Concetto di esperimento casuale, spazio campione, esempi

Si parla di esperimento casuale Quando il risultato di ogni particolare prova è imprevedibile, anche quando è possibile stabilire la probabilità di verificarsi di un determinato risultato.

Tuttavia, si dovrebbe chiarire che non è possibile riprodurre lo stesso risultato di un sistema casuale con gli stessi parametri e condizioni iniziali in ogni prova dell'esperimento.

Figura 1. Il lancio dei dadi è un esperimento casuale. Fonte: Pixabay.

Un buon esempio di esperimento casuale è il lancio di un dado. Anche quando ti prendi cura di lanciare i dadi allo stesso modo, verrà ottenuto un risultato imprevedibile. In realtà, l'unica cosa che si può affermare è che il risultato può essere alcuni dei seguenti: 1, 2, 3, 4, 5 o 6.

Il lancio di una valuta è un altro esempio di esperimento casuale con solo due possibili risultati: faccia o sigillo. Sebbene la valuta sia lanciata dalla stessa altezza e allo stesso modo, sarà sempre presente il fattore casuale, il che si traduce in incertezza per ogni nuovo tentativo.

L'opposto di un esperimento casuale è un esperimento deterministico. Ad esempio, è noto che ogni volta che l'acqua viene bollita a livello del mare la temperatura di ebollizione è di 100 ºC. Ma non succede mai che, mantenendo le stesse condizioni, il risultato sia a volte 90 ºC, altri 12 0 ° C e talvolta 100 ºC.

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Spazio campione

Si chiama l'insieme di tutti i possibili risultati di un esperimento casuale Spazio campione. Nell'esperimento casuale del lancio di un dadi, lo spazio del campione è:

D = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Da parte sua, al lancio di una valuta lo spazio campione è:

M = faccia, sigillo.

Evento o evento

In un esperimento casuale, a evento È il verificarsi o meno di un certo risultato. Ad esempio, nel caso del lancio di una valuta, un evento o un evento deve essere costoso.

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Un altro evento in un esperimento casuale potrebbe essere il seguente: che al lancio di un dado viene rilasciato un numero inferiore a tre.

Nel caso in cui l'evento abbia luogo, quindi l'insieme di possibili risultati è il set:

E = 1, 2, 3

A sua volta, questo è un sottoinsieme dello spazio o del set di campioni:

M = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Esempi

Di seguito sono riportati alcuni esempi che illustrano quanto sopra:

Esempio 1

Supponiamo che vengano lanciate due monete, una dopo l'altra. È richiesto:

a) Indicare se si tratta di un esperimento casuale o al contrario di un esperimento deterministico.

b) Qual è lo spazio campione di questo esperimento?

c) Indicare l'intero evento A, corrispondente all'esperimento ha un risultato del viso e del timbro.

d) Calcola la probabilità che l'evento si verifichi.

e) Infine, trova la probabilità che l'evento B: non appaia faccia a faccia.

Soluzione 

a) È un esperimento casuale perché non c'è modo di prevedere quale sarà il risultato di un lancio delle due monete.

b) Lo spazio del campione è l'insieme di tutti i risultati possibili:

S = (c, c), (c, s), (s, c), (s, s)

c) L'evento A, nel caso che viene fornito, può avere i seguenti risultati:

A = (c, s), (s, c)

d) La probabilità dell'evento A è ottenuta dalla divisione del numero di elementi del set A tra il numero di elementi dell'insieme corrispondente allo spazio campione:

P (a) = 2/4 = ½ = 0.5 = 50%

e) L'insieme di possibili risultati corrispondenti all'evento B (non appare faccia al risultato) è:

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B = (s, s)

Quindi la probabilità che l'evento B si verifichi in un saggio è il rapporto tra il numero di possibili risultati di B tra il numero di casi totali:

P (b) = ¼ = 0.25 = 25%.

