Teorema di Bolzano

Spieghiamo cos'è il teorema di Bolzano, le sue applicazioni e mettiamo gli esercizi risolti

Cos'è il teorema di Bolzano?

Lui Teorema di Bolzano Stabilisce che se una funzione è continua in tutti i punti di un intervallo chiuso [A, B] ed è soddisfatto che l'immagine di "A" e "B" (sotto la funzione) hanno segni opposti, allora ci sarà almeno Un punto "C" nell'intervallo aperto (a, b), in modo che la funzione valutata in "c" sia uguale a 0.

Questo teorema fu dichiarato dal filosofo, teologo e matematico Bernard Bolzano nel 1850. Questo scienziato, nato nell'attuale Repubblica Ceca, è stata una delle prime matematiche della storia a fare una dimostrazione formale delle proprietà delle funzioni continue.

Spiegazione del teorema

Il teorema di Bolzano è anche noto come teorema dei valori intermedi, che aiuta a determinare valori specifici, in particolare zeri, di alcune funzioni reali di una variabile reale.

In una data funzione f (x) continua -cioè che f (a) e f (b) sono collegati da una curva-, dove f (a) è inferiore all'asse x (è negativo) e f (b) Entro l'asse x (è positivo), o viceversa, ci sarà un punto di taglio sull'asse x che rappresenterà un valore intermedio "C", che sarà tra "A" e "B", e il valore di f (c) sarà uguale a 0.

Quando si analizza graficamente il teorema di Bolzano, si può sapere che per qualsiasi funzione F continua definita in un intervallo [a, b], dove f (a)_*F (b) è inferiore a 0, ci sarà almeno una "C" di radice di quella funzione all'interno dell'intervallo (a, b).

Questo teorema non stabilisce il numero di punti esistenti in quell'intervallo aperto, afferma solo che esiste almeno 1 punto.

Dimostrazione del teorema di Bolzano

Per dimostrare il teorema di Bolzano, si assume senza perdita di generalità che f (a) 0; In questo modo, potrebbero esserci molti valori tra "A" e "b" per i quali f (x) = 0, ma è necessario solo dimostrare che ce n'è uno.

Può servirti: numeri immaginari: proprietà, applicazioni, esempi

Inizia a valutare F nel punto medio (A+B)/2. Se f ((a+b)/2) = 0, allora il test termina qui; Altrimenti, quindi f ((a+b)/2) è positivo o negativo.

È scelta una delle metà dell'intervallo [a, b], in modo tale che i segni della funzione valutati alle estremità siano diversi. Questo nuovo intervallo sarà [A1, B1].

Ora, se F valutato nel punto medio di [A1, B1] non è zero, allora viene eseguita la stessa operazione; Cioè, viene scelta la metà di questo intervallo che soddisfa la condizione dei segni. Sii questo nuovo intervallo [A2, B2].

Se questo processo continua, ci saranno due successioni an e bn, tale che:

an è in crescita e bn sta diminuendo:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ .. . ≤ .. . ≤ bn ≤ .. . ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Se viene calcolata la lunghezza di ogni intervallo [AI, BI], dovrai:

B1-A1 = (B-A)/2.

B2-A2 = (B-A)/2².

.. .

bn-an = (b-a)/2^n.

Pertanto, il limite quando n tende all'infinito di (bn-an) è uguale a 0.

Usando che an è in crescita e limitato e bn è in calo e limitato, c'è un valore "c" tale che:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ .. .≤ c ≤ .. . ≤ bn ≤ .. . ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Il limite LIM è "C" e il limite di bn è anche "c". Pertanto, dato qualsiasi Δ> 0, esiste sempre una "n" tale che l'intervallo [an, bn] sia contenuto all'interno dell'intervallo (c-Δ, c+Δ).

Ora, si deve mostrare che f (c) = 0.

Se f (c)> 0, poiché f è continuo, esiste un ε> 0 tale che f è positivo durante l'intervallo (c -ε, c+ε). Tuttavia, come indicato sopra, esiste un valore "n" in modo tale che le modifiche F firmano in [an, bn] e, inoltre, [an, bn] è contenuto all'interno (c -ε, c+ε), che cos'è cos'è una contraddizione.

Se f (c) 0 tale che f è negativo durante l'intervallo (c -ε, c+ε); Ma c'è un valore "n" che F cambia Accesso in [an, bn]. Si scopre che [an, bn] è contenuto all'interno (c -ε, c+ε), che è anche una contraddizione.

