Coplanares punti Equazione, esempio ed esercizi risolti

IL Punti Coplanares Appartengono tutti allo stesso piano. Due punti sono sempre complani, poiché questi punti definiscono una linea attraverso la quale passano gli infiniti piatti. Quindi, entrambi i punti appartengono a ciascuno dei piani che passano attraverso la linea e quindi saranno sempre Coplanes.

D'altra parte, tre punti definiscono un singolo piano, di cui è seguito che tre punti saranno sempre complani sul piano che determinano.

Figura 1. A, B, C e D sono coplani sul piano (ω). E, f e g non sono complani a (ω) ma se sono complani sul piano che tre definiscono. Fonte: f. Zapata.

Più di tre punti possono essere coplanari o no. Ad esempio nella Figura 1, i punti A, B, C e D sono complani sul piano (ω). Ma e, f e g non sono complani a (ω), sebbene siano complani sul piano che tre definiscono.

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Equazione di un piano date tre punti

L'equazione di un piano determinato da tre punti noti A, B, C è una relazione matematica che garantisce che qualsiasi punto p di coordinate generiche (x, y, z) che soddisfa l'equazione appartiene a detto piano. 

L'affermazione precedente è equivalente a dire che se P di coordinate (x, y, z) incontra l'equazione del piano, allora detto punto sarà di Cocatar con i tre punti A, B, C che hanno determinato il piano.

Per trovare l'equazione di detto aereo, iniziamo trovando i vettori Ab E AC:

Ab = [Bx - ax, by - ay, bz - az]

AC = [CX - AX, CY - AY, CZ - AZ]

Il prodotto vettoriale Ab X AC Si traduce in un vettore perpendicolare o normale sul piano determinato dai punti A, B, C.

Un punto di coordinate (x, y, z) appartiene al piano se è vero che il vettore Ap è perpendicolare al vettore Ab X AC, che è garantito se soddisfatto:

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AP • (AB X AC) = 0

Ciò equivale a dire che il triplo prodotto di Ap, Ab E AC Sii nullo. L'equazione precedente può essere scritta in modo matrice:

Esempio

Lascia che i punti A (0, 1, 2); B (1, 2, 3); C (7, 2, 1) e D (A, 0, 1). Quale valore dovrebbe avere A in modo che i quattro punti siano complaniosi?

Soluzione

Per trovare il valore di A è necessario che il punto D sia parte del piano determinato da A, B e C, che è garantito se l'equazione del piano si incontra.

Sviluppare il determinante che abbiamo:

A (-1-1) + 1 (-1 -7) -1 (1 -7) = -2a -8 + 6 = -2a -2 = 0

L'equazione precedente lo indica A = -1 Per soddisfare l'uguaglianza. In altre parole, l'unico modo in cui quel punto d (A, 0.1) essere coplanato con i punti A, B e C è quello A Valga -1. Altrimenti non sarà coplanar.

Esercizi risolti

- Esercizio 1

Un piano interseca rispettivamente gli assi cartesiani x, y, z in 1, 2 e 3. L'intersezione di detto piano con gli assi determina i punti A, B e C. Trova il componente DZ di un punto D, i cui componenti cartesiani sono:

 D (-dz, dz+1, dz) 

A condizione che D sia coplanar con i punti A, B e C. 

Soluzione

Quando sono note le intercettazioni di un piano con gli assi cartesiani, è possibile utilizzare la forma segmentaria dell'equazione del piano:

x/1 + y/2 + z/3 = 1

Poiché il punto D deve appartenere al piano precedente, devi:

-Dz/1 + (dz + 1)/2 + dz/3 = 1

Vale a dire:

-Dz + dz/2 + ½ + dz/3 = 1

Dz (-1 + ½ + ⅓) = ½ 

Dz (-1/6⅙) = ½ 

Dz = -3 

Da quanto sopra segue quel punto d (3, -2, -3) è accoppiarsi con i punti A (1, 0, 0); B (0, 2, 0) e C (0, 0, 3).

