Caratteristici numeri primi, esempi, esercizi

IL numeri primi, Chiamati anche cugini assoluti, sono quei numeri naturali che sono solo divisibili tra loro e 1. In questa categoria, numeri come: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e molti altri sono disponibili in questa categoria.

D'altra parte, un numero composto è divisibile da solo, di 1 e almeno un altro numero. Abbiamo ad esempio su 12, che è divisibile per 1, 2, 4, 6 e 12. Per convenzione, l'1 non è incluso nell'elenco dei numeri primi o nei composti.

Figura 1. Alcuni numeri primi. Fonte: Wikimedia Commons.

La conoscenza dei numeri primi risale ai tempi remoti; Gli antichi egiziani li hanno già gestiti e erano sicuramente conosciuti molto prima.

Questi numeri sono molto importanti, poiché qualsiasi numero naturale può essere rappresentato dal prodotto dei numeri primi, essendo questa rappresentazione unica, tranne nell'ordine dei fattori.

Questo fatto è completamente stabilito in un teorema chiamato Il teorema fondamentale dell'aritmetica, che afferma che i numeri che non sono cugini sono necessariamente costituiti da prodotti di numeri che sono.

[TOC]

Caratteristiche dei numeri primi

Sotto le caratteristiche principali dei numeri primi:

-Sono infiniti, poiché comunque è sempre possibile trovare un numero primo.

-Se un numero primo P non si dividi esattamente con un altro numero A, Si dice quindi P E A Sono cugini l'uno con l'altro. Quando ciò accade, l'unico divisore comune è entrambi 1.

Non è necessario A Sii cugino assoluto. Ad esempio, il 5 è cugino e sebbene il 12 non lo sia, entrambi i numeri sono cugini tra loro, poiché i due hanno un divisore comune a 1.

-Quando un numero primo P Dividi un potere del numero N, Divide anche a N. Considera 100, che è una potenza di 10, in particolare 10². Succede che i 2 divide siano 100 e 10.

-Tutti i numeri primi sono dispari tranne 2, quindi la loro ultima cifra è 1, 3, 7 o 9. Il 5 non è incluso, perché sebbene sia strano e cugino, non è mai la figura finale di un altro numero primo. In effetti tutti i numeri che terminano in 5 sono multipli di questo e quindi non sono cugini.

Può servirti: simmetria centrale: proprietà, esempi ed esercizi

-Sì P È cugino e divisore del prodotto di due numeri A.B, COSÌ P Dividi uno di loro. Ad esempio, il numero primo 3 divide il prodotto 9 x 11 = 99, poiché 3 è un divisore di 9.

Come sapere se un numero è cugino

IL Primalità È il nome dato alla qualità di essere cugino. Bene, matematico francese Il piccolo teorema di Fermat, Questo dice così:

"Dato un numero naturale cugino P e qualsiasi numero naturale A maggiore di 0, è soddisfatto A^P - A È un multiplo di P, fino a quando P essere cugino ".

Possiamo confermare questo usando piccoli numeri, ad esempio supponiamo P = 4, Che già sappiamo che non è cugino e a = 6:

6⁴ - 6 = 1296 - 6 = 1290

Il numero 1290 non è esattamente divisibile tra 4, quindi 4 non è un numero primo.

Facciamo il test ora con p = 5, che è cugino e a = 6:

6⁵ - 6 = 7766 - 6 = 7760

7760 è divisibile tra 5, poiché qualsiasi numero che termina a 0 o 5 è. In effetti 7760/5 = 1554. Dato che il piccolo teorema di Fermat è soddisfatto, possiamo garantire che 5 sia un numero primo.

Il test attraverso il teorema è efficace e diretto con piccoli numeri, in cui l'operazione è facile da eseguire, ma cosa fare se ci chiedono di scoprire la primalità di un gran numero?

In tal caso, il numero è successivamente diviso tra tutti i numeri primi minori, fino a una divisione esatta o che il quoziente è inferiore al divisore.

Se una divisione è esatta, significa che il numero è composto e se il quoziente è inferiore al divisore, significa che il numero è cugino. Lo metteremo in pratica nell'anno risolto 2.

Modi per trovare un numero primo

Ci sono numeri primi infiniti e non esiste una formula unica per determinarli. Tuttavia, osservando alcuni numeri primi come questi:

Può servirti: angolo null: definizione e caratteristiche, esempi, esercizi

3, 7, 31, 127 ..

