Probabilità teorica come tirarlo fuori, esempi, esercizi

IL Probabilità teorica (o di Laplace) che si verifica un evento che appartiene a uno spazio di campionamento S, in cui tutti gli eventi hanno la stessa probabilità di occorrenza, è definito in notazione matematica come: p (e) = n (e) / n ( S)

Dove p (e) è la probabilità, indicata come il rapporto tra il numero totale di possibili risultati dell'evento E, che chiamiamo n (e), diviso per il numero totale n (s) di possibili risultati nello spazio campione s.

Figura 1. Al lancio di un dadi a sei lettere, la probabilità teorica che il viso con tre punti sia in alto è ⅙. Fonte: Pixabay.

La probabilità teorica è un numero reale tra 0 e 1, ma è spesso espressa sotto forma di percentuale, nel qual caso la probabilità sarà un valore compreso tra 0% e 100%.

Il calcolo della probabilità di verificarsi di un evento è molto importante in molti campi, come l'attività del mercato azionario, le compagnie assicurative, il gioco d'azzardo e molti altri.

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Come ottenere la probabilità teorica?

Un caso illustrativo è il caso di Rifas o Lotterie. Supponiamo che 1.000 biglietti per Rifar uno smartphone. Poiché la lotteria viene eseguita in modo casuale, uno qualsiasi dei biglietti ha la stessa possibilità di essere un vincitore. 

Per trovare la probabilità che una persona che acquista un biglietto con il numero 81 sia vincitore, il seguente calcolo di Probabilità teorica:

P (1) = 1/1.000 = 0,001 = 0,1%

Il risultato precedente viene interpretato come segue: se la lotteria viene ripetuta infinitamente, ogni 1.000 volte il biglietto 81 verrebbe selezionato, in media, una volta.

Se per qualsiasi motivo qualcuno acquisisce tutti i biglietti è certo che vincerà il premio. La probabilità di vincere il premio se hai tutti i biglietti calcolati come segue:

Può servirti: perimetro del cerchio: come eliminarlo e formule, risoluzione degli esercizi

P (1.000) = 1.000/1.000 = 1 = 100%.

Cioè, quale probabilità 1 o 100% significa che è totalmente sicuro che si verifichi questo risultato.

Se qualcuno possiede 500 biglietti, le possibilità di vincere o perdere sono le stesse. La probabilità teorica di vincere il premio in questo caso viene calcolata come segue:

P (500) = 500/1.000 = ½ = 0,5 = 50%.

Chi non acquista alcun biglietto non ha alcuna possibilità di vincere e la sua probabilità teorica è determinata in questo modo:

 P (0) = 0 /1.000 = 0 = 0%

Esempi

Esempio 1

Hai una valuta con costoso da un lato e scudo o sigillare nell'altro. Quando viene lanciata la valuta, qual è la probabilità teorica di essere costosa?

P (costoso) = n (costoso) / N ( faccia + scudo ) = ½ = 0,5 = 50%

Il risultato viene interpretato come segue: se veniva effettuato un numero enorme di versioni, in media in ogni 2 tiri affronterebbe.

In termini percentuali, l'interpretazione del risultato è che fare un numero infinitamente elevato di lanci, in media ogni 100 dei loro 50 si tradurrebbe in costosi.

Esempio 2

In una scatola ci sono 3 marmi blu, 2 marmi rossi e 1 verde. Qual è la probabilità teorica che quando si ottiene un marmo dalla scatola è rosso?

figura 2. Probabilità di estrazione di marmi di colore. Fonte: f. Zapata.

La probabilità che arriva rosso è:

P (rosso) = numero di casi favorevoli / numero di casi possibili

Vale a dire:

P (rosso) = numero di marmi rossi / numero totale di marmi

Infine, la probabilità che un marmo rosso sia:

P (rosso) = 2/6 = ⅓ = 0,3333 = 33,33%

Mentre la probabilità che estraendo un marmo verde sia:

P (verde) = ⅙ = 0,1666 = 16,66%

Infine, la probabilità teorica di ottenere in un'estrazione cieca un marmo blu è: 

P (blu) = 3/6 = ½ = 0,5 = 50%

Può servirti: proprietà radicali

Cioè, di ogni 2 tentativi il risultato sarà blu in uno di essi e un altro colore in un altro tentativo, sotto la premessa che il marmo estratto venga reintegrato e che il numero di prove è molto, molto grande.

