Formule ortoedro, area, volume, diagonale, esempi

Lui Ortoedro È una figura geometrica volumetrica o tre -dimensionale che è caratterizzata da sei facce rettangolari, quindi che le facce opposte sono in piani paralleli e sono rettangoli identici o congruenti tra loro. D'altra parte, i volti adiacenti a una determinata faccia sono in aerei perpendicolari a quelli della faccia iniziale.

Può anche essere considerato quando Ortoedro come un prisma di base rettangolare ortogonale, in cui angoli di dihedros Formato dai due piani a due lettere adiacenti a un bordo comune, misurano 90º. L'angolo diedro tra due facce viene misurato all'intersezione di facce con un piano perpendicolare e comune.

Figura 1. Ortoedro. Fonte: f. Zapata con geogebra.

Allo stesso modo, l'ortoedro è un Rettangolo parallelepiped, Poiché questo è definito al parallelepiped come la figura volumetrica di sei facce, che sono parallele da due a due.

In ogni parallelepiped le facce sono parallelogrammi, ma nel rettangolo parallelepipato le facce devono essere rettangolari.

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Parti dell'ortoedro

Le parti di un poliedro, come l'ortoedro, Sono:

-Bordi

-Vertici 

-Volti

L'angolo tra due bordi di una faccia dell'ortoedro coincide con l'angolo diedro formato dalle altre due facce adiacenti a ciascuno dei bordi, formando un angolo retto. La seguente immagine chiarisce ogni concetto:

figura 2. Parti di un ortoedro. Fonte: f. Zapata con geogebra.

-In totale un ortoedro ha 6 facce, 12 bordi e 8 vertici.

-L'angolo tra due bordi è un angolo retto.

-Anche l'angolo diedro tra due lati è dritto.

-In ogni faccia ci sono quattro vertici e in ogni vertice tre volti reciprocamente ortogonali partecipano.

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Formule ortoedro

La zona

La superficie o l'area di a Ortoedro È la somma delle aree dei loro volti.

Se i tre bordi che concordano in un vertice hanno misure A, B e C, come mostrato nella Figura 3, la faccia anteriore ha un'area C⋅b E la faccia di sfondo ha anche un'area C⋅B.

Quindi, le due facce laterali hanno un'area A⋅b ogni. E infine, i volti del pavimento e il tetto hanno l'area A⋅c ogni.

Figura 3. Ortoedro delle dimensioni a, b, c. Diagonale interno D e diagonale esterno D.

Si ottiene l'aggiunta dell'area di tutte le facce:

A = 2⋅c⋅B + 2⋅A⋅B + 2⋅A

Disegnare fattore comune e ordinare i termini:

A = 2⋅ (a⋅b + b⋅c + c⋅a)

Volume

Se l'orthoedro è considerato un prisma, il suo volume viene calcolato come segue:

Volume = Prism Base Area x L'altezza del prisma

In questo caso, il pavimento delle dimensioni è preso come rettangolare C E A, Quindi l'area di base è C⋅a.

L'altezza è data dalla lunghezza B Dai bordi ortogonali ai lati A E C.

Moltiplicando l'area di base (A⋅c) per altezza B Hai il volume V Dall'ortoedro:

V = a⋅b⋅c

Diagonale interno

In un ortoedro ci sono due tipi di diagonali: diagonali esterni e diagonali interne.

Le diagonali esterne sono su facce rettangolari, mentre le diagonali interne sono i segmenti che si uniscono a due vertici opposti, essendo compresi da vertici opposti che non condividono alcun bordo.

In un ortoedro ci sono quattro diagonali interne, tutte uguali. La lunghezza delle diagonali interne può essere ottenuta applicando il teorema di Pitagora per i rettangoli.

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La lunghezza D della diagonale esterna del pavimento ortoedro soddisfa la relazione pitagora:

D² = a² + C²

Allo stesso modo, la misurazione interna diagonale della relazione pitagorica:

D² = d² + B².

