Proprietà della serie Fibonacci, relazioni naturali, applicazioni

IL O serie La successione di Fibonacci è una sequenza di numeri ottenuti all'inizio con 0 e 1, continua con la somma di essi: 0 + 1 = 1, quindi la somma dei due precedenti: 1 + 1 = 2 e così via.

Seguendo questa procedura si ottengono gli altri termini, vediamo: 2 + 1 = 3, 3 + 2 = 5, 5 + 3 = 8, 8 +5 = 13 ..

Primo numero della serie Fibonacci

La procedura viene ripetuta tutte le volte che desideri. In questo modo, la successione di Fibonacci acquisisce la forma: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 .. I numeri che lo fanno sono chiamati Numeri di fibonacci.

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Storia

La successione di Fibonacci è chiamata matematica italiana che viveva nel Medioevo: Leonardo de Pisa, noto anche come Fibonacci (1175-1250). 

Leonardo de Pisa

Leonardo trascorse l'infanzia in Nord Africa e viaggiò in tutto il Mediterraneo, dove conosceva il sistema di numerazione arabico e fu felice di lui. Probabilmente gli insegnanti arabi di Leonardo gli hanno insegnato la successione, che era già conosciuta dai matematici indù.

Successivamente, quando tornava a Pisa Fibonacci scrisse un libro chiamato Liber Abaci (The Book of Abacus), dove oltre a evidenziare i vantaggi del numero indo -arabo di fronte alla numerazione romana e introducendo 0, ha sollevato un problema sulla riproduzione dei conigli.

E la soluzione a questo problema è proprio il numero della successione di Fibonacci.

Leonardo de Pisa non ha ricevuto la creazione della successione; Lo ha menzionato solo nel suo libro come una curiosità, che ha attirato l'attenzione di molti studiosi che lo hanno seguito. Tra questi c'era il matematico francese del diciannovesimo secolo Edouard Lucas, che quando studiava la successione la battezzò con il nome del saggio medievale che lo fece noto in ovest.

Il problema dei conigli Fibonacci

Il problema dice: ci sono un paio di conigli che vivono per sempre, che a due mesi sono fertili. Una volta raggiunta la maturità, hanno un paio di bambini di sesso diverso ogni mese, che richiedono anche due mesi per riprodursi e hanno un paio di conigli mensili.

Può servirti: de Morgan LeggiL'origine della successione di Fibonacci è nel problema della riproduzione dei conigli. Fonte: Wikimedia Commons.

A partire da un paio di conigli neonati, quante coppie di conigli saranno tra un mese? Quante coppie di conigli saranno dopo 2, 3 e 4 mesi? E quanti saranno dopo 6 mesi?

La risposta è nei numeri di Fibonacci. Dopo 1 mese ci sono 1 paio di conigli, la coppia originale, poiché si riproducono solo dopo 2 mesi.

Dopo 2 mesi ci sono 2 coppie di conigli: la coppia originale e la loro prima lettiera.

A 3 mesi avremo 3 coppie, tra cui la coppia originale, la loro prima cucciolata e una nuova.

Dopo aver raggiunto il 4 ° mese, avremo la coppia originale, la prima lettiera che a sua volta ha i loro primi figli, la cucciolata del terzo mese e una nuova lettiera. In totale 5 paia di conigli.

Ma questi sono il numero della sequenza di Fibonacci, quindi dopo 6 mesi ci saranno 13 coppie di conigli, poiché ogni mese vengono aggiunte le coppie dei due mesi precedenti.

Proprietà della serie Fibonacci

Ecco alcune proprietà interessanti della successione di Fibonacci.

Proprietà 1

La formula ricorsiva per trovare i termini della successione è:

A_N+1 = a_N + A_N-1  Per n maggiore o uguale a 2.

Dove n = 2, 3, 4, ... cioè trovare il settimo termine a₇, Facciamo n = 6, in modo che 6+1 = 7. Dobbiamo conoscere i termini₅  Già₆, dell'elenco che appare nell'introduzione a₅ = 5 e A₆ = 8, quindi a₇ = 5+8 = 13.