Può servirti: segni di raggruppamento

Pertanto, f (c) = 0 e questo è ciò che voleva essere dimostrato.

A cosa serve il teorema di Bolzano?

Dalla sua interpretazione grafica, il teorema di Bolzano viene utilizzato per trovare radici o zeri in una funzione continua, attraverso la bisotta (approccio), che è un metodo di ricerca incrementale che divide sempre gli intervalli in 2.

Pertanto, se la funzione cambia firma su un intervallo, la funzione F viene valutata nel punto medio, che è espressa come segue:La radice si trova quando f (c) = 0. In caso contrario, il segno di f (c) viene analizzato per determinare se si oppone al segno di f (a) o quello di f (b).

Quindi viene preso un intervallo [a, c] o [c, b] dove si verifica il cambio di segno e il processo viene ripetuto fino a quando l'intervallo non è sempre meno, al fine di affrontare il valore desiderato; cioè, al valore che la funzione fa 0.

In sintesi, per applicare il teorema di Bolzano e quindi trovare le radici, limitare gli zeri di una funzione o dare una soluzione a un'equazione, vengono eseguiti i seguenti passaggi:

1. Viene verificato se F è una funzione continua nell'intervallo [a, b].
2. Se l'intervallo non viene fornito, si deve trovarne uno in cui la funzione è continua.
3. Viene verificato se le estremità dell'intervallo danno segni opposti quando valutati in f.
4. Se non vengono ottenuti segni opposti, l'intervallo deve essere diviso in due sottointervalli usando il punto medio.
5. Valuta la funzione al punto medio e verifica che l'ipotesi di Bolzano sia soddisfatta, dove f (a) _* F (B) < 0.
6. A seconda del segno (positivo o negativo) del valore riscontrato, il processo viene ripetuto con un nuovo sottointervallo fino a quando l'ipotesi menzionata viene soddisfatta.

Può servirti: programmazione non lineare: metodi ed esercizi

Esercizi risolti

Esercizio 1

Determina se la funzione f (x) = x² - 2, ha almeno una soluzione reale nell'intervallo [1,2].

Soluzione

Hai la funzione f (x) = x² - 2. Come è polinomiale, significa che è continuo in qualsiasi intervallo.

Si chiede di determinare se ha una soluzione reale nell'intervallo [1, 2], quindi ora è necessario sostituire le estremità dell'intervallo nella funzione per conoscere il segno di questi e sapere se soddisfano la condizione di essere diverso:

f (x) = x² - 2

f (1) = 1² - 2 = -1 (negativo)

f (2) = 2² - 2 = 2 (positivo)

Pertanto, segno di f (1) ≠ segno f (2).

Ciò garantisce che esista almeno un punto "C" che appartiene all'intervallo [1,2], in cui f (c) = 0.

In questo caso, il valore "C" può essere calcolato facilmente come segue:

X² - 2 = 0

x = ± √2.

Pertanto, √2 ≈ 1.4 appartiene all'intervallo [1,2] e soddisfa che f (√2) = 0 0.

Esercizio 2

Dimostrare quell'equazione x⁵ + x + 1 = 0 ha almeno una soluzione reale.

Soluzione

Per prima cosa notiamo che f (x) = x⁵ + X + 1 è una funzione polinomiale, il che significa che è continuo in tutti i numeri reali.

In questo caso, non viene dato alcun intervallo, quindi è necessario scegliere i valori intuitivamente, preferibilmente vicini a 0, per valutare la funzione e trovare le modifiche del segno:

Se viene utilizzato l'intervallo [0, 1], deve:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

f (1) = 1⁵ + 1 + 1 = 3> 0.

Poiché non vi è alcun cambio di segno, il processo viene ripetuto con un altro intervallo.

Se viene utilizzato l'intervallo [-1, 0], devi:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (-1) = (-1)⁵ + (-1) + 1 = -1 < 0.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

In questo intervallo c'è una modifica del segno: segno di f (-1) ≠ il segno di f (0), il che significa che la funzione f (x) = x⁵ + X + 1 ha almeno una radice reale "c" nell'intervallo [-1, 0], tale che f (c) = 0. In altre parole, è vero che x⁵ + x + 1 = 0 ha una soluzione reale nell'intervallo [-1,0].