Concetto di onde lineari, caratteristiche, esempi

IL Onde lineari Questi sono quelli in cui è applicabile il principio di sovrapposizione, cioè quelli in cui la forma d'onda e la sua evoluzione spazio-tempo possono essere raggiunti come somma delle soluzioni di base, ad esempio del tipo armonico. Non tutte le onde soddisfano il principio di sovrapposizione, che non rispettano le onde non lineari.

La denominazione "lineare" deriva dal fatto che le onde lineari soddisfano sempre un'equazione differenziale nei derivati ​​parziali, in cui tutti i termini che coinvolgono la variabile dipendente o i suoi derivati ​​sono sollevati al primo potere.

Le onde che si vedono in lontananza sono onde lineari, tuttavia le onde spaventate del primo piano sono non lineari. Fonte: Pixabay.

D'altra parte, le onde non lineari soddisfano le equazioni delle onde che hanno gradi quadratici o più alti nella variabile dipendente o nei loro derivati.

A volte è confuso per le onde lineari con onde longitudinali, che sono quelle in cui si verificano vibrazioni nella stessa direzione di propagazione, come le onde sonore.

Ma le onde longitudinali, così come la trasversale, possono a loro volta essere lineari o non lineari a seconda, tra gli altri fattori, l'ampiezza del disturbo iniziale e l'ambiente in cui si diffondono.

Si verifica generalmente che quando il disturbo iniziale è di piccola ampiezza, l'equazione che descrive la propagazione dell'onda, è di tipo lineare o può essere lineato da alcuni approcci, sebbene non sia sempre così.

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Equazione differenziale nelle onde lineari

In un mezzo lineare, una forma d'onda limitata nello spazio e nel tempo può essere rappresentata dalla somma di funzioni di sinus o onda di coseno di diverse frequenze e lunghezze d'onda tramite serie Fourier. 

Le onde lineari hanno sempre un'equazione differenziale del tipo lineare associato, la cui soluzione rappresenta la previsione di quello che sarà il disturbo nei momenti posteriori di un disturbo iniziale situato spazialmente nell'istante iniziale iniziale.

L'equazione classica delle onde lineari, in una singola dimensione spaziale, le cui soluzioni sono onde lineari è:

Nell'equazione precedente O rappresenta il disturbo di una certa quantità fisica nella posizione X E al momento T, cioè per dire O È una funzione di X E T:

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u = u (x, t)

Ad esempio, se è un'onda sonora nell'aria, O Può rappresentare la variazione della pressione rispetto al suo valore senza disturbare.

Nel caso di un'onda elettromagnetica o rappresenta il campo elettrico o il campo magnetico oscillante perpendicolare alla direzione di propagazione.

Nel caso di una corda tesa, O Rappresenta lo spostamento incrociato rispetto all'equilibrio dell'equilibrio della corda, come mostrato nella figura seguente:

Forma d'onda in un determinato istante, nel caso di onde lineari questa forma è la sovrapposizione di onde sinusoidali di diverse frequenze e lunghezze d'onda. Fonte: f. Zapata.

Soluzioni di equazione differenziale

Se hai due o più soluzioni dell'equazione differenziale lineare, ogni soluzione moltiplicata per una costante sarà una soluzione e ne sarà anche la somma. 

A differenza delle equazioni non lineari, le equazioni di ondate ammettono soluzioni armoniche del tipo: 

O₁= A⋅Sen (k⋅x - ω⋅t) E O₂= A⋅Sen (k⋅x + ω⋅t) 

Questo può essere verificato mediante semplice sostituzione nell'equazione delle onde lineari.

La prima soluzione rappresenta un'onda progressiva che avanza a destra, mentre la seconda a sinistra rapidamente C = ω/k.

Le soluzioni armoniche sono caratteristiche delle equazioni delle onde lineari.

D'altra parte, la combinazione lineare di due soluzioni armoniche è anche una soluzione all'equazione delle onde lineari, ad esempio:

u = a₁ cos (k₁⋅x - ω₁⋅t) + a₂ lavello₂⋅x - ω₂⋅t) è una soluzione.

La caratteristica più rilevante delle onde lineari è che qualsiasi forma di onda, per quanto complessa, può essere ottenuta da una somma di semplici onde armoniche nel seno e nel coseno:

u (x, t) = a₀ + ∑_N A_N cos (k_N⋅x - ω_N⋅t) + ∑_M B_M lavello_M⋅x - ω_M⋅t).

Onde lineari dispersive e nondispersive

Nell'equazione di onde lineare classica, C rappresenta la velocità di propagazione dell'impulso.

Onde nondispersive

Nei casi in cui C È un valore costante, ad esempio le onde elettromagnetiche nel vuoto, quindi un impulso nel momento iniziale t = 0 Forma F (x) Si diffonde secondo:

u (x, t) = f (x - c⋅t)

Senza soffrire di distorsioni. Quando ciò si verifica, si dice che il mezzo non sia design.

Onde dispersive

Tuttavia, nei mezzi dispersivi la velocità di propagazione C può dipendere dalla lunghezza d'onda λ, cioè: c = c (λ).

