Proprietà dei numeri complessi, esempi, operazioni

IL numeri complessi Sono l'insieme numerico che copre i numeri reali e tutte le radici dei polinomi, comprese le radici pari dei numeri negativi. Queste radici non esistono nell'insieme di numeri reali, ma in numeri complessi è la soluzione.

Un numero complesso è costituito da una parte reale e un altro chiamato "immaginario". La parte reale si chiama A, Ad esempio, e la parte immaginaria Ib, con A E B numeri reali e "mi piace il Unità immaginaria. In questo modo il numero complesso prende la forma:

Z = a + ib

Figura 1.- Rappresentazione binomiale di un numero complesso in termini di parte reale e parte immaginaria. Fonte: Pixabay.

Esempi di numeri complessi sono 2 - 3i, -πi, 1 + (1/2) i. Ma prima di operare con loro, vediamo da dove proviene l'unità immaginaria Yo, Considerando questa equazione quadratica:

X² - 10x + 34 = 0

In cui a = 1, b = -10 e c = 34.

Quando viene applicata la formula del solvente per determinare la soluzione, troviamo quanto segue:

Come determinare il valore di √-36? Non esiste un numero reale che Square sia un importo negativo. Quindi si è concluso che questa equazione non ha soluzioni reali.

Tuttavia, possiamo scrivere questo:

√-36 = √-6² = √6² (-1) = 6√-1

Se definiamo un certo valore X tale che:

X² = -1

COSÌ:

x = ± √-1

E l'equazione precedente avrebbe una soluzione. Pertanto, l'unità immaginaria è stata definita come:

I = √-1

E così:

√-36 = 6i

Molti matematici dell'antichità hanno lavorato alla risoluzione di problemi simili, evidenziando il Rinascimento Girolamo Cardano (1501-1576), Nicolo Fontana (1501-1557) e Raffaele Bombelli (1526-1572).

Anni dopo René Descartes (1596-1650) chiamato "immaginario" a quantità come il √-36 dell'esempio. Per questo motivo, il √-1 è noto come il Unità immaginaria.

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Proprietà dei numeri complessi

-L'insieme di numeri complessi è indicato come c e include numeri reali r e numeri immaginari im. I set numerici sono rappresentati in un diagramma di Venn, come mostrato nella figura seguente:

Può servirti: esercizi di fattorizzazione risolti figura 2. Diagramma di Venn di set numerici. Fonte: f. Zapata.

-Ogni numero complesso è costituito da una parte reale e un'altra parte immaginaria.

-Quando la parte immaginaria di un numero complesso è 0, è un numero reale puro.

-Se la parte reale di un numero complesso è 0, allora il numero è puro immaginario.

-Due numeri complessi sono gli stessi se la loro rispettiva parte e la parte immaginaria sono uguali.

-Con i numeri complessi, vengono eseguite le operazioni note di somme, sottrazione, moltiplicazione, prodotto e empowerment, risultando in un altro numero complesso.

Rappresentazione di numeri complessi

Numeri complessi possono essere rappresentati in vari modi. Ecco quelli principali:

- Forma binomica

È la forma data all'inizio, dove z è il numero complesso, A è la vera parte, B è la parte immaginaria e Yo È l'unità immaginaria:

Z = a + ib

O anche:

Z = x + iy

Un modo per rappresentare graficamente il numero complesso è attraverso il piano complesso mostrato in questa figura. L'asse immaginario è verticale, mentre l'asse reale è orizzontale e indica come re.

Il numero complesso z È rappresentato in questo piano come punto di coordina (X, y) O (A, b), come è stato fatto con i punti del piano reale.

La distanza dall'origine al punto z è il modulo del numero complesso, indicato come R, mentre φ è l'angolo che si forma R Con l'asse reale.

Figura 3. Rappresentazione di un numero complesso nel piano complesso. Fonte: Wikimedia Commons.

Questa rappresentazione è strettamente correlata a quella dei vettori nel piano reale. Il valore di R corrisponde a modulo del numero complesso.

