Teorema di Bayes

Spieghiamo cosa è il teorema di Bayes, le sue applicazioni e mettiamo gli esercizi risolti

Cos'è il teorema di Bayes?

Lui Teorema di Bayes È una procedura che ci consente di esprimere la probabilità condizionale di un evento casuale A di dadi B, in termini di distribuzione di probabilità dell'evento B dato e la distribuzione di probabilità solo a.

Questo teorema è molto utile, dal momento che grazie ad esso possiamo mettere in relazione la probabilità che un evento A accada sapendo che B stava accadendo, con la probabilità che si verifichi il contrario, cioè che si verifica a somministrato a.

Il teorema di Bayes era una proposta d'argento del reverendo Thomas Bayes, un teologo inglese del XVIII secolo che era anche matematico. È stato autore di diversi lavori in teologia, ma attualmente è noto per un paio di trattati matematici, tra cui il teorema di Bayes già menzionato come risultato principale.

Bayes ha affrontato questo teorema in un'opera intitolata "Un saggio per risolvere un problema nella dottrina delle possibilità" (un saggio per risolvere un problema nella dottrina delle possibilità), pubblicato nel 1763 e su cui grandi hanno sviluppato studi con applicazioni In varie aree di conoscenza.

Spiegazione

Innanzitutto, per una maggiore compressione di questo teorema, sono necessarie alcune nozioni di base della teoria della probabilità, in particolare il teorema di moltiplicazione per la probabilità condizionale, che lo stabilisce

Per eventi E e arbitrari di uno spazio campione s.

E la definizione di partizioni, che ci dice che abbiamo₁ ,A₂,… , A_N eventi di uno spazio campione, questi costituiranno una partizione di s, se il a_Yo Si escludono a vicenda e la loro unione è s.

Avere questo, che si tratti di un altro evento. Quindi possiamo vedere B come

Dove un_Yo intersecati con b sono eventi reciprocamente esclusivi.

E di conseguenza,

Quindi, applicando il teorema di moltiplicazione

D'altra parte, la probabilità condizionale di Ai B è definita da

Sostituire correttamente lo abbiamo per qualsiasi io

Applicazioni di teorema di Bayes

Grazie a questo risultato, gruppi di ricerca e diverse società sono riusciti a migliorare i sistemi basati sulla conoscenza.

Studio della malattia

Ad esempio, nello studio delle malattie, il teorema di Bayes può aiutare a discernere la probabilità che una malattia si trovi in ​​un gruppo di persone con una determinata caratteristica, prendendo come dati i tassi globali della malattia e la predominanza di tali caratteristiche in entrambi persone sane e malate.

Sviluppo software

D'altra parte, nel mondo delle alte tecnologie, ha influenzato le grandi aziende che hanno sviluppato, grazie a questo risultato, software "basato sulla conoscenza".

Come esempio quotidiano abbiamo l'assistente di Microsoft Office. Il teorema di Bayes aiuta il software a valutare i problemi che l'utente presenta e determinare quali consigli fornire ed essere quindi in grado di offrire un servizio migliore in base alle abitudini dell'utente.

Va notato che questa formula è stata ignorata fino agli ultimi tempi, questo è principalmente perché quando questo risultato è stato sviluppato 200 anni fa, c'era poco uso pratico per loro. Tuttavia, ai nostri tempi, grazie ai grandi progressi tecnologici, gli scienziati hanno raggiunto i modi per mettere in pratica questo risultato.

Esercizi risolti

Esercizio 1

Una compagnia di telefoni cellulari ha due macchine A e B. Il 54% dei telefoni cellulari è realizzato dalla macchina A e il resto dalla macchina B. Non tutti i telefoni cellulari sono in buone condizioni.

La percentuale di telefoni cellulari difettosi realizzati da A è 0.2 e per b è 0.5. Qual è la probabilità che un telefono cellulare di detto fabbrica sia difettoso? Qual è la probabilità che, sapendo che un telefono cellulare è difettoso, provenga dalla macchina a?

Soluzione

Qui, hai un esperimento che viene eseguito in due parti; Nella prima parte si verificano gli eventi:

A: telefono cellulare realizzato dalla macchina a.

B: telefono cellulare realizzato dalla macchina B.

Poiché la macchina A produce il 54% dei telefoni cellulari e il resto è prodotto dalla macchina B, la macchina B deve produrre il 46% dei telefoni cellulari. Le possibilità di questi eventi sono date, vale a dire:

P (a) = 0,54.

P (b) = 0,46.

Gli eventi della seconda parte dell'esperimento sono:

D: telefono cellulare difettoso.

E: cella non difettosa.

Come indicato nella dichiarazione, le probabilità di questi eventi dipendono dal risultato ottenuto nella prima parte:

P (D | A) = 0,2.

P (d | b) = 0,5.

Utilizzando questi valori, puoi anche determinare le probabilità degli accessori di questi eventi, cioè:

P (E | A) = 1 - P (D | A)

= 1 - 0,2

= 0.8

E

P (E | B) = 1 - P (D | B)

= 1 - 0,5

= 0,5.

Ora, l'evento D può essere scritto come segue:

Questi eventi si escludono a vicenda.

L'uso del teorema di moltiplicazione per la probabilità condizionale è:

Con cui viene data una risposta alla prima domanda.

Ora dobbiamo solo calcolare P (A | D), per il quale viene applicato il teorema di Bayes:

Grazie al teorema di Bayes, si può affermare che la probabilità che un telefono cellulare sia stato realizzato dalla macchina A, sapendo che il telefono cellulare è difettoso, è 0.319.

Esercizio 2

Tre scatole contengono palline nere e nere. La composizione di ciascuno di esse è la seguente: u1 = 3b, 1n, u2 = 2b, 2n, u3 = 1b, 3n.

Una delle scatole scelta casualmente e una palla casuale viene estratta da essa che si rivela essere bianca. Qual è la scatola con il più probabile che sia stata scelta?

Soluzione

Attraverso U1, U2 e U3, rappresenteremo anche la casella prescelta.

Questi eventi costituiscono una partizione di S ed è verificato che p (u1) = p (u2) = p (u3) = 1/3 poiché la scelta della scatola è casuale.

Se b = la palla estratta è bianca, avremo p (b | u1) = 3/4, p (b | u2) = 2/4, p (b | u3) = 1/4 .

Ciò che vogliamo ottenere è la probabilità che la palla sia stata presa dalla scatola IU sapendo che questa palla era bianca, cioè p (ui | b), e vedendo quale dei tre valori era il più alto da sapere di quale scatola ha più probabilità di estrarre la palla bianca.

Applicando il teorema di Bayes al primo delle scatole:

E per gli altri due:

P (U2 | B) = 2/6 e P (U3 | B) = 1/6.

Quindi, la prima delle scatole è quella che ha una maggiore probabilità di essere stato scelto per l'estrazione della palla bianca.