Regola empirica Come applicarlo, a cosa serve, gli esercizi risolti

UN Regola empirica È il risultato dell'esperienza pratica e dell'osservazione della vita reale. Ad esempio, puoi sapere che le specie di uccelli possono essere osservate in alcuni luoghi in ogni momento dell'anno e che l'osservazione può essere stabilita una "regola" che descrive i cicli di vita di questi uccelli.

Nelle statistiche, la regola empirica si riferisce alla forma di raggruppamento di osservazioni attorno a un valore centrale, medio o medio, nelle unità di deviazione standard.

Supponiamo di avere un gruppo di persone con un'altezza media di 1.62 metri e una deviazione standard di 0.25 metri, quindi la regola empirica consentirebbe di definire, ad esempio, quante persone sarebbero in un intervallo della media più o meno una deviazione standard?

Secondo la regola, il 68% dei dati è più o meno una deviazione standard della media, ovvero il 68% delle persone del gruppo avrà un'altezza tra 1.37 (1.62-0.25) e 1.87 (1.62+0.25) metri.

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Da dove viene la regola empirica?

La regola empirica è una generalizzazione del teorema di Tchebyshev e della distribuzione normale.

Teorema di Tchebyshev

Il teorema di Tchebyshev afferma che: per un certo valore di k> 1, la probabilità che una variabile casuale sia tra i tempi medi meno K della deviazione standard e la media più k volte, la deviazione standard è maggiore o uguale a (1 -1 /K²).

Il vantaggio di questo teorema è che si applica a variabili casuali discrete o continue con qualsiasi distribuzione di probabilità, ma la regola definita da esso non è sempre molto precisa, perché dipende dalla simmetria della distribuzione. Più asimmetrica la distribuzione della variabile casuale, meno regolata alla regola sarà il suo comportamento.

La regola empirica definita da questo teorema è:

Se k = √2, si dice che il 50% dei dati sia nell'intervallo: [µ - √2 s, µ + √2 s]

Se k = 2, si dice che il 75% dei dati sia nell'intervallo: [µ - 2 s, µ + 2 s]

Se k = 3, si dice che l'89% dei dati sia nell'intervallo: [µ - 3 s, µ + 3 s]

Distribuzione normale

La distribuzione normale, o Gauss Bell, consente di stabilire la regola empirica o la regola 68 - 95 - 99.7.

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La regola si basa sulle probabilità di verificarsi di una variabile casuale a intervalli tra la media meno, due o tre deviazioni standard e la media più una, due o tre deviazioni standard.

La regola empirica definisce i seguenti intervalli:

68.Il 27% dei dati è nell'intervallo: [µ - s, µ + s]

95.Il 45% dei dati è nell'intervallo: [µ - 2s, µ + 2s]

99.Il 73% dei dati è nell'intervallo: [µ - 3s, µ + 3s]

Nella figura puoi vedere come vengono presentati questi intervalli e la relazione tra loro aumentando la larghezza della base grafica.

Regola empirica. Melikamp [CC BY-SA 4.0 (https: // creativeCommons.org/)] La standardizzazione della variabile casuale, cioè l'espressione della variabile casuale in termini di variabile standard o normale, semplifica l'uso della regola empirica, poiché la variabile z ha una media uguale a zero e deviazione standard uguale a uno.

Pertanto, l'applicazione della regola empirica su scala di una variabile normale standard, Z, definisce i seguenti intervalli:

68.Il 27% dei dati è nell'intervallo: [-1, 1]

95.Il 45% dei dati è nell'intervallo: [-2, 2]

99.Il 73% dei dati è nell'intervallo: [-3, 3]

Come applicare la regola empirica?

La regola empirica consente di abbreviare i calcoli quando si lavora con una distribuzione normale.

Supponiamo che un gruppo di 100 studenti universitari abbia un'età media di 23 anni, con una deviazione standard di 2 anni. Quali informazioni consentono la regola empirica?

