Quali sono i numeri triangolari? Proprietà e dimostrazioni

È noto come Numeri triangolari alla sequenza di numeri ottenuti facendo una disposizione o una figura dei punti di triangolo equilatero. La prima sequenza sono: 1, 3, 6, 10, 15, 21, ..

Il primo problema triangolare è 1, il secondo è il 3, perché è ottenuto dall'aggiunta di una riga a due punti alla precedente, per formare un triangolo equilatero di tre elementi.

Figura 1. Sequenza dei primi sei numeri triangolari. Fonte: Wikimedia Commons. MelChoir/CC BY-SA (https: // creativeCommons.Org/licenze/by-sa/3.0)

Il terzo è 6, che appare quando si aggiunge una riga di tre punti alla disposizione precedente, in modo che sia formato un triangolo a tre punti per lato. La 10 della sequenza è ottenuta aggiungendo un'altra riga alla disposizione precedente in modo che sia formato un triangolo a quattro punti per lato.

La formula che ti consente di trovare l'elemento N Dalla sequenza triangolare, noto il numero triangolare anteriore è:

T_N = T_N-1 + N

L'elenco dei primi sei numeri triangolari è raggiunto in questo modo:

-Primo: 1

-Secondo: 1 + 2 = 3

-Terzo: (1 +2) + 3 = 3 + 3 = 6

-Camera: (1 + 2 + 3) + 4 = 6 + 4 = 10

-Quinto: (1 + 2 + 3 + 4) + 5 = 10 + 5 = 15

-Sesto: (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + 6 = 15 + 6 = 21

[TOC]

Proprietà dei numeri triangolari

1.- Il numero triangolare N-SIMO TN della sequenza dei numeri triangolari è la metà di N moltiplicata per N+1:

T_N = ½ N (n+1)

2.- La somma del numero triangolare n-ésimo con il numero triangolare anteriore, cioè (n-1) -sheimo, è elevato quadrato:

T_N + T_N-1= n²

3.- La differenza nel numero triangolare n-questo meno il triangolare n-ésimo meno è n:

T_N - T_N-1 = n

4.- La somma dei primi numeri triangolari è chiamata numero tetraedrico SN ed è uguale alla sesta parte del prodotto moltiplicato per (n + 1) e moltiplicata per (n + 2):

Può servirti: tassazione

S_N= ⅙ n (n + 1) (n + 2)

5.- Ogni numero naturale n è il risultato della somma di tre numeri triangolari:

N = Δ1 + Δ1 + Δ3

Quest'ultima proprietà o teorema fu scoperto dal grande matematico Carl Friedrich Gauss nel 1796, che segnò nel suo diario posizionando l'ammirazione greca Eureka! cosa significa "L'ho raggiunto".

Quella era la stessa parola usata molto prima dagli Archimede greci quando determinò il peso apparente di un corpo sommerso.

In questa relazione, il numero zero viene preso come triangolare e potrebbe esserci ripetizione.

Dimostrazioni

- Dimostrazione 1

Dimostrare che il numero triangolare N-Questo è:

T_N = ½ N (n+1)

È facile dedurre la formula precedente, se ci rendiamo conto che possiamo aggiungere lo stesso numero di punti alla disposizione triangolare per formare un quadrilatero di punti.

Poiché il numero totale di punti di accordo sotto forma di un quadrilatero è il numero di righe N moltiplicato per il numero di colonne (N+1), Quindi la disposizione triangolare avrà solo la metà dei punti della disposizione sotto forma di un quadrilatero.

Qui è illustrato nella Figura 2.

figura 2. Disposizione a forma di quadrato in cui il numero totale di punti è il numero di righe n moltiplicato per il numero di colonne n+1. Il numero totale di punti è anche il doppio di quello della disposizione triangolare. Fonte: Wikimedia Commons.

