Definizione, proprietà ed esempi di paraboloidi iperbolici

UN paraboloide iperbolico È una superficie la cui equazione generale nelle coordinate cartesiane (x, y, z) incontra la seguente equazione:

(per)² - (e B)² - Z = 0.

La denominazione "paraboloide" deriva dal fatto che la variabile z dipende dalle quadrati delle variabili xe y. Mentre l'aggettivo "iperbolico" è dovuto al fatto che l'equazione di un'iperbole ha valori fissi di z. La forma di questa superficie è simile a quella di una sedia a cavallo.

Figura 1. Paraboloide iperbolico z = x² - E². Fonte: f. Zapata attraverso Wolfram Mathematica.

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Descrizione del paraboloide iperbolico

Per comprendere la natura del paraboloide iperbolico, verrà fatta la seguente analisi:

1.- Il caso particolare sarà preso a = 1, b = 1, vale a dire che l'equazione cartesiana del paraboloide rimane come z = x² - E².

2.- Sono considerati piani paralleli al piano ZX, cioè y = cTe.

3.- Con y = cTe è z = x² - C, che rappresenta le parabole con i rami e il vertice sotto il piano XY.

figura 2. Famiglia di curve z = x² - C. Fonte: f. Zapata attraverso la geogebra.

4.- Con x = cTe è z = c - y², che rappresenta parabole con i rami verso il basso e il vertice sopra il piano XY.

Figura 3. Famiglia di curve z = c - e². Fonte: f. Zapata attraverso la geogebra.

5.- Con z = cTe è c = x² - E², che rappresentano iperboli nei piani paralleli al piano XY. Quando c = 0 ci sono due righe (A +45º e -45º rispetto all'asse X) che vengono intercettate all'origine sul piano XY.

Figura 4. Famiglia di curve x² - E² = C. Fonte: f. Zapata attraverso la geogebra ..

Proprietà del paraboloide iperbolico

1.- Quattro punti diversi nello spazio tridimensionale definiscono uno e solo un paraboloide iperbolico.

Può servirti: limitare le proprietà (con esempi)

2.- Il paraboloide iperbolico è un superficie doppiamente regolata. Ciò significa che nonostante sia una superficie curva, per ogni punto di un paraboloide iperbolico due linee diverse passano completamente al paraboloide iperbolico. L'altra superficie che non è un piano ed è doppiamente regolata è il Iperboloide di rivoluzione.

È proprio la seconda proprietà del paraboloide iperbolico che ha permesso un ampio uso in architettura poiché la superficie può essere generata da raggi o stringhe diritte.

La seconda proprietà del paraboloide iperbolico consente una definizione alternativa: È la superficie che può essere generata da una linea mobile dritta parallela a un piano fisso e taglia due linee fisse che fungono da guida. La figura seguente chiarisce questa definizione alternativa di paraboloide iperbolico:

Figura 5. Il paraboloide iperbolico è una superficie doppiamente regolata. Fonte: f. Zapata.

Esempi risolti

- Esempio 1

Dimostrare che l'equazione: Z = xy, corrisponde a un paraboloide iperbolico.

Soluzione

Verrà applicata una trasformazione nelle variabili X e Y corrispondenti a una rotazione degli assi cartesiani rispetto allo z di +45 asse. Le vecchie coordinate X e Y si trasformano in nuova X 'E e' secondo le seguenti relazioni:

x = x ' - y'

y = x ' + e'

Mentre la coordinata Z rimane la stessa, questo è z = z.

Sostituendo nell'equazione z = x e abbiamo:

z '= (x' - y ') (x' + y ')

Quando si applicano il prodotto notevole della differenza con la somma pari alla differenza di quadrati, è:

Z '= x'² - E'²

che corrisponde chiaramente alla definizione inizialmente data da paraboloide iperbolico.

L'intercettazione dei piani parallela all'asse XY con il paraboloide iperbolico z = x e determinare iperbole equilaterali che hanno asintoti i piani x = 0 e y =.

Può servirti: mileto tale teorema

- Esempio 2

Determina i parametri A E B del paraboloide iperbolico che passa attraverso i punti A (0, 0, 0); B (1, 1, 5/9); C (-2, 1, 32/9) e D (2, -1, 32/9).

