Applicazioni, esempi ed esercizi della serie Fourier sono stati risolti

IL serie di Fourier Sono costituiti da una somma di termini infiniti, che consistono in funzioni armoniche, seno e coseno, il cui argomento è un intero fondamentale per una frequenza fondamentale.

Le funzioni seno e coseno sono moltiplicate per coefficienti di valori, in modo tale che la somma sia identica a una funzione con il periodo t uguale a due volte pi (2π) diviso per la frequenza angolare fondamentale ω ω.

Figura 1. Ecco (in blu) le prime armoniche non null della serie Fourier corrispondente a un segnale a forma d'onda quadrata. La somma che queste armoniche danno origine al segnale rosso. Fonte: Wikimedia Commons.

Matematicamente sarebbe espresso come segue:

Dove Ω È la frequenza fondamentale, che è correlata al periodo T della funzione f (t) Attraverso la relazione: 

Ω = 2π / t

Per essere periodici T, la funzione f (t) incontra questa condizione:

f (t) = f (t + k t)

Dove K È un numero intero e i coefficienti₀ , A_N e B_N Sono chiamati il Coefficienti di Fourier.

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Importanza e usi delle serie di Fourier

Il nome della serie di Fourier è dovuto al fatto che il suo scopritore era il matematico francese.

Questa scoperta è stata fondamentale per la matematica, poiché se un'equazione differenziale ha una particolare soluzione armonica, è possibile ottenere la soluzione generale mediante la sovrapposizione o la somma della stessa.

I coefficienti di Fourier di una funzione periodica, chiamati anche cartello, Sono lo spettro dello stesso.

Pertanto, lo spettro è l'insieme di frequenze che compongono un segnale caratterizzato dall'ampiezza di ciascuna frequenza, che corrisponde ai valori dei coefficienti di Fourier.

Sistemi di compressione del segnale o forme d'onda audio e video, nella parte posteriore un numero significativamente più piccolo di bit rispetto al segnale digitalizzato originale.

La serie di un segnale di Fourier è come la sua impronta digitale, nel senso che, conosci i coefficienti che lo compongono, puoi sempre sapere a quale segno appartengono.

Sebbene l'uso della serie di Fourier, o la sua forma più generale, il trasformata di Fourier, Come metodo di compressione del segnale è noto da un po 'di tempo, il suo uso in pratica ha dovuto aspettare i processori numerici abbastanza rapidi, che hanno permesso ai segnali di essere compressi e decompressi in "tempo reale".

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Esempio di serie di Fourier 

Successivamente, un esempio di funzione f (t) e la sua serie di Fourier.

La funzione è:

 f (t) = 0 sì 0 ≤ t  < π y 1 si π ≤  t   < 2π

E ha le corrispondenti serie di Fourier fornite da:

f (t) = ½ - 2/π⋅se (t) - 2/(3π) ⋅se (3t) - 2/(5π) ⋅sen (5t) - 2/(7π) ⋅sen (7t) -…

La figura seguente mostra la funzione e la somma parziale della serie Fourier:

figura 2. Sono mostrati i primi 19 termini della somma di Fourier corrispondente alla funzione Step. Fonte: f. Zapata.

Determinazione dei coefficienti

Di seguito è riportato come determinare i coefficienti di Fourier:

Supponiamo che la funzione sia f (x) definita in un intervallo che va da t_Yo a t_Yo + T, dove il capitale sarà il periodo della funzione. Quindi la sua serie di Fourier è:

f (t) = a₀/2 + a₁ cos (ω t) + a₂ cos (2 ω t) +… + a_N Cos (n ω t) +..

.. .+ b₁ sin (ω t) +b₂ sin (2 ω t) +… +b_N Sin (n ω t) +..

Calcolo del termine indipendente

Per trovare il termine indipendente integriamo entrambi i membri dell'uguaglianza nell'intervallo della definizione della funzione:

[T_Yo , T_Yo+ T]

Perciò:

Stesso_N ∫cos (n ω t) dt +..

.. .+ b₁ ∫sen (ω t) dt +b₂ ∫sen (2 ω t) dt +… +b_N ∫sen (n ω t) dt +..

Qui il simbolo ∫ significa integrale definito da t_Yo a t_Yo + T.

L'integrale del primo termine è t, che quando valutato nei risultati del limite superiore:

T_Yo + T

Quando si sottrai il limite inferiore t_Yo, in T.

Tutti gli altri termini sono 0, perché si tratta di funzioni di coseno o seno valutate in un periodo intero, come mostriamo di seguito:

∫cos (nω t) dt = (1/ nω) ∫cos (nω t) d (nω t)

Ricorda che il simbolo ∫ significa integrazione tra t_Yo a t_Yo + T. 

Per fare l'integrazione dei termini che hanno coseno o seno apporteremo la seguente variabile:

x = ω (t - t_Yo)

Quindi il differenziale X, DX è uguale al differenziale D (ωt).

Quindi l'integrale da eseguire è:

Poiché n è un intero, allora l'integrale definito darà sempre zero. Lo stesso vale per la funzione seno.

Pertanto, l'integrale definito valutato in un periodo completo di tutti i termini contenuti. 

