Permutazioni senza formule di ripetizione, dimostrazione, esercizi, esempi

UN Permutazione senza ripetizione di n elementi sono i diversi gruppi di diversi elementi che possono essere ottenuti dal non ripetere alcun elemento, variando solo l'ordine di posizionamento degli elementi.

Per formare una permutazione senza ripetizione di n elementi, i gruppi di N elementi devono essere costruiti senza essere ripetuti. Ad esempio: supponiamo che tu voglia conoscere il numero di permutazioni o numeri di quattro figure diverse che possono essere formate con il numero 2468 cifre.

Per scoprire il numero di permutazioni senza ripetizione, viene utilizzata la seguente formula: 

Pn = n! 

Che espanse sarebbe pn = n!  = N (n - 1) (n - 2)… (2) (1).

Quindi nel precedente esempio pratico si applicherebbe come segue:

P4 = 4*3*2*1 = 24 numeri diversi di 4 cifre.

Questi sono gli accordi 24 in totale: 2468, 2486, 2648, 2684, 2846, 2864, 4268, 4286, 4628, 4682, 4826, 4862, 6248, 6284, 6428, 6482, 6824, 6842, 8246, 8264, 8426, 8426, 8426 8462, 8624, 8642.

Come si può vedere, in ogni caso non c'è ripetizione, essendo 24 numeri diversi.

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Dimostrazione e formule

24 arrangiamenti di 4 figure diverse

Analizzeremo più specificamente l'esempio delle 24 diverse disposizioni di 4 figure che possono essere formate con le cifre numero 2468. La quantità di accordi (24) può essere nota come segue:

Hai 4 opzioni per selezionare la prima cifra, che lascia 3 opzioni per selezionare il secondo. Sono già state impostate due cifre e vengono lasciate 2 opzioni per selezionare la terza cifra. L'ultima cifra ha solo un'opzione di selezione.

Pertanto, il numero di permutazioni, indicate da P4, è ottenuto dal prodotto delle opzioni di selezione in ciascuna posizione:

P4 = 4*3*2*1 = 24 numeri diversi di 4 cifre

In generale, il numero di diverse permutazioni o accordi che possono essere presi con tutti gli elementi N di un determinato set è:

Pn = n!  = N (n - 1) (n - 2)… (2) (1)

L'espressione n!  È noto come fattoriale e significa il prodotto di tutti i numeri naturali tra il numero N e il numero uno, inclusi entrambi.

12 disposizioni di 2 figure diverse

Supponiamo ora di voler conoscere il numero di permutazioni o numeri di due diverse figure che possono essere formate con le cifre numero 2468.

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Questi sarebbero 12 accordi in totale: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86

Hai 4 opzioni per selezionare la prima cifra, che lascia 3 cifre per selezionare la seconda. Pertanto, il numero di permutazioni delle 4 cifre prese da due per due, indicate da 4p2, è ottenuto dal prodotto delle opzioni di selezione in ciascuna posizione:

4p2 = 4*3 = 12 diversi numeri di 2 cifre

In generale, il numero di permutazioni o accordi diverse che possono essere prese con elementi R in totale in un determinato set è:

Npr = n (n - 1) (n - 2)… [n - (r - 1)]

L'espressione precedente viene troncata prima di riprodurre n!.  Per completare n!  Da esso dovremmo scrivere:

N!  = N (n -1) (n -2)… [n -(r -1) (n -r)… (2) (1)

I fattori che aggiungiamo, a loro volta, rappresentano un fattoriale:

(n -r)… (2) (1) = (n -r)!

Perciò,

N!  = N (n - 1) (n - 2)… [n - (r - 1) (n - r)… (2) (1) = n (n - 1) (n - 2)… [n - ( R -1)] (n -r)!

Da qui

N!/(N -r)!  = N (n - 1) (n - 2)… [n - (r - 1)] = npr

Esempi

Esempio 1

Quante combinazioni di lettere diverse da 5 lettere possono essere costruite con le lettere della parola chiave?

Vuoi trovare il numero di combinazioni di lettere diverse da 5 lettere che possono essere costruite con le 5 lettere della parola chiave; Cioè, il numero di accordi a 5 -leT che coinvolgono tutte le lettere disponibili nella parola chiave.

N ° 5 parole di lettere = p5 = 5!  = 5*4*3*2*1 = 120 combinazioni di lettere diverse da 5 lettere.

Questi sarebbero: chiave, velac, lcaev, vleac, ecvlac ... fino a 120 combinazioni di diverse lettere in totale.

Esempio 2

Hai 15 palline numerate e vuoi sapere quanti altri gruppi di 3 palline possono essere costruiti con le 15 palle numerate?

Vuoi trovare il numero di gruppi di 3 palline che possono essere realizzati con le 15 palle numerate.

Numero di gruppi di 3 palle = 15p3 = 15!/(15 - 3)!

N ° di gruppi di 3 palline = 15*14*13 = 2730 gruppi di 3 palline

Esercizi risolti

Esercizio 1

Un negozio di frutta ha uno stand esposts che consiste in una fila di scomparti situati nell'ingresso nei locali. In un giorno, il negozio di frutta acquisisce in vendita: arance, banane, ananas, pere e mele.