Soluzione

Secondo le sue proprietà, quattro punti nello spazio tridimensionale determinano un singolo paraboloide iperbolico. L'equazione generale è:

Z = (x/a)² - (e B)²

Sostituiamo i valori dati:

Per il punto A hai 0 = (0/A)² - (0/b)², equazione che è soddisfatta qualunque sia i valori dei parametri a e b.

Si ottiene la sostituzione del punto B:

5/9 = 1/A² - 1 b²

Mentre per il punto C rimane:

32/9 = 4/a² - 1 b²

Infine, per il punto D si ottiene:

32/9 = 4/a² - 1 b²

Che è identico all'equazione precedente. In breve, il sistema di equazioni dovrebbe essere risolto:

5/9 = 1/A² - 1 b²

32/9 = 4/a² - 1 b²

Si ottiene sottraendo la seconda equazione del primo:

27/9 = 3/a² Il che implica questo² = 1.

Allo stesso modo, la seconda equazione del quadruplo del primo viene sottratta, ottenendo:

(32-20)/9 = 4/A² - 4/a² -1 b² + 4/b²

Questo è semplificato come:

12/9 = 3/b² ⇒ b² = 9/4.

In breve, il paraboloide iperbolico che attraversa i punti A, B, C e D ha un'equazione cartesiana data da:

Z = x² - (4/9) e²

- Esempio 3

Secondo le proprietà del paraboloide iperbolico, due linee che sono completamente contenute in esso passano per ogni punto. Per il caso z = x^2 - y^2 trova l'equazione delle due linee che passano attraverso il punto P (0, 1, -1) chiaramente appartenenti al paraboloide iperbolico, in modo tale che tutti i punti di queste linee appartengano anche al Stesso.

Soluzione

Usando il notevole prodotto della differenza nei quadrati, l'equazione del paraboloide iperbolico può essere scritta come segue:

Può servirti: quadrilatero: elementi, proprietà, classificazione, esempi

(x + y) (x - y) = c z (1/c)

Dove c è una costante non zero.

L'equazione x + y = c z ed equazione x - y = 1/c corrisponde a due piani con vettori normali N= y M=. Il prodotto vettoriale m x n = La direzione dell'intersezione di linea dei due piani ci dà. Quindi una delle linee che passa attraverso il punto P e appartiene al paraboloide iperbolico ha un'equazione parametrica:

= + t

Per determinare C sostituiamo il punto P nell'equazione x + y = c z, ottenendo:

C = -1

Allo stesso modo, ma considerando le equazioni (x - y = k z) e (x + y = 1/k) hai l'equazione parametrica della linea:

= + s con k = 1.

In breve, le due righe:

= + t y = + s

Sono completamente contenuti nel paraboloide iperbolico z = x² - E² attraversare il punto (0, 1, -1).

Come controllo supponiamo t = 1 cosa ci dà il punto (1,2, -3) sulla prima riga. Devi verificare se si trova anche sul paraboloide z = x² - E²:

-3 = 1² - 2² = 1 - 4 = -3

Che conferma che in effetti appartiene alla superficie del paraboloide iperbolico.

Il paraboloide iperbolico in architettura

Figura 6. Oceanografico di Valencia (Spagna).Fonte: Wikimedia Commons.

Il paraboloide iperbolico è stato usato in architettura dai grandi architetti d'avanguardia, tra cui i nomi dell'architetto spagnolo Antoni Gaudí (1852-1926) e in particolare gli spagnoli anche gli spagnoli Félix Candela (1910-1997) sono in modo molto particolarmente particolarmente.

Di seguito sono riportate alcune opere basate sul paraboloide iperbolico:

-Cappella della città di Cuernavaca (Messico) lavoro dell'architetto Félix Candela.

-L'Oceanografico di Valencia (Spagna), anche di Félix Candela.

Riferimenti

1. Enciclopedia della matematica. Superficie governata. Recuperato da: enciclopediaofmath.org
2. Llera Rubén. Paraboloide iperbolico. Recuperato da: Rubenllera.WordPress.com
3. Weisstein, Eric W. “Paraboloide iperbolico."Da MathWorld-A Wolfram Web Resource. Recuperato da: Mathworld.Wolfram.com
4. Wikipedia. Paraboloide. Recuperato da: in.Wikipedia.com
5. Wikipedia. Paraboloide. Recuperato da: è.Wikipedia.com
6. Wikipedia. Superficie governata. Recuperato da: in.Wikipedia.com