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Si è quindi concluso che il termine A₀ viene calcolato come segue:

Calcolo dei coefficienti a's

Per calcolare i coefficienti che si moltiplicano alle funzioni del coseno, entrambi i membri dell'uguaglianza devono essere moltiplicati:

f (t) = a₀/2 + a₁ cos (ω t) + a₂ cos (2 ω t) +… + a_N Cos (n ω t) +..

.. .+ b₁ sin (ω t) +b₂ sin (2 ω t) +… +b_N Sin (n ω t) +..

Dalla funzione del coseno valutato nell'armonica corrispondente e quindi l'integrale definito in un periodo intero ad entrambi i membri viene applicato. 

Ad esempio, per calcolare_M Entrambi i membri sono moltiplicati per COS (Mωt):

f (t) cos (m ω t) = a₀/2 cos (m ω t) + a₁ cos (ω t) cos (m ω t) + a₂ cos (2 ω t) cos (m ω t) +… + A_N Cos (n ω t) cos (m ω t) +..

.. .+ b₁ sin (ω t) cos (m ω t) +b₂ sin (2 ω t) cos (m ω t) +… +b_N Sin (n ω t) cos (m ω t) +..

Quindi integrati in un periodo completo, cioè nell'intervallo che va da t_Yo a t_Yo + T.

L'integrale del termine contenente A₀ viene annullato, perché M è un numero intero e la funzione del coseno viene integrata in un periodo intero. 

Gli integrali contenenti il ​​prodotto cos (n ω t) cos (m ω t) sono anche annullati ogni volta che n ≠ m. Solo nel caso in cui n = m abbia l'integrale:

Tutti i termini che hanno un seno moltiplicato del coseno, cioè quelli che vengono moltiplicati per i coefficienti della B, poiché contenenti integrali del tipo SEN (n ω t) cos (m ω t) vengono annullati quando l'integrale definito viene eseguito su un completo periodo. 

Da qui si è concluso che:

Calcolo dei coefficienti B's

Per trovare i coefficienti di B viene applicata una procedura simile, ma questa volta entrambi i membri della funzione abbinati alla serie Fourier sono moltiplicati per la funzione SEN (M ω T).

Per gli stessi motivi già spiegati per il caso in cui l'unico termine che non viene annullato dopo l'integrazione in un periodo completo è uno in cui:

n = m

E dove appare l'integrale di [sen (m ω t)]]², Ciò integrato in un periodo completo provoca π.

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In questo modo, i coefficienti della B vengono calcolati secondo la seguente formula:

Esercizi

- Esercizio 1

Effettua il calcolo esplicito dei coefficienti della funzione

 f (t) = 0 sì 0 ≤ t  < π y 1 si π ≤  t   < 2π

Soluzione

Per prima cosa identifichiamo il periodo t di questa funzione come 2π, quindi la frequenza fondamentale ω = 2π/ t in questo esempio è uguale all'unità, cioè:

Ω = 1

La funzione è definita nell'intervallo [0, 2π], quindi tutte le integrazioni verranno eseguite in detto intervallo. 

Quindi il termine indipendente viene calcolato come segue:

I coefficienti che si moltiplicano alle funzioni del coseno sono calcolati in questo modo:

Come si può vedere, tutti i coefficienti a's sono nulli, il che accadrà a condizione che la funzione f (t) sia dispari.

Allo stesso modo, i coefficienti del B saranno calcolati come segue:

- Esercizio 2

Trova i coefficienti della funzione corrispondente alla Figura 1, che è:

f (t) = -1 sì 0≤ t

Soluzione 

Poiché la funzione prende valori tra -1 e +1, possiamo intuire che il termine indipendente sia nullo, tuttavia lo calcoleremo esplicitamente:

A causa del fatto che la funzione ha una strana simmetria, tutti i coefficienti di cui moltiplicano i termini armonici con la funzione del coseno devono essere nulli. Lo verifichiamo di seguito:

Infine, troveremo i coefficienti della B che moltiplicano i termini armonici che contengono la funzione del seno:

Dove si possono notare tutti i termini di B con il pedice UP sono 0. I primi termini dispari sono:

B₁= -4/(π); B₃= -4/(3π); B₅= -4/(5π); B₇= -4/(7π) e B₉= -4/(9π)

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Riferimenti

1. Amerror, i. 2013. Padroneggiare la trasformata discreta di Fourier in una, due o diverse dimensioni: insidie ​​e artefatti. Springer Science & Business Media.
2. Briggs, w. 1995. Il DFT: un manuale dei proprietari per la trasformata discreta di Fourier. Siam.
3. Chu, e. 2008. Trasformazioni di Fourier discrete e continue: analisi, applicazioni e algoritmi veloci. CRC Press.
4. Guoan BI, Yonghong Zeng. 2012. Trasforma e algoritmi veloci per l'analisi e le rappresentazioni del segnale. Springer Science & Business Media.
5. Sundararajan, d. 2003. Elaborazione del segnale digitale: teoria e pratica.World Scientific. 
6. Wikipedia. serie di Fourier. Recuperato da: è.Wikipedia.com