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a) Quanti modi diversi hai per ordinare lo stand della mostra?

b) Quante forme diverse deve ordinare lo stand se oltre ai suddetti frutti (5), ha ricevuto quel giorno: mango, pesche, fragole e uva (4)?

a) vuoi trovare il numero di modi diversi per ordinare tutti i frutti nella riga della mostra; Cioè, il numero di disposizioni di 5 articoli di frutta che coinvolgono tutti i frutti disponibili per la vendita in quel giorno.

Accordi di supporto Numero = P5 = 5!  = 5*4*3*2*1

Accordi di stand Numero = 120 modi per presentare lo stand

b) vuoi trovare il numero di modi diversi per ordinare tutti i frutti nella riga della mostra se sono stati aggiunti 4 elementi aggiuntivi; Cioè, il numero di disposizioni di 9 articoli di frutta che coinvolgono tutti i frutti disponibili per la vendita in quel giorno.

Accordi di stand No! = 9*8*7*6*5*4*3*2*1

Accordi di stand n. 362.880 modi per presentare lo stand

Esercizio 2

Un piccolo posto di vendita alimentare ha un sacco di terra con abbastanza spazio per parcheggiare 6 veicoli.

a) Quante diverse forme di veicoli nel lotto terrestre possono essere selezionati?

b) Supponiamo che venga acquisito un lotto di terra adiacente le cui dimensioni consentono di parcheggiare 10 veicoli, quante diverse forme di ordinazione dei veicoli ora possono essere selezionate?

a) Vuoi trovare il numero di modi diversi di ordinare nel lotto di terra i 6 veicoli che possono essere ospitati.

N ° di disposizioni dei 6 veicoli = P6 = 6! = 6*5*4*3*2*1

N ° di disposizioni dei 6 veicoli = 720 diversi modi per ordinare i 6 veicoli nel lotto di terra.

b) Vuoi trovare il numero di modi diversi di ordinare nel lotto di terra i 10 veicoli che possono essere ospitati dopo l'espansione del lotto di terra.

N ° di disposizioni dei 10 veicoli = P10 = 10!

Numero di disposizione del veicolo = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1

N ° di disposizioni dei 10 veicoli = 3.628.800 modi diversi di ordinare i 10 veicoli nel lotto di terra.

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Esercizio 3

Un fiorista ha fiori di 6 colori diversi per creare bandiere floreali di nazioni che hanno solo 3 colori. Se è noto che l'ordine dei colori è importante nelle bandiere,

a) Quante bandiere diverse di 3 colori possono essere realizzate con i 6 colori disponibili?

b) Il venditore acquisisce fiori di altri 2 colori per i 6 che già avevano, ora quante bandiere diverse da 3 colori possono essere fatte?

c) Poiché ha 8 colori decide di espandere la sua offerta di bandiere, quante diverse bandiere di 4 colori possono preparare?

d) Quanti di 2 colori?

a) Vuoi trovare la quantità di bandiere diverse da 3 colori che possono essere realizzate selezionando i 6 colori disponibili.

N ° di flag di 3 colorate = 6p3 = 6!/(6 - 3)!

N ° di flag colorate da 3 = 6*5*4 = 120 flags

b) Vuoi trovare la quantità di bandiere diverse da 3 colori che possono essere realizzate selezionando gli 8 colori disponibili.

N ° di flags 3 -colorati = 8p3 = 8!/(8 - 3)!

N ° di flag colorate da 3 = 8*7*6 = 336 flags

c) La quantità di bandiere diverse da 4 colori che possono essere preparate selezionando gli 8 colori disponibili deve essere calcolata.

N ° di flag colorate da 4 = 8p4 = 8!/(8 - 4)!

Numero flag di 4 -colorato = 8*7*6*5 = 1680 flags

d) Si desidera determinare la quantità di bandiere diverse da 2 colori che possono essere preparate selezionando gli 8 colori disponibili.

2 flag colorati numero = 8p2 = 8!/(8 - 2)!

Numero flags colorato 2 = 8*7 = 56 flags

Riferimenti

1. Boada, a. (2017). Uso della permutazione con la ripetizione come esperimenti di insegnamento. Rivista Vivat Academy. Recuperato da ResearchGate.netto.
2. Canavos, g. (1988). Probabilità e statistica. Applicazioni e metodi. McGraw-Hill/Inter-American dal Messico S. A. di c. V.
3. Vetro, g.; Stanley, J. (millenovecentonovantasei). Metodi statistici non applicati alle scienze sociali. Hall Hall di Hispanoamerican Hall. A.
4. Spiegel, m.; Stephens, l. (2008). Statistiche. Quarta ed. McGraw-Hill/Inter-American dal Messico S. A.
5. Walpole, r.; Myers, r.; Myers, s.; Ye, ka. (2007). Probabilità e statistiche per ingegneri e scienziati. Ottava ed. Pearson Education International Prentice Hall.
6. Webster, a. (2000). Statistiche applicate alle imprese ed economiche. Terzo ed. McGraw-Hill/Inter-American S. A.
7. (2019). Permutazione. Recuperato da.Wikipedia.org.