Si osserva che sono nella forma 2^N - 1, con n = 2, 3, 5, 7, 9 ... ti assicuriamo:

2² - 1 = 4 - 1 = 3; 2³ - 1 = 8 - 1 = 7; 2⁵ - 1 = 32 - 1 = 31; 2⁷ - 1 = 128 - 1 = 127

Ma non possiamo assicurarlo in generale 2^N - 1 essere cugino, perché ci sono alcuni valori di N per il quale non funziona, ad esempio su 4:

2⁴ - 1 = 16 - 1 = 15

E il numero 15 non è cugino, poiché termina in 5. Tuttavia, uno dei più grandi numeri primi che sono noti, trovati dai calcoli fatti del computer, è nella forma 2^N - 1 con:

N = 57.885.161

IL Formula di Mersenne ci assicura che 2^P - 1 è sempre cugino, purché P Anche cugino. Ad esempio, il 31 è cugino, quindi è certo che 2³¹ - 1 è anche:

2³¹ - 1 = 2.147.483.647

Tuttavia, la formula consente di determinare solo alcuni numeri primi.

La formula di Euler

Il seguente polinomio consente di trovare numeri primi finché n è compreso tra 0 e 39:

P (n) = n² + N + 41

Più tardi, nella sezione degli esercizi risolti c'è un esempio del suo uso.

Lo screening di Eratostenes

Eratóstenes era un fisico e matematico dell'antica Grecia che viveva nel terzo secolo a.C. Ha ideato un metodo grafico per trovare i numeri primi che possiamo mettere in pratica con piccoli numeri, si chiama Schermata Eratóstenes (uno schermo è come un filtro).

-I numeri sono posizionati in una tabella come quello mostrato nell'animazione.

-Quindi i numeri pari sono etichettati, tranne i 2 che sappiamo è cugino. Tutti gli altri sono multipli di questo e quindi non sono cugini.

-Anche i multipli di 3, 5, 7 e 11 sono contrassegnati, escludendoli tutti perché sappiamo che sono cugini.

-I multipli di 4, 6, 8, 9 e 10 sono già contrassegnati, perché sono composti e quindi multipli di uno qualsiasi dei cugini indicati.

Può servirti: storia della trigonometria dalle sue origini

-Infine, i numeri rimanenti non sono contrassegnati sono cugini.

figura 2. Animazione di screening di Eratostenes. Fonte: Wikimedia Commons.

Esercizi

- Esercizio 1

Usando il polinomio Eulero per i numeri primi, trova 3 numeri superiori a 100.

Soluzione

Questo è il polinomio che Euler ha proposto di trovare numeri primi, che opera per n valori tra 0 e 39.

P (n) = n² + N + 41

Attraverso Tanteo selezioniamo un valore di n, ad esempio n = 8:

P (8) = 8² + 8 + 41 = 113

Poiché n = 8 produce un numero primo maggiore di 100, quindi valutiamo il polinomio per n = 9 e n = 10:

P (9) = 9² + 9 + 41 = 131

P (10) = 10² + 10 + 41 = 151

- Esercizio 2

Scopri se i seguenti numeri sono cugini:

a) 13

b) 191

Soluzione a

Il 13 è abbastanza piccolo da usare il piccolo teorema di Fermat e l'aiuto della calcolatrice.

Usiamo a = 2 in modo che i numeri non siano troppo grandi, sebbene possano anche essere usati a = 3, 4 o 5:

2¹³ - 2 = 8190

8190 è divisibile tra 2, poiché è pari, quindi 13 è cugino. Il lettore può confermarlo facendo lo stesso test con a = 3.

Soluzione b

191 è molto grande per provare il teorema e una calcolatrice comune, ma possiamo raccogliere la divisione tra ciascun numero primo. Omettiamo di dividere per 2 perché 191 non è nemmeno e la divisione non sarà esatta o il rapporto inferiore a 2.

Abbiamo provato a dividere per 3:

191/3 = 63.666 ..

E non dà esatto, né il quoziente è inferiore al divisore (63.666 ... è maggiore di 3)

Continuiamo a testare 191 dai cugini 5, 7, 11, 13 e la divisione esatta non è raggiunta, né il rapporto inferiore al divisore. Fino a quando non si divide tra 17:

191/17 = 11, 2352 ..

Poiché non è esatto e 11.2352 ... è inferiore a 17, il numero 191 è cugino.

Riferimenti

1. Baldor, a. 1986. Aritmetica. Edizioni e distribuzioni Codice.
2. Prieto, c. Numeri Primo. Estratto da: pagine.Matem.UNAM.MX.
3. Proprietà dei numeri primi. Recuperato da: Mae.Ufl.Edu.
4. Smartick. Numeri Primo: come trovarli con il setaccio di Eratostenes. Recuperato da: smartick.È.
5. Wikipedia. numero primo. Recuperato da: è.Wikipedia.org.