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- Esercizio 2

Determinare se i punti A (0, 5, 3); B (0, 6, 4); C (2, 4, 2) e D (2, 3, 1) sono Coplanes.

Soluzione

Formiamo la matrice i cui ranghi sono le coordinate di D-A, B-A e C-A. Quindi il determinante viene calcolato e viene verificato se zero.

Dopo aver eseguito tutti i calcoli, si è concluso che sono Coplanes.

- Esercizio 3

Due righe sono riportate nello spazio. Uno di questi è la linea (R) la cui equazione parametrica è:

(R): x = 1 + 2 λ; y = 1 - λ; Z = 1

E l'altro è la linea (i) la cui equazione è:

(S): x + 2 y = 1; Z = -1

Dimostrare che (r) e (s) sono dritti del coplanarium, cioè sono nello stesso piano.

Soluzione

Iniziamo arbitrariamente due punti sulla linea (R) e due sulla linea: i:

Dritto (r): λ = 0; A (1, 1, 1) e λ = 1; B (3, 0, 1)

Facciamo x = 0 sulla linea (i)=> y = ½; C (0, ½, -1). E d'altra parte, se lo facciamo y = 0 => x = 1; D (1, 0, -1).

Cioè, abbiamo preso i punti A e B che appartengono alla linea (R) e ai punti C e D che appartengono alla linea (i). Se quei punti sono coplanare, allora le due linee saranno.

Ora scegliamo di indicare un perno e quindi troviamo le coordinate dei vettori Ab, AC E ANNO DOMINI. In questo modo ottieni:

B - A: (3-1, 0 -1, 1 - 1) => Ab= (2, -1, 0)

C -A: (0-1, 1/2 -1, -1 -1) => AC= (-1, -1/2, -2)

D -a: (1-1, 0 -1, -1 -1) => ANNO DOMINI= (0, -1, -2)

Il prossimo passo è costruire e calcolare il determinante la cui prima riga sono i coefficienti vettoriali Ab, La seconda fila è quella di AC e la terza fila di quelli del vettore ANNO DOMINI:

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Man mano che il determinante si rivela nullo, allora possiamo concludere che i quattro punti sono complanari. Inoltre, si può dire che le linee (R) e (S) sono anche Coplanes.

- Esercizio 4

Le linee (r) e (s) sono complanare, come dimostrato nell'esercizio 3. Trova l'equazione del piano che li contiene.

Soluzione

I punti A, B, C definiscono completamente quel piano, ma vogliamo imporre che qualsiasi punto x di coordinate (x, y, z) appartenga allo stesso.

X - a: (x -1, y -1, z - 1) => Ascia= (X -1, y -1, z -1)

B - A: (3-1, 0 -1, 1 - 1) => Ab= (2, -1, 0)

C -A: (0-1, 1/2 -1, -1 -1) => AC= (-1, -1/2, -2)

In modo che x appartiene al piano definito da A, B, C e in cui sono contenute le linee (R) e (S), è necessario che il determinante formato nella sua prima riga sia annullato dai componenti di Ascia, nel secondo da quelli di Ab E nel terzo da quelli di AC:

A seguito di questo risultato, raggruppiamo in questo modo:

2 (x-1) + 4 (y-1) -2 (z-1) = 0

E immediatamente si vede che può essere riscritto in questo modo:

x - 1 + 2y - 2 - z + 1 = 0

Pertanto x + 2y - z = 2 è l'equazione del piano che contiene le linee (r) e (s).

Riferimenti

1. Fleming, w. 1989. Matematica prealculus. Prentice Hall PTR.
2. Kolman, n. 2006. Algebra lineare. Pearson Education.
3. Leale, j. M. 2005. Geometria analitica piatta. Mérida - Venezuela: editoriale venezuelano C. A.
4. Navarro, Rocio. I vettori. Recuperato da: libri.Google.co.andare.
5. Pérez, c. D. 2006. Precalcolazione. Pearson Education.
6. Prenowitz, w. 2012. Concetti di base della geometria. Rowman e Littlefield.
7. Sullivan, m. 1997. Precalcolazione. Pearson Education.