Sistema di equazioni Metodi di soluzione, esempi, esercizi

IL Sistemi di ecuazione Sono costituiti da due o più equazioni con diverse variabili che devono avere una soluzione comune. Sono frequenti, perché in pratica ci sono numerose situazioni che dipendono da molti fattori, che sono correlati in diversi modi.

In generale, un sistema di equazioni ha la seguente forma, in cui ciascuna funzione rappresenta una delle condizioni che la soluzione deve soddisfare:

Figura 1. Un sistema di equazioni è costituito da funzioni m e n sconosciute. Fonte: f. Zapata.

Diamo un'occhiata a un esempio: supponiamo che tu sia necessario produrre fogli di carta rettangolare la cui area è di 180 cm² e avere un perimetro di 54 cm. Quali dovrebbero essere le dimensioni del foglio?

Per rispondere alla domanda, teniamo conto che le dimensioni di un foglio rettangolare sono due: larghe e alte. Ciò significa che abbiamo 2 variabili a cui daremo i soliti nomi di X E E.

E queste variabili devono soddisfare le due condizioni imposte contemporaneamente:

-Prima condizione: l'area di lamina è di 180 cm². Questa sarà la prima funzione: f₁.

-Seconda condizione: il perimetro o il contorno del foglio deve essere 54 cm. Questa è la seconda funzione F₂.

Per ogni condizione viene stabilita un'equazione usando il linguaggio algebrico. L'area A di un foglio rettangolare è ottenuta moltiplicando:

A = x.y = 180 cm²

E il perimetro P deriva dall'aggiunta dei lati. Poiché il perimetro è la somma dei lati:

P = 2x + 2y = 54 cm

Il sistema derivante da due equazioni e due incognite è:

XY = 180

2 (x + y) = 54

Abbiamo bisogno di due numeri il cui prodotto è 180 e che il doppio prodotto della sua somma è 54, o ciò che è lo stesso: Aggiunto deve dare 27. Questi numeri sono 12 e 15.

Nella sezione ESERCIZI DI RISOLUZIONE offriremo il metodo dettagliato per trovare questi valori, nel frattempo il lettore può facilmente verificare la sostituzione, che soddisfano efficacemente entrambe le equazioni.

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Esempi di applicazioni di sistemi di equazioni

La situazione proposta sopra contiene 2 variabili e sono necessarie almeno 2 equazioni per trovarle. Ci sono sistemi con molte più variabili, ma in ogni caso, se il sistema ha N Di questi, almeno è necessario N equazioni indipendenti (non si possono essere una combinazione lineare degli altri) per trovare la soluzione, se esiste.

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Per quanto riguarda le applicazioni, sono numerose. Ecco alcuni in cui i sistemi di equazioni dimostrano la loro utilità:

-Trova le correnti che circolano attraverso un circuito per mezzo delle leggi di Kirchoff.

-Nel trasporto terrestre e aereo per stabilire gli orari di uscita e arrivo.

-Trova le magnitudini delle forze in sistemi dinamici o statici soggetti a molteplici interazioni.

-Conoscere la quantità di articoli venduti per un certo periodo di tempo o nelle fabbriche, per determinare le dimensioni degli oggetti per soddisfare determinate condizioni in termini di superficie o volume.

-Quando si determina come distribuire un capitale in diversi investimenti.

-Stabilire tariffe per vari servizi, ad esempio telecomunicazioni o spettacoli e conosci la quantità di denaro raccolto (vedere Esempio risolto 2)

Metodi di soluzione dei sistemi di equazione

Metodo di sostituzione

-Viene scelta un'equazione e una delle variabili viene cancellata.

-Quindi devi sostituire la variabile chiara in un'altra equazione. Quindi questa variabile scompare da lì e se il sistema ha due equazioni e due incognite, esiste un'equazione con una variabile che può già essere chiara.

-Se il sistema ha più di due variabili, è necessario cancellare un terzo sconosciuto da un'altra equazione e sostituirlo anche.

Un esempio di applicazione di questo metodo è l'anno risolto 1.

Metodo di riduzione o eliminazione

Questo metodo consiste nell'aggiunta o sottrarre equazioni per eliminare una o più variabili e lasciare una singola. Per fare ciò, è conveniente moltiplicare le equazioni per un fattore tale che aggiungendo con un'altra equazione, l'ignoto scompare. Diamo un'occhiata a un esempio:

3x² - E² = 11

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X² + 4y² = 8

Moltiplichiamo la prima equazione per 4:

12x² - 4y² = 44

X² + 4y² = 8

Aggiungendo loro l'ignoto scompare E, restare:

13x² = 52

X² = 4

Quindi x₁ = 2 e x₂ = -2. Con questi valori il lettore può verificarlo e₁ = 1 e₂ = -1

Metodo di equalizzazione

Quando il sistema è due equazioni con due incognite:

-Viene scelto uno sconosciuto e cancella entrambe le equazioni.

