Tecniche di conteggio tecniche, applicazioni, esempi, esercizi

IL Tecniche di conteggio Sono una serie di metodi di probabilità per contare il possibile numero di accordi all'interno di un set o più serie di oggetti. Questi vengono utilizzati quando si effettuano i conti manualmente diventano complicati a causa del gran numero di oggetti e/o variabili.

Ad esempio, la soluzione a questo problema è molto semplice: immagina che il tuo capo ti chieda di contare gli ultimi prodotti che sono arrivati ​​nell'ultima ora. In questo caso potresti andare a contare i prodotti uno per uno.

Tuttavia, immagina che il problema sia questo: il tuo capo ti chiede di contare quanti gruppi di 5 prodotti dello stesso tipo possono essere formati con coloro che sono arrivati ​​l'ultima ora. In questo caso, il calcolo è complicato. Per questi tipi di situazioni, vengono utilizzate tecniche di conteggio così chiamate.  

Queste tecniche sono diverse, ma le più importanti sono divise in due principi di base, che sono moltiplicativi e additivi; Permutazioni e combinazioni.

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Principio moltiplicativo

Applicazioni

Il principio moltiplicativo, insieme all'additivo, è fondamentale per comprendere il funzionamento delle tecniche di conteggio. Nel caso del moltiplicativo, consiste nei seguenti:

Immagina un'attività che implica un numero specifico di passaggi (il totale che lo contrassegniamo come "R"), in cui il primo passo può essere fatto nelle forme N1, il secondo passo di N2 e il passaggio "R" delle forme NR. In questo caso, l'attività potrebbe essere svolta nel numero di moduli risultanti da questa operazione: N1 X N2 X .. .X nr forme

Questo è il motivo per cui questo principio è chiamato moltiplicativo e implica che ognuno dei passi necessari per svolgere l'attività deve essere svolto dopo l'altro. 

Esempio

Immaginiamo una persona che vuole costruire una scuola. Per fare ciò, considera che la base dell'edificio può essere costruita in due modi diversi, cemento o cemento. Per quanto riguarda le pareti, possono essere adobe, cemento o mattoni.

Per quanto riguarda il tetto, questo può essere costruito in cemento o foglio zincato. Infine, la pittura finale può essere fatta solo in un certo senso. La domanda che sorge è la seguente: quanti modi ha la scuola?

Innanzitutto, consideriamo il numero di passaggi, che sarebbero la base, le pareti, il tetto e il dipinto. In totale, 4 passaggi, quindi r = 4.

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Quanto segue sarebbe elencare il n:

N1 = modi per costruire la base = 2

N2 = modi per costruire i muri = 3

N3 = modi per fare il tetto = 2

N4 = modi per eseguire vernice = 1

Pertanto, il numero di modi possibili verrebbe calcolato dalla formula sopra descritta:

N1 X N2 X N3 X N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 modi per eseguire la scuola.

Principio additivo

Applicazioni

Questo principio è molto semplice, ed è che, nel caso di diverse alternative per svolgere la stessa attività, i possibili modi consistono nella somma dei diversi modi possibili di eseguire tutte le alternative.

In altre parole, se vogliamo svolgere un'attività con tre alternative, in cui la prima alternativa può essere eseguita nelle forme M, la seconda delle forme N e le ultime forme W, l'attività può essere svolta di: M + N + … + Forme W.

Esempio

Immagina questa volta una persona che vuole acquistare una racchetta da tennis. Per fare questo, hai tre marchi tra cui scegliere: Wilson, Babolat o Head.

Quando va al negozio, vede che la racchetta Wilson può essere acquistata con la maniglia di due dimensioni diverse, L2 o L3 in quattro diversi modelli e può essere legata o senza ricamare.

La racchetta Babolat, d'altra parte, ha tre mango (L1, L2 e L3), ci sono due modelli diversi e può anche essere legata o senza ricamare.

La racchetta per la testa, nel frattempo, è solo con un mango, L2, in due modelli diversi e solo senza ricamare. La domanda è: in quanti modi questa persona deve acquistare la loro racchetta?

M = numero di modi per selezionare una racchetta Wilson

N = numero di modi per selezionare una racchetta Babolat

W = Numero di modi per selezionare un rack per la testa

Eseguiamo il principio del moltiplicatore:

M = 2 x 4 x 2 = 16 forme

N = 3 x 2 x 2 = 12 forme

W = 1 x 2 x 1 = 2 forme

 M + n + w = ​​16 + 12 + 2 = 30 modi per scegliere una racchetta.

Sapere quando il principio moltiplicativo e l'additivo devono.

Permutazioni

Applicazioni

Per capire cos'è una permutazione, è importante spiegare cosa sia una combinazione essere in grado di differenziarli e sapere quando usarli.

Una combinazione sarebbe una disposizione di elementi in cui non siamo interessati alla posizione che ciascuno di essi occupa.

Una permutazione, d'altra parte, sarebbe una disposizione di elementi in cui siamo interessati alla posizione che ciascuno di essi occupa.

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Diamo un esempio per capire meglio la differenza.

Esempio

Immagina una lezione con 35 studenti e con le seguenti situazioni:

1. L'insegnante vuole che tre dei suoi studenti lo aiutino a mantenere la classe pulita o consegna materiale agli altri studenti quando ne ha bisogno.
2. L'insegnante vuole nominare delegati di classe (un presidente, un assistente e un finanziario).

