodotto di numeri primi.

Unicità della decomposizione nei fattori primi

Verifichiamo ora che, tranne per l'ordine dei fattori, questa decomposizione è unica. Supponiamo di poter scrivere in due modi:

n = p₁.P₂.P₃ … P_R = Q_1.Q₂.Q₃… Q_S  (con r ≤ s)

Ovviamente Q₁, Q₂, Q₃... Sono anche numeri primi. Come p₁ Dividi a (Q_1.Q₂.Q₃… Q_S) Quindi p₁ È uguale a una qualsiasi "q", non importa Che, così possiamo dire che p₁ = Q₁. Dividiamo n tra P₁ E otteniamo:

P₂.P₃ … P_R =_.Q₂.Q₃… Q_S

Ripetiamo la procedura per dividere tutto tra P_R, Quindi otteniamo:

1 = Q_R+1… Q_S

Ma non è possibile arrivare a Q_R+1… Q_S = 1 quando R < s, solo si r = s. Aunque al admitir que r = s, también se admite que los “p” y los “q” son los mismos. Por lo tanto la descomposición es única.

Applicazioni

Come abbiamo detto prima, i numeri primi rappresentano se vuoi, gli atomi dei numeri, i loro componenti di base. Quindi il teorema fondamentale dell'aritmetica ha numerose applicazioni, il più ovvio: possiamo lavorare più facilmente con grandi numeri se li esprimiamo come prodotto di numeri più piccoli.

Può servirti: numeri interi

Allo stesso modo possiamo trovare il massimo multiplo comune (M.C.M.) e il massimo divisore comune (m.C.D.), Una procedura che ci aiuta a rendere più facilmente somme di frazioni, trovare radici di grandi numeri o operare con radicali, razionalizzare e risolvere i problemi di applicazione di una natura molto diversificata.

Inoltre, i numeri primi sono estremamente enigmatici. Uno schema non è ancora riconosciuto in essi e non è possibile sapere quale sarà il seguente. Il più grande fino a quando i tempi sono stati trovati dai computer e ha 24.862.048 cifre, Anche se i nuovi numeri primi appaiono meno frequentemente ogni volta.

Numeri Primo in natura

Le Cicadas, Cycaked o Chicharas che vivono nel nord -est degli Stati Uniti emergono in 13 o 17 anni di cicli. Entrambi sono numeri primi.

In questo modo, Chicharas evitano in coincidenza con predatori o concorrenti che hanno altri periodi di nascita, né le varie varietà di Chicharra competono tra loro, poiché non coincidono nello stesso anno.

figura 2. La magica Cicada del Este degli Stati Uniti emerge ogni 13 o 17 anni. Fonte: pxfuel.

Numeri Primo e acquisti online

I numeri Primo vengono utilizzati in crittografia per mantenere i dettagli delle carte di credito quando acquisti acquisti online. In questo modo, i dati che l'acquirente arriva proprio al negozio senza perdersi o cadere in persone senza scrupoli.

COME? I dati delle schede sono codificati in un numero n che può essere espresso come prodotto dei numeri primi. Questi numeri primi sono la chiave che rivelano i dati, ma sono sconosciuti al pubblico, possono essere decodificati solo sul web a cui sono diretti.

Decomposizione di un numero in fattori è un compito facile se i numeri sono piccoli (vedendo gli esercizi risolti), ma in questo caso sono usati come numero chiave chiave di 100 cifre, che moltiplicandoli danno numeri molto più grandi, la cui decomposizione dettagliata implica un enorme lavoro.

Può servirti: stima puntuale

Esercizi risolti

- Esercizio 1

Decomporre 1029 in fattori primi.

Soluzione

1029 è divisibile per 3. È noto perché aggiungendo le cifre la somma è un multiplo di 3: 1+0+2+9 = 12. Poiché l'ordine dei fattori non altera il prodotto, possiamo iniziare qui:

1029 3

343

1029 = 3 × 343

D'altra parte 343 = 7³, COSÌ:

1029 = 3 × 7³ = 3 × 7 × 7 × 7

E poiché sia ​​3 che 7 sono numeri primi, questa è la decomposizione di 1029.

- Esercizio 2

Fattore trinomiale x² + 42x + 432.

Soluzione

Il trinomiale viene riscritto nella forma (x+a). (x+b) e dobbiamo trovare i valori di A e B, in modo che:

A+b = 42; A.B = 432

Il numero 432 si decompone in fattori primi e da lì viene scelto, da Tanteo, la combinazione appropriata per i fatti aggiunti a 42.

432 = 2⁴ × 3³ = 23³× 2³ = 2⁴× 3² × 3 =…

Da qui ci sono diverse possibilità di scrivere 432:

432 = 16 × 27 = 24 × 18 = 54 × 8 = 6 × 72… .

E tutto può essere trovato combinando prodotti tra i principali fattori, ma per risolvere l'esercizio proposto, l'unica combinazione adeguata è: 432 = 24 × 18 dal 24 + 18 = 42, quindi:

X² + 42x + 432 = (x + 24). (x +18)

Riferimenti

1. Baldor, a. 1986. Aritmetica teorica pratica. Editor Cultural Company of American Texts s.A.
2. BBC World. Il codice nascosto della natura. Estratto da: BBC.com.
3. Da Leon, Manuel.Numeri Primo: Guardiani Internet. Recuperati da: blog.20 minuti.È.
4. UNAM. Teoria dei numeri I: teorema fondamentale dell'aritmetica. Estratto da: Theoriadenumeros.Wikidot.com.
5. Wikipedia. Il teorema fondamentale dell'aritmetica. Recuperato da: è.Wikipedia.org.