Può servirti: metodo Gauss-seidel: spiegazione, applicazioni, esempi

- Forma polare

La forma polare consiste nell'esprimere il numero complesso che dà i valori di R e di φ. Se guardiamo la figura, il valore di R Corrisponde all'ipotenusa di un triangolo destro. Le categorie valgono A E B, O Bene X E E.

Nella forma binomiale o binomiale, possiamo passare alla forma polare di:

R = √x²+E²

L'angolo φ È quello che forma il segmento R con l'asse orizzontale o l'asse immaginario. È noto come discussione del numero complesso. Da questa parte:

φ = arctg (y/x)

L'argomento ha valori infiniti, tenendo conto del fatto che ogni volta che viene girato un rendimento, il che vale 2π radianti, R occupa di nuovo la stessa posizione. In questo modo in generale, l'argomento di Z, indicato Arg (Z), è espresso come segue:

Arg (z) = φ + 2kπ

Dove k è intero e serve a indicare la quantità di curve girate: 2, 3, 4 .. . Il segno indica il significato della rotazione, se il tempo o l'antirorio.

Figura 4. Rappresentazione polare di un numero complesso nel piano complesso. Fonte: Wikimedia Commons.

E se vogliamo passare la forma polare alla forma binomiale, usiamo ragioni trigonometriche. Dalla figura precedente possiamo vederlo:

x = r cos φ

y = r sen φ

In questo modo z = r (cos φ+i sin φ)

Questo è abbreviato in questo modo:

z = r cis φ

Esempi di numeri complessi

I seguenti numeri complessi sono indicati binomialmente:

a) 3 + i

b) 4

d) -6i

E questi in una coppia ordinata:

a) (-5, -3)

b) (0, 9)

c) (7.0)

Infine, a questo gruppo viene somministrato polare o trigonometrico:

a) √2 cis 45º

b) √3 cis 30º

Può servirti: distribuzione ipergeometrica: formule, equazioni, modello

c) 2 cis 315º

A cosa servono?

L'utilità dei numeri complessi va oltre la risoluzione dell'equazione di secondo grado mostrata all'inizio, poiché sono essenziali nel campo dell'ingegneria e della fisica, specialmente in:

-Lo studio delle onde elettromagnetiche

-Analisi alternativa di corrente e tensione

-La modellazione di tutti i tipi di segnali

-Teoria della relatività, in cui il tempo è assunto come un'entità immaginaria.

Operazioni con numeri complessi

Con i numeri complessi possiamo eseguire tutte le operazioni che vengono eseguite con il reale. Alcuni sono più facili da fare se i numeri sono binomicamente, come la somma e la sottrazione. D'altra parte, la moltiplicazione e la divisione sono più semplici se vengono eseguite con la forma polare.

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi:

- Esempio 1

Aggiungi z₁ = 2 + 5i e z₂ = -3 -8i

Soluzione

Le parti reali vengono aggiunte separatamente dalle parti immaginarie:

z₁ + z₂ = (2 + 5i) + (-3 -8i) = -1 -3i

- Esempio 2

Moltiplicare z₁ = 4 cis 45º e z₂ = 5 cis 120º

Soluzione

Si può dimostrare che il prodotto di due numeri complessi in polare o trigonometrico è dato da:

z₁ . z₂ = r₁.R₂ Cis (φ₁ + φ₂)

Secondo questo:

z₁ . z₂ = (4 × 5) cis (45 + 120) = 20 cis 165º

Applicazione

Una semplice applicazione di numeri complessi è trovare tutte le radici di un'equazione polinomiale come quella mostrata all'inizio dell'articolo.

Nel caso dell'equazione x² - 10x + 34 = 0, quando si applica la formula del solvente si ottiene:

Pertanto le soluzioni sono:

X₁ = 5 + 3i

X₂ = 5 - 3i

Riferimenti

1. Earl, r. Numeri complessi. Recuperato da: matematica.bue.AC.UK.
2. Figuera, j. 2000. Matematica 1st. Diversificato. Edizioni co-bo.
3. Hoffmann, j. 2005. Selezione di problemi di matematica. Pubblicazioni di Monfort.
4. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Wikipedia. Numeri complessi. Recuperato da: in.Wikipedia.org