La soluzione sarebbe la seguente:

1. Immagina che per voto Juan, María e Lucía siano scelti per pulire la classe o consegnare i materiali. Ovviamente, altri gruppi di tre persone avrebbero potuto formarsi, tra i 35 possibili studenti.

Dobbiamo chiederci quanto segue: l'ordine o la posizione occupati da ciascuno degli studenti importanti quando li selezioniamo?

Se ci pensiamo, vediamo che non è davvero importante, dal momento che il gruppo si prenderà cura dei due lavori allo stesso modo. In questo caso, è una combinazione, dal momento che non siamo interessati alla posizione degli elementi.

2. Ora immaginiamo che Juan sia eletto presidente, Maria come assistente e Lucia come finanziaria.

In questo caso, l'ordine sarebbe importante? La risposta è sì, poiché se cambiamo gli elementi, cambiamo il risultato. Cioè, se invece di mettere Juan come presidente, lo mettiamo come assistente e Maria come presidente, il risultato finale cambierebbe. In questo caso è una permutazione.

Una volta compresa la differenza, otterremo le formule delle permutazioni e le combinazioni. Tuttavia, prima di dover definire il termine "n!"(ENE Factorrial), poiché verrà utilizzato nelle diverse formule.

N!= al prodotto da 1 a n.

N!= 1 x 2 x 3 x 4 x ... x n

Usandolo con numeri reali:

10!= 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 10 = 3.628.800

 5!= 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 5 = 120

La formula delle permutazioni sarebbe la seguente:

Npr = n!/(N-R)!

Con esso possiamo scoprire gli accordi in cui l'ordine è importante e dove gli elementi sono diversi.

Combinazioni

Applicazioni

Come abbiamo accennato in precedenza, le combinazioni sono le disposizioni in cui non ci interessa la posizione degli elementi.

La sua formula è la seguente:

Ncr = n!/(N-R)!R!

Esempio

Se ci sono 14 studenti che vogliono essere volontari per pulire l'aula, quanti gruppi di pulizia possono essere formati se ogni gruppo deve essere 5 persone?

La soluzione, quindi, sarebbe la seguente:

N = 14, r = 5

14c5 = 14! / (14 - 5)!5! = 14! / 9!5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9!/ 9!5!= Gruppi 2002

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Esercizi risolti

Esercizio 1

Fonte: Pixabay.com

Natalia è commissionato da sua madre di andare in un negozio di cibo e comprare una soda per rinfrescarsi. Quando Natalia chiede al bere dipendente, gli dice che ci sono quattro gusti di bibite, tre tipi e tre dimensioni.

I sapori delle bevande analcoliche possono essere: coda, limone, arancione e menta.

I tipi di bevande analcoliche di coda possono essere: normale, senza zucchero, senza caffeina.

Le dimensioni possono essere: piccole, medie e grandi.

La madre di Natalia non ha specificato quale tipo di soda voleva quanti modi Natalia deve acquistare la bevanda?

Soluzione

M = dimensione e numero di tipo è possibile selezionare quando si sceglie la soda di coda.

N = Numero di dimensioni e tipo è possibile selezionare quando si sceglie la soda al limone.

W = dimensione e numero di tipo è possibile selezionare quando si sceglie la soda arancione.

Y = dimensione e numero di tipo è possibile selezionare quando si sceglie la soda menta.

Eseguiamo il principio del moltiplicatore:

M = 3 × 3 = 9 forme

N = 3 × 3 = 9 forme

W = 3 × 3 = 9 forme

Y = 3 × 3 = 9 forme

 M + n + w + y = 9 + 9 + 9 + 9 = 36 modi per selezionare il soda.

Esercizio 2

Fonte: Pixabay.com

Un club sportivo annuncia seminari di accesso gratuito in modo che i bambini imparino a pattinare. 20 bambini sono registrati, quindi due gruppi di dieci persone decidono di dividere in modo che gli istruttori possano dare le classi più comode.

A loro volta, decidono di superare quale gruppo ogni bambino cadrà. In quanti gruppi diversi potrebbe entrare un bambino.

Soluzione

In questo caso, il modo per trovare una risposta è attraverso la tecnica di combinazione, la cui formula era: ncr = n!/(N-R)!R!

n = 20 (numero di bambini)

  R = 10 (dimensione del gruppo)

20c10 = 20! / (20 - 10)!10! = 20! / 10!10! = 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15x 14x 13x 12x 11x 10!/ 10!10!= 184.756 gruppi.

Riferimenti

1. Jeffrey, r.C., Probabilità e arte del giudizio, Cambridge University Press. (1992).
2. William Feller, “Un'introduzione alla teoria della probabilità e alle sue applicazioni“, (Vol 1), 3a ed, (1968), Wiley
3. Finetti, Bruno de (1970). "Fondamenti logici e misurazione della probabilità soggettiva". Atto psicologico.
4. Hogg, Robert V.; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Introduzione alle statistiche matematiche (6 ° ed.). Upper Saddle River: Pearson.
5. Franklin, J. (2001) La scienza delle congetture: prove e probabilità prima di Pascal,Johns Hopkins University Press.