Combinando le due espressioni precedenti che hai:

D² = a² + C² + B².

Infine, la lunghezza di una qualsiasi delle diagonali interne dell'ortoedro è data dalla seguente formula:

D = √ (a² + B² + C² ). 

Esempi

- Esempio 1

Un muratore costruisce un serbatoio a forma di ortoedro le cui dimensioni interne sono: 6 m x 4 m di base e 2 m di altezza. È richiesto:

a) Determinare la superficie interna del serbatoio se è completamente aperta nella sua parte superiore. 

b) Calcola il volume dello spazio interno del serbatoio.

c) Trova la lunghezza di una diagonale interna.

d) Qual è la capacità del serbatoio in litri?

Soluzione a

Prenderemo le dimensioni della base rettangolare a = 4 m e c = 6 m e l'altezza come b = 2 m

L'area di un ortoedro con le dimensioni indicate è data dalla seguente relazione:

A = 2⋅ (a⋅b + b⋅c + c⋅a) = 2⋅ (4 m⋅2 m + 2 m⋅6 m + 6 m⋅4 m)

Vale a dire:

A = 2⋅ (8 m² + 12 m² + 24 m²) = 2⋅ (44 m²) = 88 m²

Il risultato precedente è l'area dell'ortoedro chiusa con le dimensioni fornite, ma poiché è un serbatoio completamente scoperto nella sua parte superiore, per ottenere la superficie delle pareti interne del serbatoio, l'area del coperchio mancante questo è:

C⋅a = 6 m ⋅ 4 m = 24 m².

Infine, la superficie interna del serbatoio sarà: s = 88 m² - 24 m² = 64 m².

Soluzione b

Il volume interno del serbatoio è dato dal volume di un ortoedro delle dimensioni interne del serbatoio:

V = a⋅b⋅c = 4 m ⋅ 2 m ⋅ 6 m = 48 m³.

Soluzione c

La diagonale interna di un ottaedro con le dimensioni dell'interno del serbatoio ha una lunghezza data da:

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√ (a² + B² + C² ) = √ ((4 m)² + (2 m)² + (6 m)² )

Eseguendo le operazioni indicate che abbiamo:

D = √ (16 m² + 4 m² + 36 m² ) = √ (56 m²) = 2√ (14) m = 7,48 m.

Soluzione d

Per calcolare la capacità del serbatoio in litri, è necessario sapere che il volume di un decimetro cubico è equivalente alla capacità di un litro. In precedenza era stato calcolato in volume in metri cubi, ma doveva essere trasformato in decimetri cubici e poi in litri:

V = 48 m³ = 48 (10 dm)³ = 4.800 dm³ = 4.800 l

- Esercizio 2

Un acquario di vetro ha una forma cubica di 25 cm. Determina l'area in m², Il volume in litri e la lunghezza di una diagonale interna in CM.

Figura 4. Acquario di vetro cubico.

Soluzione

L'area è calcolata dalla stessa formula ortoedro, ma tenendo conto del fatto che tutte le dimensioni sono identiche:

A = 2⋅ (3 a⋅a) = 6⋅ a² = 6⋅ (25 cm)² = 1.250 cm²

Il volume del cubo è dato da:

V = a³ = (25 cm)³ = 15.625 cm³ = 15.625 (0,1 dm)³ = 15.625 dm³ = 15.625 l.

La lunghezza d della diagonale interna è:

D = √ (3 °²) = 25√ (3) cm = 43,30 cm.

Riferimenti

1. Arias j. Geogebra: prisma. Recuperato da: YouTube.com.
2. Calcolo.DC. Esercizi e problemi risolti in aree e volumi. Recuperato da: calcolo.DC.
3. Salvador r. Piramide + orthoedro con geogebra (ihm). Recuperato da: YouTube.com
4. Weisstein, Eric. "Ortoedro". Mathworld. Ricerca Wolfram.
5. Wikipedia. Ortoedro. Recuperato da: è.Wikipedia.com