Proprietà dei numeri razionali, esempi e operazioni

IL numeri razionali Sono tutti i numeri che possono essere ottenuti come divisione di due numeri interi. Esempi di numeri razionali sono: 3/4, 8/5, -16/3 e quelli che compaiono nella figura seguente. In un numero razionale è indicato il quoziente, essendo possibile farlo in seguito, se necessario.

Nella figura è rappresentato ogni oggetto, rotondo per il comfort. Se vogliamo dividerlo in 2 parti uguali, come a destra, abbiamo due metà e ognuna è 1/2.

Figura 1. I numeri razionali vengono usati per dividere il tutto in varie parti. Fonte: freesvg.

Dividendolo in 4 parti uguali, otterremo 4 pezzi e ciascuno vale 1/4, come nell'immagine del centro. E se dovessi distribuirlo in 6 parti uguali, ogni parte varrebbe 1/6, che vediamo nell'immagine a sinistra.

Naturalmente, potremmo anche dividerlo in due parti non uguali, ad esempio potremmo mantenere 3/4 parti e salvare 1/4 parte. Sono anche possibili altre divisioni, come 4/6 parti e 2 parti. L'importante è che la somma di tutte le parti è 1.

In questo modo, è evidente che con numeri razionali puoi dividere, contare e distribuire cose come cibo, denaro, terra e tutti i tipi di oggetti in frazioni. E quindi la quantità di operazioni che può essere eseguita con i numeri è estesa.

I numeri razionali possono anche essere espressi decimamente, come si può vedere nei seguenti esempi:

1/2 = 0,5

1/3 = 0,3333 ..

3/4 = 0,75

1/7 = 0.142857142857142857…

Successivamente indichiamo come passare da un modo all'altro con esempi.

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Proprietà dei numeri razionali

I numeri razionali, il cui set indicheremo con la lettera Q, hanno le seguenti proprietà:

-Q include numeri naturali N e Numeri N interi.

Tenendo conto di qualsiasi numero A Può essere espresso come quoziente tra loro e 1, è facile vedere che ci sono anche numeri naturali e numeri interi.

Pertanto, il numero 3 naturale può essere scritto come una frazione e anche -5:

3 = 3/1

-5 = -5/1 = 5/-1 = -(5/1)

In questo modo questo è un set numerico che copre un numero maggiore di numeri, qualcosa di molto necessario, mettere i numeri "rotondi" non sono sufficienti per descrivere tutte le possibili operazioni da fare.

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-I numeri razionali possono essere aggiunti, sottratti, moltiplicando e dividendo, il risultato dell'operazione è un numero razionale: 1/2 + 1/5 = 7/10; 1/2 - 1/5 = 3/10; (1/2) x (1/5) = 1/10; (1/2) ÷ (1/5) = 5/2.

-Tra ogni paio di numeri razionali, è sempre possibile trovare un altro numero razionale. In effetti, tra due numeri razionali ci sono infiniti razionali. 

Ad esempio, tra razionali 1/4 e 1/2 sono razionali 3/10, 7/20, 2/5 (e molti altri), che possono essere verificati esprimendoli come decimali.

-Qualsiasi numero razionale può essere espresso come: i) un intero o ii) un decimale limitato (rigoroso) o un giornale: 4/2 = 2; 1/4 = 0,25; 1/6 = 0,1666666 ..

-Lo stesso numero può essere rappresentato da infinite frazioni equivalenti e tutti appartengono a Q. Diamo un'occhiata a questo gruppo:

Tutti rappresentano il decimale 0.428571 ..

-Tra tutte le frazioni equivalenti che rappresentano lo stesso numero, la frazione irriducibile, la più semplice di tutte, è la Rappresentante canonico di quel numero. Il rappresentante canonico dell'esempio precedente è 3/7.

figura 2.- L'insieme Q di numeri razionali. Fonte: Wikimedia Commons. UVM Eduardo Artur/CC BY-S (https: // creativeCommons.Org/licenze/by-sa/4.0).

Esempi di numeri razionali

-Frazioni proprie, quelle in cui il numeratore è inferiore al denominatore:

-Frazioni improprie, il cui numeratore è maggiore del denominatore:

-Numeri naturali e numeri interi:

-Frazioni equivalenti:

Rappresentazione decimale di un numero razionale

Quando il numeratore è diviso tra il denominatore è la forma decimale del numero razionale. Per esempio:

2/5 = 0.4

3/8 = 0.375

1/9 = 0.11111 ..

6/11 = 0.545454 ..

Nei primi due esempi, la quantità di decimali è limitata. Ciò significa che quando viene effettuata la divisione, si ottiene un riposo.

D'altra parte, nei prossimi due, il numero di decimali è infinito ed è per questo che i punti sospesivi vengono collocati. In quest'ultimo caso c'è uno schema nei decimali. Nel caso della frazione 1/9 la Figura 1 si ripete indefinitamente, mentre nel 6/11 è 54.