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Le onde elettromagnetiche sono dispersive quando si viaggia attraverso un mezzo materiale. Anche le onde di superficie dell'acqua viaggiano a velocità diverse in base alla profondità dell'acqua.

La velocità con cui si propaga un'onda armonica A⋅sen (k⋅x - ω⋅t) È Ω/k = c e la velocità di fase si chiama. Se il mezzo è dispersivo, allora C È una funzione del numero d'onda K: C = c (k), Dove K È correlato alla lunghezza d'onda per mezzo di K = 2π/λ.

Relazioni di dispersione

La relazione tra frequenza e lunghezza d'onda è chiamata Rapporto di dispersione, quello espresso in termini di frequenza angolare Ω e il numero d'onda K È: Ω = c (k) ⋅k.

Alcune caratteristiche delle relazioni di dispersione delle onde lineari sono le seguenti:

Nelle onde in cui la lunghezza d'onda (distanza tra le creste) è molto maggiore della profondità H, Ma che la sua ampiezza è molto inferiore alla profondità della relazione di dispersione:

Ω = √ (GH) ⋅k

Da lì si è concluso che si sono diffusi a velocità costante √ (GH) (metà nondispersive).

Ma le onde in acque molto profonde sono dispersive, poiché il loro rapporto di dispersione è:

ω = √ (g/k) ⋅k

Ciò significa quella velocità di fase Ω/k È variabile e dipende dal numero d'onda e quindi dalla lunghezza d'onda dell'onda.

Velocità di gruppo

Se due onde lineari armoniche si sovrappongono ma avanzano a velocità diverse, la velocità di gruppo (ovvero il pacchetto onde) non corrisponde alla velocità di fase.

Velocità di gruppo v_G È definito come il derivato della frequenza rispetto al numero d'onda nel rapporto di dispersione: v_G = Ω '(k).

La figura seguente mostra la sovrapposizione o la somma di due onde armoniche O₁= A⋅sen (k₁⋅x - ω₁⋅t) E O₂= A⋅sen (k₂⋅x - ω₂⋅t) che viaggiano a velocità diverse v₁= Ω₁/K₁ E v₂= Ω₂/K₂. Nota come la velocità del gruppo è diversa dalla velocità di fase, in questo caso la velocità di gruppo è ∆ω/∆k.

Può servirti: proprietà magnetiche dei materialiOnda lineare (blu) in un mezzo dispersivo. La curva rossa è stata aggiunta per evidenziare che la velocità del gruppo è diversa dalla velocità di propagazione

A seconda del rapporto di dispersione, la velocità di fase e la velocità di gruppo, nelle direzioni opposte, possono persino avere le direzioni opposte.

Esempi di onde lineari

Onde elettromagnetiche

onde elettromagnetiche che compongono radiazioni elettromagnetiche

Le onde elettromagnetiche sono onde lineari. La sua equazione delle onde è dedotta dalle equazioni dell'elettromagnetismo (equazioni di Maxwell) che sono anche lineari.

L'equazione di Schrödinger

È l'equazione che descrive la dinamica delle particelle su scala atomica, in cui le caratteristiche ondulate sono rilevanti, ad esempio il caso degli elettroni nell'atomo.

Quindi la "onda elettronica" o la funzione d'onda come viene anche chiamata, è un'onda lineare.

Onde in acque profonde

Le onde lineari sono anche quelle in cui l'ampiezza è molto più bassa della lunghezza d'onda e della lunghezza d'onda molto più grande della profondità. Le onde in acque profonde seguono la teoria lineare (nota come teoria ondulata di Airy).

Tuttavia, l'onda che si avvicina alla riva e forma la cresta caratteristica che viene arrotolata (e che i surfisti adorano) è un'onda non lineare.

Suono

Poiché il suono è un piccolo disturbo della pressione atmosferica, è considerato un'onda lineare. Tuttavia, l'onda d'urto di un'esplosione o sul fronte d'onda di un piano supersonico, sono tipici esempi di onde non lineari.

Onde su una corda tesa

Le onde che si diffondono attraverso una corda tesa sono lineari, a condizione che la pulsazione iniziale sia piccola, cioè il limite elastico della corda non viene superato.

Le onde lineari sulle stringhe si riflettono alle loro estremità e si sovrappongono, dando origine a onde stazionarie o modalità vibrazionali che danno i toni armonici e sottaronici caratteristici degli strumenti a corda.

Riferimenti

1. Griffiths G e SCHIESER W. Onde lineari e non lineari. Recuperato da: sholarpedia.org.
2. Whitham g.B. (1999) "onde lineari e non lineari". Wiley. 
3. Wikipedia. Onde non lineari. Recuperato da: è.Wikipedia.com
4. Wikipedia. Acustico non lineare. Recuperato da: in.Wikipedia.com
5. Wikipedia. Onde. Recuperato da: in.Wikipedia.com
6. Wikiwaves. Onde non lineari. Recuperato da: wikiwaves.org