Regola di sarro

Regola di sarro. Fonte: Utente: Sevela.P, CC BY-SA 4.0, Wikimedia Commons

Qual è la regola di Sarrus?

IL Regola di sarro È una tecnica per calcolare i determinanti di una matrice quadrata di 3 × 3 o superiore. Questo sistema consente alla soluzione di essere più facilmente. Viene inoltre utilizzato per determinare se i set vettoriali sono linearmente indipendenti e formano la base dello spazio vettoriale.

Queste applicazioni si basano sull'invertibilità delle matrici. Se una matrice è regolare, il suo determinante è diverso da 0. Se è singolare, il suo determinante vale 0. I determinanti possono essere calcolati solo in matrici quadrate.

Per calcolare le matrici di qualsiasi ordine, è possibile utilizzare il teorema di Laplace. Questo teorema ci consente di semplificare le matrici di alte dimensioni, in somme di piccoli determinanti che abbattiamo dalla matrice principale.

Afferma che il fattore determinante di una matrice è uguale alla somma dei prodotti di ciascuna linea o colonna, dal determinante della sua matrice allegata.

Ciò sta riducendo i determinanti, in modo che un determinante di grado n diventi determinanti di N-1. Se applichiamo questa regola in modo successivo, possiamo ottenere determinanti della dimensione 2 (2 × 2) o 3 (3 × 3), dove il suo calcolo è molto più semplice.

Regola di sarro

Pierre Frederic Sarrus (1798-1861) era un matematico francese. La maggior parte dei suoi trattati matematici si basano sui metodi di risoluzione delle equazioni e sul calcolo delle variazioni, all'interno delle equazioni numeriche.

In uno dei suoi trattati, ha risolto uno degli enigmi più complessi della meccanica. Per risolvere i problemi dei pezzi articolati, Sarrus ha introdotto la trasformazione di movimenti rettilinei alternativi, in movimenti circolari uniformi. Questo nuovo sistema è noto come meccanismo Sarrus.

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La ricerca che gli ha dato di più è stata quella in cui ha introdotto un nuovo metodo di calcolo dei determinanti, nell'articolo "Methods Nouvelles Pour La Résolution des équations" ("Nuovo metodo per la risoluzione delle equazioni"), pubblicato nel 1833. Questo modo di risolvere le equazioni lineari è noto come regola di Sarrus.

La regola Sarrus consente di calcolare il fattore determinante di una matrice 3 × 3, senza usare il teorema di Laplace, introducendo un metodo molto più semplice e intuitivo. 

Per essere in grado di verificare il valore della regola Sarrus, prendiamo qualsiasi matrice di dimensione 3:

Il calcolo del suo determinante sarebbe effettuato dal prodotto delle sue diagonali principali, sottraendo il prodotto dalle diagonali inverse. Questo sarebbe il seguente:

La regola Sarrus ci consente di ottenere una visione molto più semplice quando si calcola le diagonali del determinante. Sarebbe semplificato aggiungendo le prime due colonne sul retro della matrice.

In questo modo, è più chiaro sulle sue diagonali principali e che l'inverso, per il calcolo del prodotto.

Attraverso questa immagine possiamo vedere l'applicazione della regola Sarrus, includiamo la riga 1 e 2, sotto la rappresentazione grafica della matrice iniziale. In questo modo, le diagonali principali sono le tre diagonali che appaiono in primo luogo.

Le tre diagonali inverse, a loro volta, sono quelle che appaiono prima nella parte posteriore.

In questo modo, le diagonali appaiono in un modo più visivo, senza complicarsi la risoluzione del determinante, cercando di scoprire quali elementi della matrice appartengono a ciascuna diagonale.

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Come appare nell'immagine, scegliamo le diagonali e calcoliamo il prodotto risultante da ciascuna funzione. Le diagonali che appaiono in blu sono quelle che si sommano. Alla somma di questi, sottraggiamo il valore delle diagonali che appaiono in rosso.

Affinché la compressione sia più semplice, possiamo usare un esempio numerico, invece di usare termini algebrici e termini subter.

Se prendiamo una matrice 3 × 3, ad esempio:

Per applicare la regola Sarrus e risolverla in modo più visivo, dovremmo includere la riga 1 e 2, come riga 4 e 5 rispettivamente. È importante mantenere la riga 1 in 4a posizione e la riga 2 nella 5a. Poiché se li scambiamo, la regola Sarrus non sarà efficace.

Per calcolare il determinante, la nostra matrice sarebbe la seguente:

Per continuare con il calcolo, moltiplicheremo gli elementi delle diagonali principali. La discesa che inizia a sinistra porterà un segno positivo, mentre le diagonali inversa, che sono quelle che iniziano a destra, portano un segno negativo.

In questo esempio, il blu andrebbe con un segno positivo e il rosso con un segno negativo. Il calcolo finale della regola Sarrus rimarrebbe in questo modo:

Ragazzi di determinanti

Determinante della dimensione 1

Se la dimensione della matrice è 1, la matrice è in questo modo: a = (a)

Pertanto, il suo determinante sarebbe il seguente: det (a) = | a | = a

Riassunto, il determinante della matrice A è uguale al valore assoluto della matrice A, che in questo caso è A.

Dimensione determinante 2

Se andiamo alle matrici della dimensione 2, otteniamo matrici del tipo:

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Dove il suo determinante è definito come:

La risoluzione di questo determinante si basa sulla moltiplicazione della sua diagonale principale, sottraendo il prodotto della sua diagonale inversa.

Determinante della dimensione 3

Se la dimensione della matrice è 3, la matrice risultante sarebbe di questo tipo:

Il fattore determinante di questa matrice sarebbe risolto attraverso la regola di Sarrus in questo modo:

Riferimenti

1. Anthony Nicolaides (1994). Determinanti e matrici. PUBBLICAZIONE PASS.
2. M. Casteleiro Villalba (2004). Introduzione all'algebra lineare. Editoriale ESIC.