In attesa di una formula di linea ed equazioni, rappresentazione, esempi

IL Linea in sospeso È la tangente dell'angolo θ che questa linea si forma con l'asse orizzontale, che per convenzione viene misurata nella direzione opposta alle mani dell'orologio. La pendenza di qualsiasi linea è sempre costante ed è per questo che è una delle sue caratteristiche più essenziali.

Per calcolarlo, è necessario conoscere due punti della linea, le cui coordinate sono (x x₁,E₁) e (x₂,E₂). Tra gli entrambi i due punti viene disegnato un segmento che appartiene alla linea e quindi vengono disegnati i segmenti che rappresentano la distanza tra X₁ e x₂, e tra e₁ e e₂, Come nella figura inferiore.

Figura 1. La pendenza di una linea è la tangente dell'angolo θ. Fonte: Wikimedia Commons.

I tre segmenti costituiscono un triangolo destro le cui gambe sono: Δx = x₂ - X₁  e Δy = e₂ - E₁. Corrispondono rispettivamente a uno spostamento orizzontale e un altro verticale.

Ora è definito un quoziente, chiamato tangente dell'angolo θ e abbreviato tg θ, che è precisamente la pendenza M della linea:

m = tg θ = Δy / Δx

Si noti che per una linea, questo angolo rimane costante, indipendentemente dai punti presi per calcolare la sua tangente. In ogni caso, questo valore ci offre una misura di quanto sia inclinato la linea.

Attraverso le coordinate dei punti selezionati, la formula di pendenza rimane:

M = (y - y₁ ) / (X₂ - X₁)

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Rappresentazione grafica

Di seguito abbiamo diverse situazioni in cui il concetto di pendenza è rilevante. Il suo valore può essere facilmente calcolato misurando il rispettivo spostamento verticale e orizzontale e quindi rendendo il quoziente indicato all'inizio.

Questo ci dà un'idea del pendio o del declino di una struttura, come una rampa, un tetto o una strada:

Può servirti: campionamento casuale: metodologia, vantaggi, svantaggi, esempi figura 2. Da sinistra a destra il pendio di una rampa, un tetto e il pendio di una strada, quest'ultimo espresso in percentuale. Fonte: Stewart, J. Precáculculo e Wikimedia Commons (immagine a destra).

La pendenza della rampa mostrata nella Figura 2 a sinistra è m = 1/12, il tetto è m = 1/3 e la strada è espressa in percentuale. Una percentuale del 10 % significa che per ogni 100 metri che avanza in orizzontale, guadagnano 10 metri di altezza:

Figura 3. Un veicolo sale attraverso una pendenza la cui pendenza è del 10%. Fonte: f. Zapata.

In questo caso la pendenza è 10/100 = 0.1, che espresso in percentuale è pari al 10%.

Tipi di pendenza

La pendenza di una linea può essere positiva, negativa o nulla. Ad esempio, la linea mostrata nella Figura 1 ha una pendenza positiva. Lo apprezziamo immediatamente perché vediamo che la linea è "sollevata" se la vediamo da sinistra a destra.

Se la linea scende a vederla da sinistra a destra, allora la sua pendenza è negativa. E quando una linea è orizzontale, la sua pendenza è nulla.

Infine, per le linee verticali, la pendenza non è definita.

La rappresentazione grafica di ogni tipo si trova di seguito:

Figura 4. Le linee secondo la tua pendenza. Fonte: f. Zapata.

Come viene calcolata la pendenza una linea?

Il calcolo della pendenza è molto semplice, devi solo trovare uno spostamento verticale e uno spostamento orizzontale, quindi rendere il quoziente tra i due.