-I risultati sono equalizzati, il che consente di ottenere una singola equazione con una singola sconosciuta.

-Questa equazione viene risolta e il risultato viene sostituito in una delle radure precedenti per ottenere il valore dell'altro sconosciuto.

Questo metodo verrà applicato nell'anno risolto 2 della sezione seguente.

Metodo grafico

Questo metodo consiste nel graficamente le curve che ogni equazione rappresenta. Il punto di intersezione è la soluzione di sistema. Il seguente esempio mostra la soluzione grafica del sistema:

X² + E ² = 1

2x + 4y = 0

figura 2. La soluzione grafica del sistema di equazioni simultanee è trovare l'intersezione delle curve. Fonte: Wikimedia Commons.

La prima delle equazioni è un cerchio di raggio 1 focalizzato sull'origine e il secondo è una linea.

L'intersezione di entrambi sono i due punti mostrati in blu. Il lettore può verificare che sostituendo le coordinate dei punti nelle equazioni sopra, si ottiene un'uguaglianza.

Esercizi

- Esercizio risolto 1

È necessario produrre fogli rettangolari di 180 cm² e con perimetro di 54 cm. Quali dovrebbero essere le dimensioni del foglio?

Soluzione

Il sistema da risolvere è:

XY = 180

2 (x + y) = 54

La seconda equazione può essere semplificata a x + y = 27, quindi:

XY = 180

x + y = 27

Una delle incognite della seconda equazione è stata cancellata:

y = 27 - x

La clearance viene sostituita nel primo:

(27 -x) = 180

Applicazione di proprietà distributiva:

-X² + 27x = 180

Moltiplicando per (-1) su entrambi i lati dell'equazione e inviando 180 sul lato sinistro:

X² - 27x +180 = 0

È un'equazione di secondo grado in X, che è risolta dalla formula:

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Con a = 1, b = -27 e c = 180

 Le soluzioni sono: x₁ = 15 cm e x₂ = 12, quindi le dimensioni di Y sono e₁ = 12 cm e e e₂ = 15 cm.

- Esercizio risolto 2

Un parco di divertimenti ha le seguenti tariffe per ingresso: bambini 1.5 e adulti $ 4. In un giorno c'erano 2200 visitatori, raccogliendo $ 5050. Trova il numero di bambini e adulti che hanno visitato il parco quel giorno.

Figura 3. Il sistema di equazioni serve a abbattere la raccolta del parco divertimenti in un giorno. Fonte: Pixabay.

Soluzione

Essere X Il numero di bambini e E Il numero di adulti. Possiamo stabilire la prima delle equazioni sapendo che la somma di entrambi deve essere 2200:

x + y = 2200.

Ora andiamo con i soldi raccolti. Il prezzo del biglietto per i bambini è 1.5 $ per ogni bambino, moltiplicando questo valore per x, il numero di bambini, avremo l'importo per l'ingresso del bambino:

1.5x = denaro raccolto dai biglietti per bambini

E se moltiplichiamo $ 4 per adulto per la quantità e i visitatori degli adulti, il denaro totale è ottenuto da tutti gli adulti:

4y = denaro raccolto dai biglietti per adulti

Aggiungiamo questo per ottenere $ 5050:

1.5x + 4y = 5050

Il nostro sistema di equazioni è:

x + y = 2200

1.5x + 4y = 5050

Risolviamolo per equalizzazione. Canciamo la variabile e la prima e la seconda equazione:

y = 2200 - x

y = (5050 - 1.5 x) /4

Equaliamo entrambe le espressioni:

2200 - x = (5050 - 1.5x) /4

Moltiplichiamo tutto per 4 per eliminare la frazione:

8800 - 4x = 5050 - 1.5x

Raggruppiamo i termini con x a sinistra e i numeri puri a destra:

-4x + 1.5x = 5050 - 8800

-2.5x = -3750

x = 1500 bambini.

Sostituiamo questo valore a y = 2200 - x per conoscere il numero di adulti:

y = 2200 - 1500 = 700 adulti.

Riferimenti

1. CK-12. Sistemi di equazioni e disuguaglianze. Recuperato da: CK12.org.
2. Hoffman, J. Selezione di problemi di matematica. Volume 2.
3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Stewart, J. 2006. Prececculment: matematica per il calcolo. 5 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.
5. Zill, d. 1984. Algebra e trigonometria. McGraw Hill.