Permutazioni circolari Dimostrazione, esempi, esercizi risolti

IL Permutazioni circolari Sono diversi tipi di gruppi di tutti gli elementi di un set, quando devono essere ordinati in cerchio. In questo tipo di permutazione le importazioni dell'ordine e gli elementi non vengono ripetuti.

Ad esempio, supponiamo di voler conoscere il numero di accordi diversi dalle cifre da una a quattro, posizionando ogni numero in uno dei vertici di un rombo. Questi sarebbero 6 accordi in totale:

Non si dovrebbe confondere che il numero uno sia nella posizione superiore del rombo in tutti i casi come posizione fissa. Le permutazioni circolari non cambiano a causa della svolta della disposizione. Di seguito sono riportati una o la stessa permutazione:

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Dimostrazione e formule

Nell'esempio delle diverse disposizioni circolari di 4 cifre situate nei vertici di un rombo, il numero di accordi (6) è disponibile in questo modo:

1- Una qualsiasi delle quattro cifre viene presa come punto di partenza in uno qualsiasi dei vertici e il vertice successivo è avanzato. (È indifferente se viene girato nella direzione dell'orologio o nella direzione opposta all'orologio)

2- Esistono 3 opzioni per selezionare il secondo vertice, quindi ci sono 2 opzioni per selezionare il terzo vertice e, ovviamente, esiste solo un'opzione di selezione per il quarto vertice.

3- Pertanto, il numero di permutazioni circolari, indicato da (4 - 1) P (4 - 1), è ottenuto dal prodotto delle opzioni di selezione in ciascuna posizione:

(4 - 1) P (4 - 1) = 3*2*1 = 6 disposizioni circolari diverse da 4 cifre.

In generale, il numero di permutazioni circolari che possono essere raggiunte con tutti gli elementi N di un set è:

(N - 1) p (n - 1) = (n - 1)!  = (N - 1) (n - 2)… (2) (1)

Rivedilo (n -1)!  È noto come fattoriale e abbrevia il prodotto di tutti i numeri dal numero (n -1) al numero uno, entrambi inclusi.

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Esempi

Esempio 1

Quanti modi diversi hanno 6 persone da sedersi in un tavolo circolare?

Vuoi trovare il numero di modi diversi in cui 6 persone possono sedersi attorno a una tavola rotonda.

N ° di modi di sedersi = (6 - 1) P (6 - 1) = (6 - 1)!

No. di modi di sedersi = 5*4*3*2*1 = 120 modi diversi

Esempio 2

Quanti modi diversi hanno 5 persone da individuare nei vertici di un Pentagono?

Viene ricercato il numero di modi in cui 5 persone possono trovarsi in ciascuno dei vertici di un Pentagono.

N ° di modi di trovarsi = (5 - 1) P (5 - 1) = (5 - 1)!

N ° di modi di trovarsi = 4*3*2*1 = 24 forme diverse

Esercizi risolti

- Esercizio 1

Un gioielliere acquisisce 12 diverse pietre preziose per localizzarle nei punti delle ore di un orologio che si sta preparando per la casa reale di un paese europeo.

a) Quanti modi diversi devi ordinare le pietre sull'orologio?

b) Quante forme diverse hai se la pietra che va a 12 è unica?

c) quante forme diverse se la pietra dei 12 è unica e le pietre degli altri tre punti cardinali, 3, 6 e 9; Ci sono tre pietre particolari, che possono essere scambiate e il resto delle ore è assegnato al resto delle pietre?

Soluzioni

a) il numero di modi per ordinare tutte le pietre; Cioè, il numero di disposizioni circolari che coinvolgono tutte le pietre disponibili.

Numero di accordi nell'orologio = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

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Numero di accordi nell'orologio = 11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1

N ° di accordi nell'orologio = 39976800 forme diverse

b) si chiede quanti modi diversi di ordinare esistono sapendo che la pietra della maniglia dei 12 è unica e fissa; Cioè, il numero di disposizioni circolari che coinvolgono le restanti 11 pietre.

N ° di accordi nell'orologio = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

Numero di accordi nell'orologio = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1

N ° di accordi nell'orologio = 3628800 forme diverse

c) Infine, il numero di modi per ordinare tutte le pietre è ricercato ad eccezione della pietra dei 12 fissi, le pietre delle 3, 6 e 9 che hanno 3 pietre da assegnare tra loro; cioè 3! possibilità di disposizione e il numero di accordi circolari che coinvolgono le restanti 8 pietre.

N ° di disposizioni nell'orologio = 3!*[(8-1) p (8-1)] = 3!*(8-1)!

Numero di accordi nell'orologio = (3*2*1) (8*7*6*5*4*3*2*1)

N ° di accordi nell'orologio = 241920 forme diverse

- Esercizio 2

Il comitato direttivo di una società è composto da 8 membri e si riunisce su un tavolo ovale.

a) Quante diverse forme di pianificazione attorno al tavolo ha il comitato?

b) Supponiamo che il presidente sia a capo del tavolo in qualsiasi accordo del comitato, quante diverse forme di pianificazione hanno il resto del comitato?

c) Supponiamo che il vicepresidente e il segretario si sentono in qualsiasi accordo del comitato, quante diverse forme di pianificazione fa il resto del comitato?

Soluzioni

a) Vuoi trovare il numero di modi diversi per ordinare i 12 membri del comitato attorno alla tabella ovale.

Accordi del comitato n. (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

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Accordi del comitato Numero = 11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1

Accordi del comitato Numero = 39976800 Moduli diversi

b) Poiché il presidente del comitato si trova in una posizione fissa, viene richiesto il numero di modi per ordinare i restanti membri del comitato attorno alla tabella ovale.

Accordi del comitato n. (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

Accordi del comitato Numero = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1

Accordi del comitato n. 3628800 Moduli diversi

c) Il presidente si trova in una posizione fissa e ai lati sono vicepresidente e segretario con due possibilità di accordo: vicepresidente a destra e segretario a sinistra o vicepresidente a sinistra e segretario a destra. Quindi vuoi trovare il numero di modi diversi per ordinare i restanti 9 membri del comitato attorno alla tabella ovale e moltiplicando per le 2 forme di accordi che il vicepresidente e il segretario hanno.

Accordi del comitato n. 2*[(9-1) p (9-1)] = 2*[(9-1)!"

Accordi del comitato n. 2*(8*7*6*5*4*3*2*1)

Accordi del comitato Numero = 80640 Forme diverse

Riferimenti

1. Boada, a. (2017). Uso della permutazione con la ripetizione come esperimenti di insegnamento. Rivista Vivat Academy. Recuperato da ResearchGate.netto.
2. Canavos, g. (1988). Probabilità e statistica. Applicazioni e metodi. McGraw-Hill/Inter-American dal Messico S. A. di c. V.
3. Vetro, g.; Stanley, J. (millenovecentonovantasei). Metodi statistici non applicati alle scienze sociali. Hall Hall di Hispanoamerican Hall. A.
4. Spiegel, m.; Stephens, l. (2008). Statistiche. Quarta ed. McGraw-Hill/Inter-American dal Messico S. A.
5. Walpole, r.; Myers, r.; Myers, s.; Ye, ka. (2007). Probabilità e statistiche per ingegneri e scienziati. Ottava ed. Pearson Education International Prentice Hall.
6. Webster, a. (2000). Statistiche applicate alle imprese ed economiche. Terzo ed. McGraw-Hill/Inter-American S. A.
7. Wikipedia. (2019). Permutazione. Recuperato da.Wikipedia.org.