Quando hai il disegno della linea nel piano cartesiano, questi spostamenti scelgono due punti della linea P₁ E p₂, determinare le loro coordinate e applicare la definizione fornita all'inizio:

Può servirti: ciò che rappresenta la lunghezza dello spostamento dell'esagono

M = (y - y₁ ) / (X₂ - X₁ )

Poiché il valore della pendenza è indipendente dalla scelta di P₁ E p₂ , Sceglieremo un punto p di coordinate (x, y) che appartiene alla linea, le cui coordinate non sono note, e un altro punto p₁ le cui coordinate sono: (x₁,E₁).

Il pendio è:

M = (y - y₁) / (x - x₁)

Possiamo cancellare il E:

e e₁ = m (x - x₁)

Supponiamo ora che il punto p₁ È l'intersezione della linea con l'asse verticale, delle coordinate (0, b). Sostituire questo nell'equazione precedente:

e - b = m (x - 0) → y = mx + b

Questa espressione è nota come equazione della linea nella forma In sospeso - intersezione, Poiché la linea è inequivocabilmente determinata quando sono note la sua pendenza e l'intersezione con l'asse verticale.

Conoscere solo la pendenza non è sufficiente per caratterizzare una linea sull'aere.

Esercizi risolti

- Esercizio 1

Trova la pendenza della linea mostrata nella figura seguente:

Figura 5. Attraverso il grafico di una riga vengono scelti due punti per calcolare la sua pendenza. Fonte: f. Zapata.

Soluzione

P₁ E p₂ Sono due punti facili da leggere che serviranno per il calcolo, osserva anche che sono le rispettive intersezioni con gli assi delle coordinate.

Le coordinate di ogni punto sono:

P₁ (4.0) e P₂ (0.4)

Sostituendo l'equazione del pendio:

M = (4 - 0) / (0 - 4) = 4 / ( - 4) = -1

La pendenza è negativa, che era previsto dopo aver osservato la grafica.

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- Esercizio 2

Trova l'equazione della linea che passa attraverso il punto (1, -6) ed è parallela alla linea y = 2x - 3.

Soluzione

La pendenza della linea ricercata deve essere uguale a quella di y = 2x - 3, in quanto sono paralleli. Per questa linea la pendenza è m = 2, quindi quella che stiamo cercando ha la forma:

e e₁ = 2 (x - x₁)

Ora sostituiamo il punto attraverso il quale passa la nostra linea: x₁ = 1 e₁ = -6.

e - (-6) = 2 (x - 1)

Pertanto y = 2x - 2 - 6 → y = 2x - 8

Esempi

Due quantità possono essere correlate in modo tale che il tuo grafico sia una linea retta. In tal caso si dice che gli importi abbiano dipendenza lineare e che la pendenza della linea può essere interpretata come la ragione del cambiamento di una variabile all'altra.

Esempio 1

Supponiamo che una piscina sia piena d'acqua a un valutare costante nel tempo. Naturalmente, più tempo passa, più acqua viene immagazzinata. Bene, la velocità a cui è riempito il pool è proprio la pendenza della linea che mette in relazione il volume al tempo:

Figura 6. La pendenza come motivo di cambiamento. Fonte: Stewart, J./Pxfuel.

In questo esempio, la piscina è riempita ad una velocità di 6/3 galloni al minuto o 2 galloni/minuto.

Esempio 2

Quando un cellulare si muove in linea retta con velocità costante, la pendenza del grafico della posizione dipende dal tempo non è altro che detta velocità. Il grafico mostra un cellulare con velocità positiva, il che significa che si sta allontanando dall'origine.

Figura 7. La pendenza del grafico Versus Time è la velocità del cellulare in un movimento rettilineo uniforme. Fonte: Wikimedia Commons/Pixabay.

Riferimenti

1. Alvarez, J. Il pendio di una strada. Recuperato da: geogebra.È.
2. Carena, m. 2019. Manuale di matematica preuniversity. Università nazionale della costa.
3. Hoffman, J. Selezione di problemi di matematica. Volume 4.
4. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Stewart, J. 2006. Prececculment: matematica per il calcolo. 5 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.
6. Zill, d. 1984. Algebra e trigonometria. McGraw Hill.