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Quando ciò accade, si dice che il decimale sia il giornale ed è indicato dall'accento circonflesso come segue:

Trasforma un decimale in frazione

Se è un decimale limitato, la virgola viene semplicemente eliminata e il denominatore diventa l'unità seguita da tante zeri quante figure ha il decimale. Ad esempio, per trasformare il decimale 1.26 In frazione è scritto in questo modo:

1.26 = 126/100

Quindi la frazione risultante è semplificata al massimo:

126/100 = 63/50

Se il decimale è illimitato per primo, viene identificato il periodo. Quindi questi passaggi vengono seguiti per trovare la frazione risultante:

-Il numeratore è la sottrazione tra il numero (nessun coma o accento circonflesso) e la parte che non trasporta l'accento circonflesso.

-Il denominatore è un numero intero con tanti 9 quante figure ci sono sotto il circonflesso, e quante o come figure nella parte decimale non sono sotto il circonflesso.

Seguiamo questa procedura per trasformare il numero decimale 0.428428428 ... in frazione.

-Per prima cosa viene identificato il periodo, che è la sequenza che si ripete: 428.

-Quindi viene eseguito il funzionamento di sottrazione del numero senza coma o accento: 0428 della parte che non ha circonflesso, che è 0. Questo è 428 - 0 = 428.

-Il denominatore è costruito, sapendo che sotto il circonflesso ci sono 3 figure e tutte sono sotto il circonflesso. Pertanto il denominatore è 999.

-Finalmente la frazione è formata e semplificata se possibile:

0.428 = 428/999

Non è possibile semplificare di più.

Operazioni di numeri razionali

- Aggiungi e sottrai

Frazioni con lo stesso denominatore

Quando le frazioni hanno lo stesso denominatore, aggiungerle e/o sottrarle è molto semplice, perché i numeratori vengono semplicemente aggiunti algebricamente, lasciando come denominatore del risultato allo stesso modo delle aggiunte. Infine, se possibile, è semplificato.

Esempio

Eseguire la seguente somma algebrica e semplificare il risultato:

La frazione risultante è già irriducibile.

Frazioni con denominatore diverso

In questo caso, gli adders sono sostituiti da frazioni equivalenti con lo stesso denominatore e quindi la procedura è già descritta. 

Esempio

Aggiungi algebramente i seguenti numeri razionali che semplificano il risultato:

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I passaggi sono:

-Determina il multiplo comune minimo (MCM) dei denominatori 5, 8 e 3:

MCM (5,8,3) = 120

Questo sarà il denominatore della frazione risultante senza semplificare.

-Per ogni frazione: dividere l'MCM tra il denominatore e moltiplicare per il numeratore. Il risultato di questa operazione è posizionato, con il suo rispettivo segno, nel numeratore della frazione. In questo modo si ottiene una frazione equivalente all'originale, ma con l'MCM come denominatore.

Ad esempio, per la prima frazione, il numeratore è costruito in questo modo: (120/5) x 4 = 96 ed è ottenuto:

Procedere allo stesso modo per le frazioni rimanenti:

Infine, le frazioni equivalenti vengono sostituite senza dimenticare il loro segno e viene fatta la somma algebrica dei numeri:

(4/5) + (14/8) - (11/3) + 2 = (96/120) + (210/120) - (440/120) + (240/120) =

= (96+210-440+24) / 120 = -110 / 120 = -11/12

- Moltiplicazione e divisione

La moltiplicazione e la divisione vengono eseguite seguendo le regole mostrate di seguito:

Figura 3. Regole per eseguire la moltiplicazione e la divisione dei numeri razionali. Fonte: f. Zapata.

In ogni caso è importante ricordare che la moltiplicazione è commutativa, il che significa che l'ordine dei fattori non altera il prodotto. Ciò non accade con la divisione, quindi devi fare attenzione a rispettare l'ordine tra dividendo e divisore.

Esempio 1

Eseguire le seguenti operazioni e semplificare il risultato:

a) (5/3) x (8/15)

b) (-4/5) ÷ (2/9)

Rispondi a

(5/3) x (8/15) = (5 x 8)/(3 x 15) = 15/120 = 1/8

Risposta b

(-4/5) ÷ (2/9) = (-4 x 9)/(5 x 2) = -36/10 = -18/5

Esempio 2     

Luisa aveva $ 45. Ha trascorso un decimo a comprare un libro e 2/5 parti di ciò che è rimasto in una maglietta. Quanti soldi ha rimasto Luisa? Esprimere il risultato in una frazione irriducibile.

Soluzione

Il costo del libro (1/10) x 45 $ = 0.1 x 45 $ = 4.5 $

Pertanto Luisa rimase con:

45 - 4.5 $ = 40.5 $

Con quei soldi Luisa andò al negozio di abbigliamento e acquistò la maglietta, il cui prezzo è:

(2/5) x 40.5 $ = 16.2 $

Ora Luisa ha nel portafoglio:

40.5 - 16.2 $ = 24.3 $

Per esprimerlo in frazione, è scritto in questo modo:

24.3 = 243/10

Questo è irriducibile.

Riferimenti

1. Baldor, a. 1986. Aritmetica. Edizioni e distribuzioni Codice.
2. Carena, m. 2019. Manuale di matematica. Università nazionale della costa.
3. Figuera, j. 2000. Matematica 8. Edizioni co-bo.
4. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Numeri razionali. Recuperato da: Cimanet.UoC.Edu.
6. Numeri razionali. Estratto da: WebDelProfesor.Ula.andare.