Proprietà 2

Se i due termini che vogliamo trovare non sono noti, allora possiamo usare la seguente formula:

Può servirti: Tesseldos: caratteristica, tipi (regolare, irregolare), esempi

Proprietà 3

I numeri a_N Già_N+1 Sono  Coprimos, Cioè, sono cugini tra loro, il che significa che non hanno fattori comuni in comune.

Proprietà 4

Una proprietà molto interessante è quella del quoziente tra i termini a_2n Già_N, che vale 1, quando n = 1. Vale a dire:

A₂ / A₁ = 1

Possiamo facilmente controllarlo con l'elenco dei numeri di Fibonacci.

D'altra parte, se n ≠ 1, allora il quoziente è:

A_2n / A_N = a_N  + 2 °_N-1

Ad esempio se n = 3, allora a _2n = a₆ = 8 e₃ = 2. Bene allora:

8/2 = 2 + 2. A₂ = 2 + 2. 1

In effetti: 8/2 = 4 e 2 + (2.1) = 4. Si può verificare che qualsiasi valore n viene soddisfatto.

Proprietà 5

Il rapporto r_N = a_N+1 / A_{N ,} Quando N diventa grande, convergere al Motivo d'oro O Proporzione aurea, Un numero irrazionale che sorge frequentemente nella natura, dato da:

Relazioni naturali della successione di Fibonacci

La successione di Fibonacci nelle piante

Le manifestazioni della successione di Fibonacci abbondano nel regno vegetale

I rami di alcuni alberi escono ogni anno secondo la successione di Fibonacci. Il primo anno il tronco cresce senza lanciare alcun ramo, dopo un anno ne produce uno e così ogni anno. A sua volta, ogni ramo può lanciarne un altro nuovo dopo un anno, proprio come i conigli si riproducono.

Il centro di fiori di girasole contiene i semi disposti in travi a spirale logaritmica, in entrambi i sensi, le cui quantità corrispondono a due numeri di fibonacci consecutivi.

I numeri di fibonacci sono presenti nel numero di petali di fiori di girasole e margarite, nonché in numerosi motivi in ​​cui le piante hanno le loro foglie.

Può servirti: variabile ordinale

Gli esperti dicono che in questo modo le piante ottimizzano lo spazio per foglie e fiori per avere una crescita ottimale.

Con un punto centrale come luogo di partenza, queste strutture crescono e ricevono la luce solare, quindi le nuove foglie e i petali devono coprire il meno possibile quelli che sono usciti per primi. E il modo migliore per raggiungere questo obiettivo è adottare un modello di crescita in termini di sequenza Fibonacci.

La successione di Fibonacci negli animali

La spirale di Durero con il primo numero di successione di Fibonacci

La spirale durevole dell'immagine superiore fa parte del modello di crescita dei gusci negli animali marini e le corna di alcuni ruminanti.

Inizia con due quadrati 1, uno sopra l'altro, poi un quadrato di 2 accanto ad esso, il che costituisce un rettangolo di lato 3, i cui lati hanno la proporzione dorata.

Di seguito è riportato un quadrato del lato 3 e a sinistra un quadrato del lato 5. Sopra c'è un quadrato del lato 8 e a destra un quadrato del lato 13. Questi sono il primo numero della successione.

Finalmente la spirale viene disegnata toccando i punti degli angoli dei quadrati, come si vede nella figura.

Applicazioni

La successione di Fibonacci viene applicata in vari campi:

-Nell'arte la proporzione d'oro relativa alla successione di Fibonacci appare nelle persone e nelle cose rappresentate da grandi artisti come Leonardo da Vinci, Miguel Ángel e Alberto Durero.

-Le proporzioni del partner di Atene rispondono anche al numero d'oro.

-Nelle composizioni di Mozart, Beethoven, Schubert e Debussy.

-Progettare oggetti le cui proporzioni sembrano armoniose agli occhi umani, come carte di credito, contenitori, bandiere.

-Nel mercato azionario viene utilizzato per prevedere quali prezzi ripristinano la sua tendenza.

Riferimenti

1. Successione di Fibonacci. Recuperato da: blogducastur.È.
2. Stewart, J. 2007. Precalcolazione. 5 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.
3. Vargas, m. Applicazioni di successione di Fibonacci. Recuperato da: accoppiamento.Cl.
4. Wikipedia. Numero di fibonacci. Recuperato da: in.Wikipedia.org.