Esempio 2

Una borsa contiene 10 marmi bianchi e 10 marmi neri. Dalla borsa vengono rimossi casualmente e senza guardare all'interno di tre marmi consecutivamente. 

a) Determinare lo spazio campione di questo esperimento casuale.

b) Determinare l'insieme di risultati corrispondenti all'evento che dopo l'esperimento ci sono due marmi neri.

c) L'evento B è ottenere almeno due marmi neri, determinare il set B dei risultati per questo evento.

d) Qual è la probabilità che l'evento abbia luogo?

e) Trova la probabilità che l'evento B.

f) Determinare la probabilità che il risultato dell'esperimento casuale sia che almeno un marmo nero. Questo evento sarà chiamato C.

figura 2. Marmi neri e neri per esperimenti casuali. Fonte: NeedPix.

Soluzione a

Per costruire lo spazio del campione, è utile creare un diagramma ad albero, come quello mostrato nella Figura 3:

Figura 3. Diagramma degli alberi per esempio 2. Preparato da Fanny Zapata.

Il set ω di possibili risultati dell'estrazione di tre marmi da una borsa con lo stesso numero di marmi neri e neri, è proprio lo spazio campione di questo esperimento casuale.

Ω = (b, b, b), (b, b, n), (b, n, b), (b, n, n), (n, b, b), (n, b, n) , (n, n, b), (n, n, n)

Soluzione b

L'insieme di possibili risultati corrispondenti all'evento A, che consiste nell'avere due marmi neri è:

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A = (b, n, n), (n, b, n), (n, n, b)

Soluzione c

L'evento B è definito come: "avere almeno due marmi neri dopo aver fatto l'estrazione casuale di tre di essi". L'insieme di possibili risultati per l'evento B è:

B = (b, n, n), (n, b, n), (n, n, b), (n, n, n)

Soluzione d

La probabilità di avere l'evento A è il rapporto tra il numero di possibili risultati per questo evento e il numero totale di possibili risultati, ovvero il numero di elementi di spazio campione.

P (a) = n (a) / n (ω) = 3/8 = 0.375 = 37.5%

Quindi ce ne sono 37.Probabilità del 5% di avere due marmi neri dopo aver estratto casualmente tre marmi dalla borsa. Ma si noti che in nessun modo possiamo prevedere il risultato esatto dell'esperimento.

Soluzione E

La probabilità che venga dato l'evento B, costituito da almeno un marmo nero è:

P (b) = n (b) / n (ω) = 4/8 = 0.5 = 50%

Ciò significa che la possibilità dell'evento B è uguale alla probabilità che non si verifica. 

Soluzione f

La probabilità di ottenere almeno un marmo nero, dopo averne estrutici tre, è uguale a 1 in meno la probabilità che il risultato sia "i tre marmi bianchi".

P (c) = 1 - p (b b b) = 1 - ⅛ = ⅞ = 0.875 = 87.5%

Ora, possiamo verificare questo risultato, rilevando che il numero di possibilità dato l'evento C è uguale al numero di elementi dei possibili risultati per l'evento C:

C = (b, b, n), (b, n, b), (b, n, n), (n, b, b), (n, b, n), (n, n, b) , (n, n, n)

N (c) = 7

P (c) = n (c) / n (ω) = ⅞ = 87.5%

Riferimenti

1. Canalphi. Esperimento casuale. Recuperato da: YouTube.com.
2. Mathemovil. Esperimento casuale. Recuperato da: YouTube.com
3. Pishro Nick H . Introduzione alla probabilità. Estratto da: ProbabilityCourse.com
4. Ross. Probabilità e statistiche per gli ingegneri. MC-GRAW HILL.
5. Wikipedia. Esperimento (teoria della probabilità). Recuperato da: in.Wikipedia.com
6. Wikipedia. Evento deterministico. Recuperato da: è. Wikipedia.com
7. Wikipedia. Esperimento casuale. Recuperato da: è.Wikipedia.com