Esercizi

Esercizio 1

Determinare la probabilità che quando si lancia un dado, un valore si ottiene meno o uguale a 4.

Soluzione

Per calcolare la probabilità che si verifichi questo evento, si applica la definizione di probabilità teorica:

P (≤4) = numero di casi / numero favorevole di casi possibili

P (≤5) = 5/6 = = 83,33%

Esercizio 2

Trova la probabilità che in due tiri consecutivi di un dadi normali a sei leva, 2 volte 2 volte.

Soluzione

Per rispondere a questo esercizio, è conveniente fare un'immagine per mostrare tutte le possibilità. La prima figura indica il risultato dei primi dadi e il secondo il risultato dell'altro.

Per calcolare la probabilità teorica dobbiamo conoscere il numero totale di casi possibili, in questo caso, come si può vedere dalla tabella precedente, ci sono 36 possibilità.

Osservando anche il dipinto segue che il numero di casi favorevoli all'evento che nelle due uscite consecutive arriva 5 è solo 1, evidenziata con il colore, quindi la probabilità che questo evento si verifichi è:

P (5 x 5) = 1/33.

Questo risultato avrebbe potuto essere raggiunto anche usando una delle proprietà della probabilità teorica, che afferma che la probabilità combinata di due eventi indipendenti è il prodotto delle loro probabilità individuali.

In questo caso la probabilità che nella prima versione 5 sia ⅙. Il secondo lancio è completamente indipendente dal primo, quindi la probabilità che 5 nel secondo sia anche ⅙. Quindi la probabilità combinata è:

Può servirti: derivati ​​parziali: proprietà, calcolo, esercizi

P (5 × 5) = P (5) P (5) = (1/6) (1/6) = 1/36.

Esercizio 3

Trova la probabilità che un numero inferiore a 2 esca nel primo lancio e nel secondo un numero maggiore di 2 esce. 

Soluzione

Ancora una volta devi costruire una possibile tabella degli eventi, in cui quelli in cui il primo lancio era inferiore a 2 e nel secondo più in alto di 2 sono sottolineate.

In totale ci sono 4 possibilità di un totale di 36. In altre parole, la probabilità di questo evento è:

P (2) = 4/36 = 1/9 = 0.1111 = 11,11%

Utilizzando il teorema delle probabilità che afferma:

La probabilità di occorrenza di due eventi indipendenti è uguale al prodotto delle probabilità individuali.

Si ottiene un risultato identico:

P (2) = (1/6) (4/6) = 4/36 = 0.1111 = 11,11%

Il valore ottenuto con questa procedura coincide con il risultato precedente, attraverso la definizione teorica o classica di probabilità.

Esercizio 4

Qual è la probabilità che lanciando due data la somma dei valori è 7.

Soluzione

Per trovare la soluzione in questo caso, è stata sviluppata un'immagine di possibilità in cui i casi che soddisfano le condizioni dei valori sono 7 sono stati indicati a colori.

Guardando il tavolo, possono essere conteggiati 6 casi possibili, quindi la probabilità è:

P (R & D II: 7) = 6/36 = 1/6 = 0,1666 = 16,66%

Riferimenti

1. Canavos, g. 1988. Probabilità e statistiche: applicazioni e metodi. McGraw Hill.
2. Devore, j. 2012. Probabilità e statistiche per l'ingegneria e la scienza. 8 °. Edizione. Cengage.
3. Lipschutz, s. 1991. Serie Schaum: probabilità. McGraw Hill.
4. OBREGón, i. 1989.Teoria della probabilità. Limusa editoriale.
5. Walpole, r. 2007. Probabilità e statistiche per l'ingegneria e la scienza. Pearson.