L'applicazione della regola empirica implica seguire i passaggi:

1- Costruisci gli intervalli di regola

Poiché la media è 23 e la deviazione standard è 2, gli intervalli sono:

[µ - s, µ + s] = [23 - 2, 23 + 2] = [21, 25]

[µ - 2s, µ + 2s] = [23 - 2 (2), 23 + 2 (2)] = [19, 27]

[µ - 3s, µ + 3s] = [23 - 3 (2), 23 + 3 (2)] = [17, 29]

2- Calcola il numero di studenti in ogni intervallo in base alle percentuali

(100)*68.27% = 68 studenti approssimativamente

(100)*95.45% = circa 95 studenti

(100)*99.73% = 100 studenti

3- Gli intervalli di età sono associati alla quantità di studenti e interpretati

Almeno 68 studenti hanno tra 21 e 25 anni.

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Almeno 95 studenti hanno tra i 19 e i 27 anni.

Praticamente 100 studenti hanno tra 17 e 29 anni.

Qual è la regola empirica?

La regola empirica è un modo rapido e pratico per analizzare i dati statistici, essendo sempre più affidabile nella misura in cui la distribuzione è vicina alla simmetria.

La sua utilità dipende dal campo in cui viene utilizzato e dalle domande che si presentano. È molto utile sapere che la presenza di valori di tre deviazioni standard è quasi improbabile al di sotto o al di sotto della media, anche per le variabili di distribuzione non normali, almeno 88.L'8% dei casi è nell'intervallo di tre sigma.

Nelle scienze sociali, un risultato generalmente conclusivo è l'intervallo della media più o meno due sigma (95%), mentre nella fisica delle particelle, un nuovo effetto richiede un intervallo di cinque sigmas (99.99994%) per essere considerato una scoperta.

Esercizi risolti

Conigli nella riserva

In una riserva per la fauna selvatica si stima che ci sia una media di 16.000 conigli con una deviazione standard di 500 conigli. Se la distribuzione del "numero di conigli variabili nella riserva" è possibile, è possibile.000 e 17.000 conigli?

L'intervallo può essere presentato in questi termini:

15000 = 16000 - 1000 = 16000 - 2 (500) = µ - 2 s

17000 = 16000 + 1000 = 16000 + 2 (500) = µ + 2 s

Pertanto: [15000, 17000] = [µ - 2 s, µ + 2 s]

Applicando il teorema di Tchebyshev, c'è una probabilità di almeno 0.75 che la popolazione di conigli della riserva della fauna selvatica è compresa tra 15.000 e 17.000 conigli.

Medie di bambini provenienti da un paese

Il peso medio dei bambini di un anno è normalmente distribuito con una media di 10 chilogrammi e una deviazione standard di circa 1 chilogrammo.

a) stimare la percentuale di bambini di un anno nel paese che hanno un peso medio tra 8 e 12 chilogrammi.

8 = 10 - 2 = 10 - 2 (1) = µ - 2 s

12 = 10 + 2 = 10 + 2 (1) = µ + 2 s

Pertanto: [8, 12] = [µ - 2s, µ + 2s]

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Secondo la regola empirica, si può affermare che 68.Il 27% dei bambini nel paese ha tra 8 e 12 chilogrammi di peso.

b) Qual è la probabilità di trovare un bambino di un anno di 7 chilogrammi o meno peso?

7 = 10 - 3 = 10 - 3 (1) = µ - 3 s

È noto che 7 chilogrammi di peso rappresentano il valore µ - 3s, così come è noto che 99.Il 73% dei bambini ha tra 7 e 13 chilogrammi di peso. Che lascia solo 0.27% dei bambini totali per gli estremi. Metà di loro, 0.135%, ha 7 chilogrammi di peso o meno e l'altra metà, 0.135%, ha 11 chilogrammi di peso o più.

Quindi, si può concludere che esiste una probabilità di 0.00135 che un bambino ha 7 chilogrammi di peso o meno.

c) Se la popolazione del paese raggiunge 50 milioni di abitanti e figli di 1 anno?

9 = 10 - 1 = µ - s

11 = 10 + 1 = µ + s

Pertanto: [9, 11] = [µ - s, µ + s]

Secondo la regola empirica, 68.Il 27% dei bambini di un anno in intervallo [µ -s, µ + s]

Nel paese ci sono 500.000 bambini di un anno (1% di 50 milioni), quindi 341350 bambini (68.Il 27% di 500000) ha tra 9 e 11 chilogrammi di peso.

Riferimenti

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