- Dimostrazione 2

Dimostra che la somma di N-Questo numero triangolare con il N-Il meno uno Il numero triangolare è N quadrato:

T_N + T_N-1= n²

È già stato dimostrato che il numero triangolare N-Questo è dato da:

T_N= ½ N (n+1)

Pertanto, il numero triangolare anteriore è:

T_N-1 = ½ (n-1) ((n-1) + 1) = ½ N (n-1)

La somma di entrambi i resti:

T_N + T_N-1 = ½ N (n + 1) + ½ N (n - 1)

½ N viene preso per ottenere:

T_N + T_N-1 = ½ N [(n + 1) + (n - 1) = ½ N [n + 1 + n - 1]

E immediatamente l'espressione è semplificata all'interno della staffa:

Può servirti: stima per intervalli

T_N + T_N-1 = ½ N [2 n] = ½ 2 n ⋅ n

Ora, ricordando che ½ per 2 è 1 e che n per n è n quadrato, hai:

T_N + T_N-1 = n²

Questa proprietà può anche essere dimostrata geometrica, il triangolo viene semplicemente completato per formare un quadrato, come mostrato nella Figura 3.

Figura 3. La somma del numero triangolare N-ésimo con il numero triangolare anteriore è uguale a N Square. Fonte: Wikimedia Commons.

- Dimostrazione 3

La differenza nel numero triangolare di ordine N meno il numero triangolare di ordine N-1 è n:

T_N - T_N-1 = n

Questo può essere testato semplicemente ricordando che il seguente numero triangolare è ottenuto da quello precedente attraverso la formula:

T_N = T_N-1 + N

E da lì è evidente T_N - T_N-1 = n. È anche facile visualizzarlo graficamente, come mostrato nella Figura 4.

Figura 4. La differenza del numero triangolare di ordine n meno il triangolare anteriore dell'ordine N-1 è n. Fonte: Wikimedia Commons.

- Dimostrazione 5

La somma dei primi numeri triangolari SN È uguale alla sesta parte del prodotto moltiplicato per (n + 1) e moltiplicato per (n + 2):

S_N = ⅙ n (n + 1) (n + 2)

Usiamo il numero triangolare di ordine n: T_N= ½ N (n+1). La somma del primo N I numeri triangolari lo indicheranno S_N  

Per esempio, S₁ significa la somma del primo problema triangolare, che sarà senza dubbio 1.

Quindi vediamo se la formula che proviamo a provare viene rispettata con n = 1:

S₁ = ⅙ 1⋅2⋅3 = 1

In effetti, la formula per n = 1 è controllata. È facile visualizzare che la somma dei primi numeri triangolari N+1 sarà la somma del primo N più il prossimo numero triangolare:

S_N+1 = S_N + T_N+1

Supponiamo ora la formula di S_N È soddisfatto per n, quindi lo sostituiamo nell'espressione precedente e aggiungiamo il numero triangolare di ordine N+1:

S_N+1 = [⅙ n (n + 1) (n + 2)] + [½ (n + 1) (n + 2)]]

Può servirti: linea perpendicolare: caratteristiche, esempi, esercizi

Guardiamo passo dopo passo ciò che si ottiene:

-Eseguiamo la somma delle due espressioni frazionarie:

S_N+1 = [2 N (n + 1) (n + 2) + 6 (n + 1) (n + 2)] /12 

-Viene rimosso dal numeratore comune a 2 (n + 1) (n + 2) e semplifica:

S_N+1 = 2 (n + 1) (n + 2) [n +3] / 12 = (n + 1) (n + 2) (n +3) / 6

Il risultato precedente concorda con la formula SN Se N+1 viene sostituito, che è stato dimostrato per induzione la formula della somma dei primi termini triangolari.

Numero tetraedrico

Il risultato ottenuto è chiamato Numero tetraedrico di ordine n, Perché è come accumulare strati triangolari che formano un tetraedro, come mostrato nella seguente animazione.

Figura 5. La somma di n numeri triangolari corrisponde alla pila di strati di N, n-1, ..., 1 triangoli che formano un normale tetraedro. Fonte: Wikimedia Commons.

Riferimenti

1. Camacho J. Un'apparizione insospettata di numeri triangolari. Recuperato da: Masscience.com
2. Claudio. Numeri triangolari. Recuperato da: semplicemente numeri. Blogspot. com
3. Wikipedia. Numero triangolare. Recuperato da: è.Wikipedia.com
4. Wikipedia. Numero triangolare. Recuperato da: in.Wikipedia.com
5. Wikipedia. Numero tretraedrico. Recuperato da: in.Wikipedia.com